百試百靈的“套路”
——借助因式分解求字母的值

◎河北省秦皇島市第八中學(xué)八(11)班 李璧彤

我做數(shù)學(xué)題時(shí)，常常會遇到求字母的值的問題.這些題乍一看很難.學(xué)習(xí)了因式分解，我發(fā)現(xiàn)因式分解可以把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的乘積，而且，利用因式分解可以讓一些求字母取值的問題變得十分簡單，我還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)百試百靈的“套路”.下面就來跟大家分享一下.

【提出問題】

已知a2+4a+b2-6b+13=0，求a、b的值.

【分析問題】

這個(gè)式子看起來像一個(gè)方程，但是它有兩個(gè)未知數(shù)，無法解.我也沒看到有可以合并的項(xiàng)，怎么辦呢？這里有a2+b2，讓我想到了完全平方式，想到了因式分解.

在因式分解中，我們學(xué)過完全平方公式：

a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2.

在這里，我發(fā)現(xiàn)要想得到（a+b）2，必須要有2ab，而題中沒有.但是如果a2+4a、b2-6b找到合適的常數(shù)項(xiàng)，也可以出現(xiàn)完全平方式.因?yàn)閍2+4a+4=（a+2）2，b2-6b+9=（b-3）2，而 4+9正好等于 13，所以得（a+2）2+（b-3）2=0.

因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都有非負(fù)性，所以（a+2）2≥0，（b-3）2≥0.要想使結(jié)果等于0，那么必須有（a+2）2=0，（b-3）2=0，所以a=-2，b=3，這樣問題就解決了.

【問題變式】

我們再來觀察一道題：已知m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值.

【分析問題】

與第一題類似.觀察式子發(fā)現(xiàn)有2mn，那么完全平方公式中必須包含m，n，所以把2n2拆成n2+n2，就可以發(fā)現(xiàn)m2-2mn+n2+n2-8n+16=0，這不就是（m-n）2+（n-4）2=0嘛.所以m-n=0，n-4=0，可得n=4，m=4.

這里與前面問題不同的是，需要拆一項(xiàng)，再重組，最后再使用因式分解.

做到這里，是不是感覺有“套路”？好，我們再來做一題！

【問題延伸】

當(dāng)x，y為何值時(shí)，x2+y2+4x-6y+15有最小值？求出最小值.

【分析問題】

看到這個(gè)式子，我們可以聯(lián)想到之前的解決辦法.但題目中要求最小值，為什么會出現(xiàn)最小值呢？按我們現(xiàn)在所學(xué)，還是先來看看能不能配成完全平方吧.我們看到x2+4x與y2-6y與第一道題類似，所以想到x2+4x+4和y2-6y+9，那么原式就可以變成（x+2）2+（y-3）2+2，由于（x+2）2≥0，（y-3）2≥0，它們相加最小為0，所以（x+2）2+（y-3）2+2≥2，這樣此式最小值為2，此時(shí)x=-2，y=3.

【我的心得】

在因式分解中，完全平方式是一個(gè)很奇妙的式子，它具有非負(fù)性.所以當(dāng)式子為0時(shí)，字母值就很容易求出來了.當(dāng)我們遇到帶平方的式子的時(shí)候，一定要想一想因式分解.化簡后，一般問題就解決了.在此之前，我對這類題目總是發(fā)怵，經(jīng)過這一系列的研究，我感覺這“套路”還挺好用.因式分解，真是一種很實(shí)用的方法！

教師點(diǎn)評

小作者從自己的困惑出發(fā)，對一類求字母取值的問題進(jìn)行了一系列研究.由簡單的完全平方公式，聯(lián)想到對一個(gè)多項(xiàng)式分組、拆項(xiàng)、求最小值，借助因式分解和完全平方式的非負(fù)性，達(dá)到目的.這樣的探究思路，讓我們看到了知識經(jīng)驗(yàn)在她頭腦中的生長過程.隨著所學(xué)知識的積累，相信小作者的分析能力會越來越強(qiáng)！