讓高中遞推數(shù)列教學(xué)走向陽光地帶

祁山國寶

(福建省莆田第八中學(xué) 351144)

遞推數(shù)列問題是高考的重要考點之一，它是教學(xué)的一個重點，但又是學(xué)生感覺比較棘手的問題之一.對遞推數(shù)列這一模塊，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中我們要怎么上好這一內(nèi)容，才能既不讓學(xué)生覺得枯燥，又能與我們當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱倡導(dǎo)的主旨思想相融合.本文結(jié)合近年高考中遞推數(shù)列出現(xiàn)的相關(guān)類型，淺談一下怎么讓現(xiàn)有高中遞推數(shù)列的教學(xué)更快地走向陽光地帶.

一、在遞推數(shù)列教學(xué)中，指引學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

例1 “斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù)．具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8,…，即從該數(shù)列的第三項數(shù)字開始，每個數(shù)字等于前兩個相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列{an}為“斐波那契”數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則(1)S7=____；(2)若a2017=m,則S2015=____(用m表示).

解析(1)S7=1+1+2+3+5+8+13=33.

(2)∵Sn+2-Sn=an+2+an+1=an+3,

∴S2015-S2013=a2016,s2013-s2011=a2014,…,s3-s1=a4.

疊加可得，S2015-S1=a2016+a2014+a2016+…+a6+a4.

∵a2017=a2016+a2015=a2016+a2014+a2013=a2016+a2014+a2012+a2011=…=a2016+a2014+a2012+a2010+…+a4+a3=S2015-S1+a3

所以S2015=a2017+S1-a3=m+1-2=m-1.

點評本題將遞推數(shù)列和數(shù)學(xué)文化相聯(lián)系，弄懂?dāng)?shù)學(xué)文化中蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)是關(guān)鍵，先把數(shù)學(xué)文化中蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系式用式子S2015-S2013=a2016,S2013-S2011=a2014,…,S3-S1=a4表示出來，接著用累加法就可求解，這體現(xiàn)了知識間的關(guān)聯(lián)性、思維的靈活性.

數(shù)學(xué)的發(fā)展史源遠流長，每種數(shù)學(xué)問題的提出和最后的解決都有其歷史的背景.數(shù)列教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)史知識的傳授，有利于學(xué)生對知識的來龍去脈在熟稔中學(xué)習(xí).另外數(shù)學(xué)問題的提出往往有其實踐的背景，或者是人民集體智慧的結(jié)晶，或者是某一時期特殊問題的解決之道，教師在課堂教學(xué)的過程中要努力挖掘現(xiàn)實問題的應(yīng)用.學(xué)以致用，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到自己學(xué)習(xí)的數(shù)列知識在現(xiàn)實生活中確實能解決很多問題的時候，學(xué)習(xí)的欲望和學(xué)習(xí)的效果自然而然就出來了.

因此, 在遞推數(shù)列的教學(xué)中，教師要有意識地把數(shù)學(xué)文化思想貫穿到平時的課堂教學(xué)中去，用數(shù)學(xué)文化的精髓去感化學(xué)生、影響學(xué)生，讓學(xué)生能夠沉浸在數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之奧妙中，去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，從而真正達到數(shù)學(xué)文化的育人功效，讓學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)習(xí)性得以塑造和提升.

二、在遞推數(shù)列教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會捕獲新知的能力

解析∵函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)有兩個零點1，2，

∴f(x)=ax2-3ax+2a.

則f′(x)=2ax-3a.

∴數(shù)列{an}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則an=2·2n-1=2n,故答案為：2n.

在現(xiàn)實課堂教學(xué)中, 遇到新定義型問題時，許多學(xué)生覺得困難重重，要么不理解題目提供的新定義內(nèi)涵，要么不能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行運算等.因此，在遞推數(shù)列的教學(xué)中，我們要有意識地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會遷移新知的能力，引導(dǎo)學(xué)生挖掘出對新定義類問題產(chǎn)生疑惑的原因，啟發(fā)學(xué)生找出解決新定義型問題的真正途徑，具有重要的現(xiàn)實意義.

三、在遞推數(shù)列教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生樹立數(shù)學(xué)函數(shù)思想

例3 已知函數(shù)y=f(x)的定義域為(0，+)，當(dāng)x>1時，f(x)>0，對任意的x，y∈(0，+)，f(x)+f(y)=f(x·y)成立，若數(shù)列{an}滿足a1=f(1)，且f(an+1)=f(2an+1)(n∈N+)，則a2017的值為( ).

A．a(chǎn)2014-1 B．a(chǎn)2015-1 C．a(chǎn)2016-1 D．a(chǎn)2017-1

解析∵f(x)+f(y)=f(x·y),

∴f(1)+f(1)=f(1)，即f(1)=0，a1=f(1)=0.

∵f(x)+f(y)=f(x·y),

∴y=f(x)為增函數(shù)．

由an+1=2an+1，可得

an+1+1=2(an+1)，an+1=2n-1，an=2n-1-1.

綜上a2017=22016-1．

數(shù)列中蘊含的函數(shù)思想，是研究數(shù)列的指導(dǎo)思想，應(yīng)及早引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.在教學(xué)中強調(diào)數(shù)列的項是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列，這樣不僅能夠引導(dǎo)學(xué)生通過多方面解決問題，而且對提高學(xué)生運用知識的能力也具有重要的意義.

因此，在遞推數(shù)列問題的教學(xué)中，教師要有意識地樹立學(xué)生的函數(shù)思想，教師要立足教材，挖掘出教材中蘊涵的函數(shù)思想，優(yōu)化教學(xué)過程，在教學(xué)過程中適時滲透函數(shù)思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)遞推數(shù)列問題的過程中，拓寬自己的函數(shù)思想與認(rèn)知視角.

四、在遞推數(shù)列教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生形成轉(zhuǎn)化與化歸意識

例4 已知數(shù)列{an}的首項為a(a≠0)，前n項和為Sn，且Sn+1=tSn+a(t≠0且t≠1,n∈N*)，bn=Sn+1.若cn=2+b1+b2+…+bn，則使數(shù)列{cn}為等比數(shù)列的所有數(shù)對(a,t)為____．

解析當(dāng)n=1時，由S2=tS1+a，解得a2=at.

當(dāng)n≥2時，Sn=tSn-1+a,

∴Sn+1-Sn=t(Sn-Sn-1)，即an+1=tan.

又a1=a≠0,

∴an=atn-1.

∴cn=2+b1+b2+…+bn

故滿足條件的數(shù)對是(1,2).

學(xué)習(xí)能力是學(xué)生尋找知識大門的鑰匙，是學(xué)生實現(xiàn)終身學(xué)習(xí)必須掌握的一項技能.在教與學(xué)過程中，學(xué)生要是沒有獲得必要的學(xué)習(xí)能力，那么在求知過程中就會受到相應(yīng)的阻礙.因此，在遞推數(shù)列問題的教學(xué)中，教師要有意識地啟發(fā)學(xué)生形成轉(zhuǎn)化與化歸意識，讓學(xué)生在有意識地轉(zhuǎn)化與化歸中去獲取新知、去提升能力.

總之，在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們要改變過分注重理論和規(guī)律，改變只看重分?jǐn)?shù)而不重視學(xué)生實際的教學(xué)態(tài)度，我們要在自己的課堂教學(xué)中將數(shù)學(xué)文化精髓、數(shù)學(xué)函數(shù)思想、挖掘新知和遷移新知能力潛移默化地滲透進、貫徹到平時的課堂教學(xué)中去，讓學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)蘊含的內(nèi)在應(yīng)用價值，從而激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和動力，達到教育的最終目的，讓我們的課堂教學(xué)更快地走向陽光地帶.