大量粒子群體行為的解題策略

陶漢斌

(浙江金華第一中學(xué) 321015)

在新高考的進(jìn)程中，浙江省已進(jìn)行了五次選考物理的考試.在這些選考物理試題中經(jīng)常出現(xiàn)“大量粒子”的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，常考常新，精彩紛呈.如果從知識(shí)的角度剖析，面對(duì)大量粒子的群體行為，我們要善于選取恰當(dāng)?shù)摹芭R界”粒子(釘子戶)，利用“臨界”粒子進(jìn)行分析使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了、生動(dòng)形象.

例題(2017．11浙江選考試題)如圖1所示，x軸上方存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，坐標(biāo)原點(diǎn)處有一正離子源，單位時(shí)間在xOy平面內(nèi)發(fā)射n0個(gè)速率均為v的離子，分布在y軸兩側(cè)各為θ的范圍內(nèi).在x軸上放置長(zhǎng)度為L(zhǎng)的離子收集板，其右端點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2L，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0時(shí)，沿y軸正方向入射的離子，恰好打在收集板的右端點(diǎn).整個(gè)裝置處于真空中，不計(jì)重力，不考慮離子間的碰撞，忽略離子間相互作用.

(2)若發(fā)射的離子被收集板全部收集，求θ的最大值是多少；

(3)假設(shè)離子到達(dá)x軸時(shí)沿x軸均勻分布.當(dāng)θ=37°，磁感應(yīng)強(qiáng)度在B0≤B≤3B0的區(qū)間取不同值時(shí)，求單位時(shí)間內(nèi)收集板收集到的離子數(shù)n與磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間的關(guān)系.(不計(jì)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間)

解析正離子源射出的離子速率是相同的，因此它們?cè)诖艌?chǎng)中都做相同半徑的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只是轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角不同，也就是經(jīng)歷的圓弧長(zhǎng)度不同.那么分布在y軸兩側(cè)各為θ的范圍內(nèi)大量粒子，哪個(gè)是臨界粒子呢？我們知道圓周中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是直徑，因此沿y軸正方向射入的粒子是打到收集板上最遠(yuǎn)的臨界粒子，而沿y軸兩側(cè)以θ角射入的兩個(gè)離子也是臨界粒子，因?yàn)檫@兩個(gè)離子的弦長(zhǎng)是最短的，是打到收集板上最近的臨界粒子，其中一個(gè)是優(yōu)弧，另一個(gè)是劣弧.具體解答如下：

(1)對(duì)帶電粒子的圓周運(yùn)動(dòng)

而沿y軸正方向入射粒子軌跡為半圓R=L

(2)與y軸正方向夾角相同的向左和向右2個(gè)粒子，達(dá)到x軸時(shí)位置相同，當(dāng)粒子恰好達(dá)到收集板最左端時(shí)，θ達(dá)到最大，粒子軌跡如圖2所示

由圖中幾何關(guān)系得2Rcosθm=L=R

因此可得θmax=60°

(3)沿y軸正方向入射的臨界粒子，打在x軸上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離為2R

沿與y軸正方向馬θ=37°入射的臨界粒子，打在x軸上距離原點(diǎn)最近距離為

2Rcosθ=1.6R

也就是說(shuō)粒子打在x軸上的區(qū)間為1.6R～2R，而在x軸上吸收板的區(qū)間為L(zhǎng)～2L，如圖3所示.若全部收集到離子時(shí)的最小半徑為R1，則有

當(dāng)B0≤B≤1.6B0時(shí)收集板上收集到的離子數(shù)n1=n0

若恰好收集不到離子時(shí)的半徑為R2，則有

2R2=L

當(dāng)2B0

當(dāng)1.6B0

點(diǎn)評(píng)策略本題中的臨界粒子為沿y軸射入的粒子和沿與y軸成θ角的粒子，在解題的過(guò)程中只要盯住這兩個(gè)臨界粒子，就能將該題順利解決.

近二年在浙江省的選考試題中經(jīng)常出現(xiàn)“大量粒子”的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，面對(duì)粒子源射出的大量粒子，我們?nèi)绾吻腥雴?wèn)題進(jìn)行解題呢？大量粒子的運(yùn)動(dòng)有個(gè)性與共性問(wèn)題，這些粒子什么是相同的，什么是不同的，同學(xué)們要善于選取“臨界”粒子，即通常我們所說(shuō)的“釘子戶”，“釘子戶”搞定了，那一切問(wèn)題也就解決了.利用“臨界”粒子進(jìn)行分析可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了、形象生動(dòng)，使原本非常復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀簡(jiǎn)潔.