波利亞解題表在一道立體幾何高考題中的應(yīng)用

李寒陽

【摘要】數(shù)學(xué)解題是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必經(jīng)的一個(gè)環(huán)節(jié)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，有著不可小覷的地位.波利亞解題表為數(shù)學(xué)問題的解決提供了有效的思路，此文利用波利亞解題表來分析一道關(guān)于立體幾何高考題的解題思路與解答過程，具體感受波利亞解題表的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】波利亞解題表；立體幾何高考題；解題

一、波利亞解題表

波利亞將解題過程總體分為理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案以及回顧這四個(gè)階段，對每個(gè)階段要考慮的問題，思維活動，具體要做什么，有什么建議，都進(jìn)行了很詳細(xì)的敘述，多方面地考慮到了學(xué)生在解題過程中會面臨的問題.第一階段是理解題目，找出未知量，分析已知條件，找出已知條件與未知量之間的聯(lián)系，需要的話還可引進(jìn)相關(guān)符號，讓學(xué)生充分理解題目的含義；第二階段是擬訂方案，進(jìn)一步理解已知條件與未知量之間的聯(lián)系，盡可能找到以前解過并相似的題目，需要的話可引進(jìn)新的輔助元素.這一階段對于解題來說是一大關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)自理清解題思路.第三階段是執(zhí)行方案，根據(jù)前一階段擬定的方案來執(zhí)行，并檢查每個(gè)步驟；第四階段是回顧，檢查已經(jīng)得到的解答，并嘗試以不同的方法來推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果.這四個(gè)階段較完整地為解題提供了方向，而對于教師來說，講解固然重要，但也要給學(xué)生足夠的時(shí)間去思考以及去實(shí)際操作，通過自然而然地向?qū)W生提出問題和建議，去引導(dǎo)他們?nèi)绾谓忸}.

二、考題剖析

例如圖所示，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

分析第一小問：

第一步：理解題目

教師：“已知條件是什么？”

學(xué)生：“一個(gè)三棱臺ABC-DEF，在這個(gè)三棱臺中，平面BCFE⊥平面ABC，其中一個(gè)角為90°，即∠ACB=90°，且BC=2，AC=3，BE=EF=FC=1.”

教師：“那要證明的是什么呢？”

學(xué)生：“要證明BF⊥平面ACFD”

教師：“要證明它，條件是否充分呢？”

學(xué)生：“題設(shè)中只知道平面BCFE⊥平面ABC，且∠ACB=90°，也就是說AC⊥BC，可以得出AC⊥平面BCFE，但好像還不能得出結(jié)論.”

第二步：擬訂方案

教師：“再思考一下，你是否用到了所有的條件呢？”

學(xué)生：“沒有用完，還沒用到BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.”

教師：“要怎樣用到這些條件呢？”

學(xué)生：“如果能構(gòu)造出一個(gè)等邊三角形，那就可以用上這些條件了.”

教師：“很好，為了應(yīng)用它們，我們是否應(yīng)該在圖中引入一些新的線條，添加輔助線呢？”

學(xué)生：“如果延長AD，BE，CF這三邊交于一點(diǎn)K，就能得到一個(gè)以BC為邊的等邊三角形.”

教師：“不錯(cuò)，那現(xiàn)在你能證明出BF⊥平面ACFD了嗎？”

學(xué)生：“BF是這個(gè)等邊三角形的一條中線，由等邊三角形的三線合一可得出BF⊥CK，就可以進(jìn)一步證明出BF⊥平面ACFD了.”

教師：“你的思路非常清晰了，你能把全過程寫出來嗎？”

學(xué)生：“能！”

第三步：實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

證明：延長AD，BE，CF交于點(diǎn)K.

∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，∴BF⊥AC.

又∵BC∥EF，BE=EF=FC=1，BC=2，

∴△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，

∴BF⊥CK，∴BF⊥平面ACFD.

第四步：回顧

教師：“你能檢驗(yàn)一下你的結(jié)論嗎？”

學(xué)生：“BF垂直于平面ACFD內(nèi)兩條相交的直線，也就垂直于這個(gè)平面.”

教師：“你能將這個(gè)方法運(yùn)用到其他題目中去嗎？”

學(xué)生：“可以，證明線面垂直的題目.”

分析第二小問：

第一步：理解題目

教師：“第二問的未知量是什么？”

學(xué)生：“二面角B-AD-F的平面角的余弦值”

教師：“那么條件是否足以確定未知量呢？”

學(xué)生：“由第一小問知道了BF⊥平面ACFD，而AK平面ACK，所以可以得出BF⊥AK，但還是不能確定二面角啊，如果能再找出一條與AK垂直的線就好了.”

第二步：擬定計(jì)劃

教師：“你的思路很清晰，那為了找到這條線，我們是否應(yīng)該在圖中引入一些新的線條，添加輔助線呢？”

學(xué)生：“噢！可以過點(diǎn)F作FQ⊥AK”

教師：“很好，那現(xiàn)在能確定二面角了嗎？”

學(xué)生：“可以，這個(gè)二面角就是BQ與BF所形成的夾角∠BQF.”

教師：“很好，那能最終確定未知量嗎？”

學(xué)生：“可以根據(jù)勾股定理來求出這個(gè)角的余弦值.”

教師：“你現(xiàn)在能把全過程寫出來了嗎？”

學(xué)生：“可以.”

第三步：實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

過點(diǎn)F作FQ⊥AK，連接BQ.

∵BF⊥面ACK，AK面ACK，∴BF⊥AK.

又∵AK⊥FQ，∴AK⊥平面BQF，∴AK⊥BQ，

∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.

在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，得FQ=31313.

在Rt△BQF中，F(xiàn)Q=31313，BF=3，得cos∠BQF=34.

所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值為34.

三、小結(jié)

波利亞認(rèn)為解題的價(jià)值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的？”“是什么促使你這樣想、這樣做的？”這就是說，解題過程是一個(gè)具體的思維過程，是把知識與問題串聯(lián)起來思考、分析、探索的過程[2].他同樣認(rèn)為：把解題認(rèn)為是純粹的“智力活動”是錯(cuò)誤的，決心和情緒也起了很重要的作用.教學(xué)生解題是一種意志的教育，學(xué)生要解決對他來說并不容易的題目，他就要學(xué)會面對失敗鍥而不舍，不斷去嘗試.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]曹琳彥，顏寶平.運(yùn)用波利亞解題思想指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（3）：125-127.

[4]杜紅全.追蹤考題曬曬考點(diǎn)——“立體幾何”高考考點(diǎn)題型歸類解析[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2017（2）：40-44.

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[6]丁潔.波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用[D].揚(yáng)州大學(xué)，2015.