基于終端速度約束的助推-滑翔飛行器滑翔彈道設(shè)計(jì)方法

卜奎晨，趙長見，趙 洪，高 峰，許澤宇

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

助推-滑翔飛行器采用火箭助推，利用滑翔體良好的氣動(dòng)外形，在大氣層內(nèi)超高速飛行，可實(shí)現(xiàn)全球快速打擊。由于其滑翔飛行彈道位于臨近空間，具有較強(qiáng)的機(jī)動(dòng)能力和突防能力，是近年來世界主要軍事大國的研究熱點(diǎn)。但其助推-滑翔飛行器飛行彈道低、速度快，飛行環(huán)境惡劣，導(dǎo)致彈道、控制設(shè)計(jì)難度較大。

中國在助推-滑翔飛行器領(lǐng)域研究取得了較多的研究成果。在彈道設(shè)計(jì)方面，雍恩米等[1]針對助推-滑翔式導(dǎo)彈自由飛行段、稠密大氣和稀薄大氣之間彈道、滑翔彈道的射程近似解開展研究，為射程和峰值熱流等特征參數(shù)估算提供了依據(jù)；楊錚等[2]采用序列二次規(guī)劃法（Sequential Quadratic Programming，SQP）完成助推-滑翔導(dǎo)彈助推段彈道優(yōu)化，為獲得滑翔段起始點(diǎn)最大動(dòng)能和實(shí)現(xiàn)彈道順利銜接提供了解決方案；徐申達(dá)等[3]針對再入大氣層后帶動(dòng)力的跳躍式飛行彈道進(jìn)行了研究，針對發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火次數(shù)、點(diǎn)火高度及推力大小的影響開展了分析，得到有益的結(jié)果；李瑜等[4]針對SANGER再入-跳躍式彈道[5]、助推-滑翔-彈跳式彈道進(jìn)行了對比分析，表明再入-跳躍式彈道對提高射程能力更為有利，但會(huì)極大提高駐點(diǎn)熱流峰值，對熱防護(hù)不利，而助推-滑翔-彈跳式彈道射程較優(yōu)，且駐點(diǎn)熱流峰值滿足約束要求。

目前，中國學(xué)者針對助推-滑翔式導(dǎo)彈彈道模式及彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)方面進(jìn)行了廣泛而深入的研究，但在彈道設(shè)計(jì)上多是采用優(yōu)化方法（如SQP等）給出尋優(yōu)結(jié)果，缺乏對魯棒性較好的滑翔段彈道設(shè)計(jì)方法進(jìn)行研究。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于飛行器本身質(zhì)量特性、發(fā)動(dòng)機(jī)性能及氣動(dòng)參數(shù)等存在偏差，以及飛行過程中大氣干擾的存在，在一定程度上造成滑翔起始點(diǎn)存在位置、速度偏差。此外，實(shí)際飛行彈道偏離理想彈道將會(huì)導(dǎo)致落地速度存在偏差，需要開展落地速度控制方法研究，從而滿足對目標(biāo)的打擊需要。

目前對于無動(dòng)力滑翔式飛行器的終端位置控制具有較為成熟的方法，而對于速度控制的方法較少。滑翔彈道一般有平衡滑翔和跳躍滑翔兩種方式，為研究問題方便，本文針對平衡滑翔彈道，即錢學(xué)森式[6]助推滑翔彈道（見圖 1）進(jìn)行研究，給出基于終端速度約束的滑翔彈道設(shè)計(jì)方法，該方法具有一定魯棒性，為實(shí)現(xiàn)偏差情況下的滑翔彈道和終端速度控制聯(lián)合設(shè)計(jì)提供了工具。

圖1 “錢學(xué)森式”助推滑翔彈道Fig.1 TSIEN H.S.-trajectory for Boost-glide Vehicle

1 滑翔射程及滑翔終端速度計(jì)算

對于在大氣層內(nèi)飛行的滑翔式飛行器而言，滑翔飛行彈道影響滑翔終端速度，由于不同滑翔高度的氣動(dòng)阻力不同，在滑翔距離一定的情況下不同滑翔高度對應(yīng)的滑翔終端速度也不同，二者是緊密耦合的關(guān)系。為了實(shí)現(xiàn)滿足滑翔終端速度約束的滑翔彈道設(shè)計(jì)，需要解決滑翔射程和滑翔終端速度的快速工程計(jì)算問題。

1.1 平衡滑翔射程計(jì)算

為了開展平衡滑翔射程快速計(jì)算，進(jìn)行如下簡化假設(shè)[2]：

a）不考慮地球旋轉(zhuǎn)，即eω=0；

c）滑翔式飛行器無側(cè)滑，即β=0。

在滑翔式飛行器的滑翔軌跡平面內(nèi)建立發(fā)射坐標(biāo)系 O-xyz和速度坐標(biāo)系見圖2。

圖2 滑翔飛行角度關(guān)系示意Fig.2 Angles Relationship of Gliding Flight

在發(fā)射坐標(biāo)系-Oxyz建立運(yùn)動(dòng)方程：

由圖2，有：

式中φ為er與r之間的夾角，稱為射程角，其中，er為滑翔起點(diǎn)距地心的矢徑。

將式（2）、式（3）代入式（1）可得：

進(jìn)一步轉(zhuǎn)換到速度坐標(biāo)系，將式（4）兩邊同乘以矩陣VO的轉(zhuǎn)置矩陣OV，整理得：

高超聲速滑翔式飛行器滑翔距離一般在 1000 km以上，而滑翔段彈道高度變化范圍基本在30 km以內(nèi)，對于錢學(xué)森式彈道模式而言，當(dāng)?shù)貜椀纼A角及其變化率均很小，可認(rèn)為0=Θ，0=˙Θ，則由式（9）除以式（6），可得射程角對速度的偏導(dǎo)數(shù)：

代入式（10），整理可得：

近似認(rèn)為滑翔彈頭在飛行時(shí)升阻比K和滑翔高度h保持不變，設(shè)0V和0h分別為滑翔起始點(diǎn)的速度和高度，由0=˙Θ知0hh= ，經(jīng)積分，得到平衡滑翔狀態(tài)下射程角φ的解析計(jì)算公式：

從而可以得到平衡滑翔距離公式為

以 HTV-2[7]為例進(jìn)行平衡滑翔距離公式驗(yàn)證，彈道仿真結(jié)果與采用式（15）進(jìn)行工程計(jì)算結(jié)果的對比情況如表1所示。

表1 平衡滑翔距離公式驗(yàn)證Tab.1 Validation of Equilibrium Glide’s Range Formula

從表1可以看出，平衡滑翔距離公式具有較好的計(jì)算精度，對于射程1000 km以上導(dǎo)彈的滑翔距離計(jì)算誤差小于5%。

1.2 終端速度計(jì)算公式

將式（15）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，則有：

式（16）建立了滑翔終端速度與滑翔距離、滑翔高度的計(jì)算關(guān)系，已知滑翔飛行器當(dāng)前高度、速度，即可計(jì)算出滑翔SL后的滑翔終端速度。

2 平衡滑翔彈道設(shè)計(jì)

由于大氣密度ρ、重力加速度g是高度h的函數(shù)，速度V是馬赫數(shù)Ma和高度h的函數(shù)，升力系數(shù)CL是馬赫數(shù)Ma和攻角的函數(shù)，則由當(dāng)前馬赫數(shù)Ma和攻角即可解算出平衡機(jī)動(dòng)高度指令，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)動(dòng)彈道設(shè)計(jì)。

平衡機(jī)動(dòng)高度指令與馬赫數(shù)和攻角的變化示意如圖3所示。

圖3 平衡機(jī)動(dòng)高度指令示意Fig.3 Sketch Map of Equilibrium Glide’s Height Instruction

由圖3可知，平衡滑翔彈道每一時(shí)刻升力和重力保持平衡，但由于不同飛行攻角對應(yīng)的平衡滑翔彈道高度不同，滑翔同樣射程后的速度損失也不同，利用這一特點(diǎn)可以開展終端速度控制與滑翔彈道聯(lián)合設(shè)計(jì)。

3 基于終端速度約束的滑翔彈道設(shè)計(jì)

3.1 設(shè)計(jì)思路

利用不同滑翔高度氣動(dòng)阻力不同，滑翔距離一定情況下其滑翔終端速度也不同的特點(diǎn)，開展滑翔彈道和滑翔終端速度控制聯(lián)合設(shè)計(jì)。利用彈上導(dǎo)航裝置測量得到當(dāng)前飛行速度，采用工程計(jì)算方法可以估計(jì)出一定滑翔距離后的滑翔終端速度，根據(jù)滑翔終端速度與標(biāo)稱速度之間的差異，進(jìn)行當(dāng)前彈道飛行高度的調(diào)節(jié)，通過增加或者降低氣動(dòng)阻力，實(shí)現(xiàn)對滑翔終端速度的調(diào)節(jié)。

3.2 設(shè)計(jì)方法

動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理表明，過程中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)達(dá)到最優(yōu)即可實(shí)現(xiàn)全程的最優(yōu)。借鑒該原理，在整個(gè)滑翔過程中實(shí)時(shí)進(jìn)行滑翔終端速度控制。如圖4所示，根據(jù)滑翔過程中當(dāng)前速度、高度和飛行攻角，利用式（16）估算出滑翔終點(diǎn)速度，通過實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)滑翔高度，實(shí)現(xiàn)對滑翔終端速度的控制。

圖4 滑翔速度調(diào)節(jié)示意Fig.4 Sketch Map of Equilibrium Glide’s Velocity Adjustment

滑翔式飛行器在滑翔段根據(jù)高度指令形成過載指令進(jìn)行導(dǎo)引飛行，其制導(dǎo)律為

式中cyN為過載指令；pK，dK為制導(dǎo)參數(shù)；h為導(dǎo)彈實(shí)時(shí)高度；ch為高度指令；h˙，ch˙為導(dǎo)彈實(shí)時(shí)高度和高度指令的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。

速度調(diào)節(jié)最終需要落實(shí)到飛行高度的調(diào)節(jié)上，高度調(diào)節(jié)策略如下：

a）根據(jù)當(dāng)前高度h0計(jì)算出平衡攻角αp和升阻比結(jié)合當(dāng)前速度 V0和剩余滑翔射程 SL，根據(jù)式（16）計(jì)算出滑翔終端速度V，并與理想速度 VC對比，如果速度偏差滿足要求（比如ΔV≤10 m/s），則不進(jìn)行速度調(diào)節(jié)，反之則需要進(jìn)行速度調(diào)節(jié)。

b）當(dāng)速度偏差為正時(shí)需要進(jìn)行減速調(diào)節(jié)。當(dāng)平衡攻角pα小于最大升阻比攻角optα?xí)r，需要壓低彈道；當(dāng)平衡攻角pα大于最大升阻比攻角optα?xí)r，需要抬高彈道。給出高度變化量hΔ，使得在新的平衡高度和升阻比K1條件下的滑翔終端速度偏差ΔV滿足要求，從而得到用于減速調(diào)節(jié)的平衡滑翔高度指令

c）當(dāng)速度偏差為負(fù)時(shí)需要進(jìn)行增速調(diào)節(jié)。當(dāng)平衡攻角pα小于最大升阻比攻角optα?xí)r，需要抬高彈道；當(dāng)平衡攻角pα大于最大升阻比攻角optα?xí)r，需要壓低彈道。給出高度變化量hΔ，使得在新的平衡高度和升阻比K1條件下的滑翔終端速度偏差ΔV滿足要求，從而得到用于增速調(diào)節(jié)的平衡滑翔高度指令

4 仿真算例

以滑翔射程2700 km、滑翔終端速度1500 m/s為約束，分別針對滑翔初始高度±1 km、滑翔初始速度±100 m/s、氣動(dòng)升力+20%、氣動(dòng)阻力-20%等拉偏情況，取終端速度控制偏差VΔ≤10 m/s，進(jìn)行滑翔彈道和滑翔終端速度控制聯(lián)合設(shè)計(jì)方法仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 偏差情況下滑翔彈道設(shè)計(jì)及終端速度控制曲線Fig.5 Gliding Trajectory Design and Terminal Velocity Control Effect when Errors Exist

續(xù)圖5

從圖5可看出，采用本文的聯(lián)合設(shè)計(jì)方法，各種拉偏情況下終端速度控制情況良好，速度偏差在1 m/s范圍之內(nèi)。對于不同初始偏差，實(shí)時(shí)規(guī)劃彈道存在不同的規(guī)律。起滑高度拉偏情況下，實(shí)時(shí)規(guī)劃彈道初期采用小幅波動(dòng)實(shí)現(xiàn)對終端速度的控制，最終基本與標(biāo)稱彈道吻合；起滑速度和氣動(dòng)系數(shù)拉偏情況下，為了抵消初始速度偏差及全程氣動(dòng)系數(shù)偏差帶來的額外能量影響，需要全程抬高或壓低彈道實(shí)現(xiàn)對終端速度的控制，拉偏彈道相比標(biāo)稱彈道存在小量的偏離（不大于4 km）。

可見，本文終端速度控制與滑翔彈道聯(lián)合設(shè)計(jì)方法具有較好的應(yīng)用效果，所設(shè)計(jì)的滑翔彈道平穩(wěn)且具有良好的終端速度控制能力，對初始位置、速度偏差及氣動(dòng)偏差等具有較好的適應(yīng)性，魯棒性較強(qiáng)，具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)束語

本文通過理論建模和推導(dǎo)，給出滑翔射程和滑翔終端速度計(jì)算公式，具有較高的計(jì)算精度。提出一種易于實(shí)現(xiàn)的滑翔終端速度控制方法，該控制方法采用高度指令調(diào)節(jié)策略，為實(shí)現(xiàn)滑翔彈道與滑翔終端速度控制聯(lián)合設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ)。仿真驗(yàn)證表明該方法可行、有效，魯棒性較好，具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值。