“知”如何到“用”

涂悠悠

【摘要】對于函數(shù)零點，首先我們會想到的是肯定有難度，然后我們會思考它可以用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，這樣的求解方法其實也就是函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用.然而，由于一些學(xué)生對這個定理只是了解，使得其就算求出函數(shù)的單調(diào)性，但是也想不到用函數(shù)零點存在性定理來高效地解題，故筆者結(jié)合下列的相關(guān)問題，談?wù)労瘮?shù)零點存在性定理在解題中的妙處，領(lǐng)悟研究數(shù)學(xué)本質(zhì)的真諦.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)零點存在性定理；巧用妙用；高考真題

一、問題發(fā)現(xiàn)與回顧

2017年高考數(shù)學(xué)全國卷理科Ⅰ（21）改編如下：已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，當(dāng)a≤0時，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，f（x）在-∞，ln1a單調(diào)遞減，在ln1a，+∞單調(diào)遞增.若函數(shù)f（x）在R上有兩個零點，請求a滿足的關(guān)系.

解1化為ae2x+（a-2）ex=x，換元：t=ex化為g（x）=at2+（a-2）t，右邊為y=x是一次函數(shù)，再求兩函數(shù)有2個交點.

解2賦值法令a=1和a=-1直接求解.

解3（比較好的解法）由零點存在性定理得fln1a<0，進而得解.

本題改編之后是一道函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用題，可是大部分同學(xué)的答題情況確是讓筆者感到很詫異，為何還是很多同學(xué)求不出.針對這個困惑，筆者進行了相關(guān)的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于函數(shù)零點存在性定理對求函數(shù)的零點的作用認(rèn)識比較片面，故書寫此文.

二、定理簡要回顧

函數(shù)零點存在性定理的出現(xiàn)對判斷方程的根或根的范圍具有重要作用，在定理中很好地體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，為了體現(xiàn)它的轉(zhuǎn)化思想，筆者應(yīng)用下列較為簡潔的思維順序概括如下：① f（x）=0在（a，b）內(nèi)有解；② 函數(shù)在（a，b）內(nèi)有零點；③ 函數(shù)f（x）的圖像在（a，b）內(nèi)與x軸有交點；④ f（a）f（b）<0.通過教研反饋來看，對④的相關(guān)轉(zhuǎn)化就強調(diào)的不是很到位，所以接下了將從幾個方面來闡述直接轉(zhuǎn)化為④的妙處.

三、定理的應(yīng)用

（一）只需考慮函數(shù)零點所在區(qū)間端點范圍的應(yīng)用

例1方程x2-（m+13）x+m2+m=0的一根大于1，一根小于1，求m的取值范圍.

解1設(shè)兩根分別為x1，x2且x10，

∴22-41576

解2設(shè)函數(shù)f（x）=x2-（m+13）x+m2+m，當(dāng)m≤-11時，滿足Δ>0和f（1）<0無解；當(dāng)m>-11時，滿足Δ>0和f（1）<0，∴m∈（-23，23）.

解3（比較好的）只需滿足f（1）<0即可.

點評解1運算量很大，導(dǎo)致最終沒能解出本題.解2很好地應(yīng)用了方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點來求解，但是分類是對問題沒有考慮清楚.解3是最快最簡潔的辦法.對于這類問題筆者又做了如下拓展.

例2設(shè)集合A={（x，y）|x2+mx-y+2=0}，B={（x，y）|y=x+1，0≤x≤2}，A∩B≠，求實數(shù)m的取值范圍.

解若能將求方程的根轉(zhuǎn)化為求區(qū)間端點的范圍，則可得f（0）f（2）≤0，∴m≤-1.

（二）需考慮函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用

例3已知二次函數(shù)f（x）=x2-（m-1）x+2m在[0，1]上有且只有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

解當(dāng)有兩個不相等實根時，則f（0）f（1）≤0，得-2≤m≤0；當(dāng)有兩個相等實根，則Δ=0且0

例4已知函數(shù)f（x）=a+lnxx的圖像在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，是否存在區(qū)間t，t+23（t>0）使函數(shù)f（x）在此區(qū)間上存在極值和零點？

解易得a=1，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.故由零點存在性定理，得f（x）在區(qū)間（0，1）存在唯一零點.故可得0

點評主要考查同學(xué)們對復(fù)合函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用，同時也是高考的熱點之一.

（三）零點存在性定理在高考中的相關(guān)應(yīng)用

例5（2014全國卷Ⅰ理科11）已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是（）.

A.（2，+∞）

B.（1，+∞）

C.（-∞，-2）

D.（-∞，-1）

分析如果直接考慮函數(shù)的單調(diào)性再應(yīng)用函數(shù)零點存在性定理這一相關(guān)結(jié)論，得選C.

例6（2016年全國卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.求a的取值范圍.

解① 當(dāng)a=0時，不符；② 當(dāng)a>0時，若x∈（-∞，1），f′（x）<0，若x∈（1，+∞），f′（x）>0，∴f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增.又f（1）=-e，f（2）=a>0，取b滿足b<0且b0，故f（x）存在兩個零點.

當(dāng)a<0，同理可證，此時f（x）不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍為（0，+∞）.

高考題解題后反思：上面給出的兩道高考題都是函數(shù)存在零點，求參數(shù)取值范圍的典型題型.例5是選擇題，解法靈活，例6比例5處理起來就更加復(fù)雜，需要應(yīng)用分類討論的思想，但是如果能并運用這類題的做題思路和方法，相信在以后再次看到這類問題時將會更加有信心.

四、感悟反思

在零點方面，重點就是考查函數(shù)零點，方程的根和方程與x軸的交點三者之間的轉(zhuǎn)化.重點考查復(fù)合函數(shù)求參數(shù)取值范圍，求不等式等.經(jīng)常涉及函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，極值，最值，比較大小等.筆者認(rèn)為，應(yīng)用的根源是對本質(zhì)概念公式的理解，故筆者認(rèn)為在平時的教學(xué)中需要多引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點存在性定理的本質(zhì)意義，才能使學(xué)生更好地應(yīng)用.

【參考文獻】

[1]于先金.二次函數(shù)零點式的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2003（12）：36-37.

[2]江戰(zhàn)明，范虹燕.知而不熟熟而不透——談向量基本定理的內(nèi)涵與價值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（28）：41-44.