基于靈敏度分析的筒彈吊具支撐臂輕量化設(shè)計(jì)

唐偉峰，屈彩虹

（海軍航空工程學(xué)院飛行器工程系，煙臺，264001）

0 引 言

現(xiàn)有某型筒彈吊具，其上裝有用于安裝其它輔助設(shè)備的緊固裝置，緊固裝置兩側(cè)裝有支撐臂，根據(jù)使用要求，支撐臂采用了如圖 1所示外形設(shè)計(jì)。支撐臂一端安裝于固定裝置上，一端懸吊重物。在實(shí)際使用中，為減輕操作強(qiáng)度，需對支撐臂進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。

支撐臂的輕量化研究，屬于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的一種，其基本外形如圖1所示。

圖1 支撐臂結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Support Arm Construction

設(shè)計(jì)要素包括優(yōu)化目標(biāo)、優(yōu)化參數(shù)和約束條件。優(yōu)化目標(biāo)即達(dá)到質(zhì)量最小化；優(yōu)化參數(shù)包括支撐臂在橫向、縱向 2個(gè)方向的壁厚，支撐臂長度為定值；約束條件是該支撐臂滿足剛度要求。本文首先根據(jù)支撐臂的初始尺寸參數(shù)及剛度的約束條件，研究2個(gè)部位，即橫板、側(cè)板壁厚值的改變對剛度、撓度、質(zhì)量的靈敏度，再研究得到質(zhì)量對剛度、撓度的靈敏度，最終確定合理的壁厚參數(shù)實(shí)現(xiàn)支撐臂輕量化設(shè)計(jì)目標(biāo)。

國內(nèi)外的文獻(xiàn)中以靈敏度方法研究輕量化問題的很多，有不少方法值得借鑒。文獻(xiàn)[1]中闡述改變機(jī)床立滑板和立柱的厚度，分析不同厚度情況下的構(gòu)件剛度，進(jìn)而通過數(shù)據(jù)擬合方法得到構(gòu)件質(zhì)量對剛度的靈敏度；文獻(xiàn)[2～4]提出了多種計(jì)算靈敏度方法，但在研究具體模型時(shí)，均以理想化的狀態(tài)進(jìn)行研究。

1 支撐臂初始設(shè)計(jì)條件

支撐臂其剖面如圖2所示，材料為合金結(jié)構(gòu)鋼，采用銑削方法一體成型。其中，橫板厚度為1b，側(cè)板厚度為2b。

圖2 支撐臂剖面結(jié)構(gòu)Fig.2 Support Arm Profile

支撐臂總長 0.4 m，支撐臂橫板長 0.35 m、寬0.025 m、高（厚）0.005 m；支撐臂側(cè)板長0.35 m、寬 0.025 mm，高（厚）0.005 m；支撐臂連接板長0.025 m，寬 0.025 m，高 0.006 mm，其上孔直徑0.01 m。橫板的厚度1b，側(cè)板厚度2b為變量。研究在滿足剛度的條件下，2個(gè)變量對剛度、撓度、質(zhì)量最為靈敏的參數(shù)值，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)使得支撐臂質(zhì)量最小。根據(jù)使用及設(shè)計(jì)的要求，側(cè)板與橫板的初始設(shè)計(jì)壁厚為0.005 mm，支撐臂的一側(cè)連接板2通過鉸鏈安裝于基座上，一側(cè)連接板1懸吊設(shè)備，所受載荷為靜載荷F1，大小為F1=20 kg，F(xiàn)x，F(xiàn)y為鉸鏈固定端的支承反力，G為重力，M為力偶，如圖3所示。根據(jù)構(gòu)件設(shè)計(jì)要求，以屈服極限sσ為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，安全系數(shù)取1.5，橫板、側(cè)板厚度變化范圍在0.004～0.006 m之間。

圖3 支撐臂受力Fig.3 support arm force

分別以1b、2b為設(shè)計(jì)變量，質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)，以支撐臂的剛度為約束條件，采用子問題逼近法，即零階法，設(shè)置優(yōu)化迭代次數(shù)為50次[5]。應(yīng)力集中點(diǎn)的最大應(yīng)力值在實(shí)際設(shè)計(jì)中應(yīng)小于支撐臂材料屈服極限的許用應(yīng)力值，但在本文中僅作靈敏度的趨勢分析，因此只要應(yīng)力集中點(diǎn)的最大應(yīng)力值小于支撐臂材料屈服極限即可，在此基礎(chǔ)上研究壁厚對剛度、質(zhì)量的靈敏度值。

2 支撐臂分析

在Ansys中對支撐臂進(jìn)行建模，材料選40Cr，彈性模量為 200 GPa，泊松比 0.3，屈服強(qiáng)度極限為785 MPa。支撐臂由連接板、橫板、側(cè)板3部分組成，對3部分分別建模將其耦合在一起，單元類型選擇為SOLID185[6]，約束支撐臂一端面及銷釘孔位移，以消除整體剛性位移，在支撐臂另一端連接板銷釘孔處施加向下載荷。

2.1 支撐臂應(yīng)力分析

為方便分析，取橫坐標(biāo)為厚度變量，縱坐標(biāo)為應(yīng)力值。當(dāng)1b=5 mm，2b=5 mm，最大應(yīng)力值出現(xiàn)在支撐臂施加約束的連接板處，達(dá)666.217 MPa，如圖3所示。圖4為橫板4 mm、側(cè)板5 mm時(shí)應(yīng)力。

圖3 壁厚均為5mm時(shí)應(yīng)力Fig.3 Stress of Wall Thickness 5mm

圖4 橫板4mm、側(cè)板5mm時(shí)應(yīng)力Fig.4 Stress of Cross-plate 4mm, Side Plate 5mm

令1b，2b分別在[4,6]的區(qū)間內(nèi)變化，變化量為0.2 mm，對支撐臂不同尺寸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，找到其危險(xiǎn)區(qū)域及最大應(yīng)力值，得到其應(yīng)力數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

保持側(cè)板厚度2b=5 mm不變，改變橫板厚度1b，得到一組應(yīng)力數(shù)據(jù)，對所得到的應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到如圖5所示曲線。保持橫板厚度1b=5 mm不變，改變側(cè)板厚度2b，對所得到的應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到如圖6所示曲線。

圖5 橫板變厚度的應(yīng)力曲線Fig.5 Stress Curve of Varying Thickness of Cross-plate

圖6 側(cè)板變厚度的應(yīng)力曲線Fig.6 Stress Curve of Varying Thickness of Side Plate

在文中支撐臂的受力及使用條件下，由圖5可知，橫板厚度的改變對應(yīng)力變化呈二次曲線走勢，同樣由圖6可知，側(cè)板厚度的改變對應(yīng)力變化亦呈二次曲線走勢。隨著厚度增加，當(dāng)側(cè)板厚度與橫板厚度相同時(shí)，應(yīng)力會達(dá)到峰值；當(dāng)單一的某個(gè)厚度繼續(xù)增加，應(yīng)力會下降，說明當(dāng)橫板與側(cè)板存在厚度差時(shí)，最大應(yīng)力值較低，且厚度差越大，最大應(yīng)力值越小。因此若要減少橫梁的最大應(yīng)力值，加大橫板與側(cè)板的厚度差很關(guān)鍵。對圖5所得到的曲線進(jìn)行二次擬合得到式（1），對圖 6所得到的曲線進(jìn)行二次擬合，得到式（2），分別為

式中1σ為橫板厚度與應(yīng)力的關(guān)系；2σ為側(cè)板厚度與應(yīng)力的關(guān)系。

2.2 支撐臂撓度分析

為方便分析，取橫坐標(biāo)為厚度變量，縱坐標(biāo)為位移值。當(dāng)1b=5mm，2b=5mm，最大變形出現(xiàn)在支撐臂施加載荷的連接板處，達(dá)到3.7194 mm，如圖7所示。

圖7 壁厚均為5mm時(shí)位移Fig.7 Wall Thickness 5mm, Displacement 5mm

圖8 橫板4mm側(cè)板5mm時(shí)位移Fig.8 Displacement of Side Plate 4mm Horizontal Plate 5mm

令1b，2b分別在[4,6]的區(qū)間內(nèi)變化，變化量為0.2 mm，對支撐臂不同尺寸時(shí)的撓度狀態(tài)進(jìn)行分析，找到其撓度變形的最大位置，得到其位移數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

當(dāng)保持側(cè)板厚度2b=5 mm不變，改變橫板厚度1b，得到一組位移數(shù)據(jù)，對該組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到圖9所示曲線。

圖9 橫板變厚度的位移曲線Fig.9 Curve of Displacement for Varying Thickness of A Plate

由圖9可知，橫板厚度的改變對撓度變形變化呈二次曲線走勢，當(dāng)兩板厚度相同時(shí)，位移達(dá)到最大；當(dāng)橫板與側(cè)板厚度存在的厚度差越大，撓度變形越小。

保持橫板厚度1b=5 mm不變，改變側(cè)板厚度2b，對所得到的應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，如圖10所示。

圖10 側(cè)板變厚度的位移曲線Fig.10 Displacement Curve of Variable Thickness of Side Plate

由圖10可知，側(cè)板厚度的改變對撓度變形變化呈直線走勢，隨著側(cè)板厚度的加大，撓度變形逐漸減小。因此，若要減少橫梁的撓度位移，應(yīng)加大橫板與側(cè)板的厚度差，且側(cè)板厚度值越大，橫板厚度值越小，撓度位移越小。對圖9所得到的曲線進(jìn)行二次擬合得到式（3），對圖 10所得到的曲線進(jìn)行二次擬合，得到式（4），分別為

式中1δ為橫板厚度與位移的關(guān)系；2δ為側(cè)板厚度與位移的關(guān)系。

2.3 支撐臂質(zhì)量分析

質(zhì)量的一般表達(dá)式為式中 m為質(zhì)量，單位kg；ρ為密度，單位kg/m3，1x為橫板長度，1x=0.35m；1y為橫板寬度，1y=0.025 m；z1為橫板高度， z1= b1m； x2為側(cè)板長度， x2=0.35 m；y2為側(cè)板寬度，y2=0.025 m；z2為側(cè)板高度，z2= b2m。本文主要研究橫板、側(cè)板的厚度變化對質(zhì)量的靈敏度，亦即長度、寬度不變，厚度改變。橫板兩側(cè)各有側(cè)板，因此總質(zhì)量為

3 靈敏度分析

從靈敏度分析法的本質(zhì)來看，是函數(shù)對變量的求導(dǎo)。若函數(shù)與變量為線性關(guān)系，靈敏度為該函數(shù)的斜率[7]。

3.1 壁厚對質(zhì)量的靈敏度

由表達(dá)式（6）可見，密度、長度和高度均為定值，質(zhì)量最終是由1b、2b所決定的。利用式（6）分別對變量1b、2b求導(dǎo)，得到：

式中 A1為以橫板厚度為變量時(shí)支撐臂的單位面積；A2為表示以側(cè)板厚度為變量時(shí)支撐臂的單位面積；A1，A2單位均為m2。由式（9）、式（10）可知，支撐臂質(zhì)量對側(cè)板厚度2b的變化更為敏感。

3.2 壁厚對應(yīng)力的靈敏度

根據(jù)式（1）和式（2），分別對1b、2b求導(dǎo)，得：

由式（11）和式（12）可看出，應(yīng)力對橫板厚度1b的變化更為靈敏。

3.3 壁厚對位移的靈敏度

根據(jù)式（3）和式（4），分別對1b、2b求導(dǎo)，得：

由式（13）和（14）可看出，位移對橫板厚度1b更為靈敏。

3.4 質(zhì)量對應(yīng)力和位移的靈敏度

某個(gè)厚度尺寸的質(zhì)量對應(yīng)力的靈敏度，可以表示為式（8）的偏導(dǎo)，則，

因此質(zhì)量對應(yīng)力的靈敏度為

同理，質(zhì)量對位移的靈敏度為

由式（11）至式（14）可知，1b對應(yīng)力和位移的靈敏度較大；由式（16）至式（19）可知，橫板的位移和應(yīng)力對質(zhì)量變化的靈敏度大。

3.5 輕量化設(shè)計(jì)

支撐臂設(shè)計(jì)的目標(biāo)是減小質(zhì)量，保證必要的剛度，滿足撓度變形的要求。初始設(shè)計(jì)值1b=0.005 m，=0.005 m，在滿足相應(yīng)的條件下，實(shí)現(xiàn)支撐臂質(zhì)量的最小化，應(yīng)力安全系數(shù)i取1.5[8]。

經(jīng)計(jì)算，當(dāng)1b=0.004 m，2b=0.006 m時(shí)，其質(zhì)量為0.1232 kg，其最大應(yīng)力值為660.221 MPa，位移為3.4 mm；當(dāng)1b=0.005 m，2b=0.005 m時(shí)其質(zhì)量為0.113 75 kg，最大應(yīng)力值為 666.217 MPa，位移為3.56 mm，從計(jì)算結(jié)果可以看出，應(yīng)力值超出了要求，說明材料無法滿足該使用場合，但根據(jù)變化的趨勢可知，當(dāng)1b=0.004 m，2b=0.006 m時(shí)，應(yīng)力值最小，位移最小，且質(zhì)量減少了 7.67%，即選用其它屈服強(qiáng)度更高的材料，按照上述尺寸進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以達(dá)到應(yīng)力最小，變形最小，質(zhì)量最小的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

4 結(jié) 論

根據(jù)支撐臂實(shí)際使用環(huán)境，在理論上分析了支撐臂應(yīng)力、撓度的變化規(guī)律，以該結(jié)論為基礎(chǔ)，研究支撐臂橫板、側(cè)板厚度的變化對支撐臂最大應(yīng)力、撓度位移以及質(zhì)量的靈敏度問題。通過對最大應(yīng)力值、撓度位移的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析擬合，分別得到了壁厚、質(zhì)量對最大應(yīng)力、撓度位移的靈敏度表達(dá)式。根據(jù)約束條件，優(yōu)化了支撐臂的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)支撐臂的輕量化設(shè)計(jì)。根據(jù)本文的分析結(jié)果，支撐臂橫板壁厚對應(yīng)力和撓度的靈敏度要大于側(cè)板壁厚，因此在實(shí)際設(shè)計(jì)中，對于橫板壁厚參數(shù)的調(diào)整必須慎重，需要進(jìn)行全面衡量。但本文所討論的問題只是對支撐臂的基本模型進(jìn)行的理論分析，實(shí)際的支撐臂結(jié)構(gòu)在內(nèi)部略有不同，且工藝設(shè)計(jì)的優(yōu)化會使得實(shí)際的應(yīng)力值與軟件分析得到應(yīng)力值有所差別，但這并不影響靈敏度的大小，因此論文的結(jié)果完全能夠?yàn)橹伪蹖?shí)際設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。