一類直線與圓問題及其解法的探析

李雅萍

(江蘇省木瀆高級中學(xué) 215156)

直線與圓的方程是解析幾何的基礎(chǔ)知識，它不僅涉及幾何知識，也涉及代數(shù)知識，綜合性較強(qiáng).下面先從蘇教版必修二課本的一道習(xí)題說起.

一、問題呈現(xiàn)

例1 已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

二、解法探究

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，分析題目會發(fā)現(xiàn)，“以AB為直徑的圓過原點(diǎn)”這句話，從不同的角度和切入點(diǎn)，可以有不一樣的解法.設(shè)以AB為直徑的圓為圓D，則AB有著三個身份：AB在直線l上，AB是圓C的弦，AB是圓D的直徑.

綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=x+1或y=x-4.

解出b=1或b=-4后，還要記得檢驗(yàn)直線l與圓C相交，這是很多同學(xué)解題時都容易忽略的.

聯(lián)立直線與圓的方程，消去y，得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0②.

角度三從圓系方程出發(fā)，用點(diǎn)在曲線上、曲線與方程的關(guān)系來解題.由AB的身份一和身份二，除了聯(lián)立方程組，還可以用圓系方程來解答.若直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則過兩公共點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).具體解題過程如下.

綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=x+1或y=x-4.

不過，不少同學(xué)用解法三求解這道題時，大多中途受阻，一個重要的原因就是“AB為直徑”未能轉(zhuǎn)化成“圓心D在直線l上”這一隱含條件.

以上可見，遵循所歸納的思路原理，沿著任何一種思維路徑都可解決問題.

三、反思感悟

三個角度的解法中，“以AB為直徑的圓過原點(diǎn)”分別與垂徑定理、勾股定理、數(shù)量積、韋達(dá)定理、點(diǎn)在直線上這些知識點(diǎn)聯(lián)系起來，用了等量代換、設(shè)而不求、聯(lián)立方程組、待定系數(shù)法等方法.

羅增儒教授將學(xué)會解題分為四個步驟：記憶模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析.模仿是對基本模式加以認(rèn)識并積累的過程；變式是在簡單模仿的基礎(chǔ)上主動實(shí)踐；自發(fā)領(lǐng)悟是內(nèi)化解題知識；自覺分析是對解題過程進(jìn)行自覺反思，使理解進(jìn)入到深層結(jié)構(gòu).對于一類問題的探析，首先是基于記憶模仿與變式訓(xùn)練的“模式識別”，然后是基于自發(fā)領(lǐng)悟與自覺分析的“算法設(shè)計”.數(shù)學(xué)題多似海，變化萬千，但許多問題及其解法在本質(zhì)上是一樣的.如果我們能有效地抓住問題、方法的本質(zhì)，就能實(shí)現(xiàn)舉一反三.