基于主成分及密切值對比的班級學習情況分析

張鴻睿

（三峽大學 土木與建筑學院，湖南吉首 443000）

現(xiàn)在的教學工作者和教務管理者，面對學生的各種成績數(shù)據(jù)，大多數(shù)管理者只停留在單一的成績查詢上，導致許多數(shù)據(jù)資源的浪費。如何準確定量描述一個班的整體學習成績情況，科學合理地評價班級學生的成績情況和教學工作中存在的問題，成為了教育工作中普遍面臨的難題。

1 問題分析

班級整體成績情況排序可以由多個評價標準進行綜合評價，標準可以有：表示班級總體考試水平的成績均值；表示班級學習分化程度的成績標準差；表示班級每位同學在年級排名的平均排名的班級均排名等，為使所有指標保持同向性，即指標值越大班級整體情況越好，需對做取負處理或歸一化處理。而這些指標中不可避免地存在一些聯(lián)系，為解決這一問題，可以選用主成分分析法以最少的信息丟失為前提，將眾多的原指標綜合成較少幾個綜合指標。而后驗證主成分分析模型所得結果的準確性采用基于熵權的改進密切值模型從新計算班級排名。

2 模型建立

班級整體成績情況排序可以由多個評價標準綜合評價，在本題中班級整體成績的評價標準可以有：

X

成績均值，表示班級總體考試水平，均值越大班級整體情況越好；

X

成績標準差，表示班級學習分化程度，標準差越小班級整體情況越好；

X

班級均排名，即班級每位同學在年級排名的平均排名，排名越靠前班級整體情況越好；

X

班級占年級前50名人數(shù)，人數(shù)越多班級整體情況越好；

X

班級占年級前100名人數(shù)，人數(shù)越多班級整體情況越好；

X

班級占年級前150名人數(shù)，人數(shù)越多班級整體情況越好；

X

班級優(yōu)秀率，即班級優(yōu)秀成績人數(shù)占年級人數(shù)的比率，比率越大班級整體情況越好；

X

班級及格率，即班級及格成績人數(shù)占年級人數(shù)的比率，比率越大班級整體情況越好。為使所有指標保持同向性，即指標值越大班級整體情況越好，需對

X

、

X

做取負處理。為處理這些兩兩指標中存在一定聯(lián)系的綜合評價類問題，可以選用主成分分析法以最少的信息丟失為前提，將眾多的原指標綜合成較少幾個綜合指標。

2.1 主成分評價模型的建立

在實際生活中，每個指標的量綱均不相同，所以在計算之前應先消除量綱的影響，即需對原始數(shù)據(jù)標準化，做如下變換：

2.1.1 計算協(xié)方差矩陣

2.1.2 求出協(xié)方差矩陣的特征

λ

值及相應的正交化單位特征向量

a

然后，根據(jù)主成分的方差（信息）貢獻率用來反映信息量的大小。其中，

α

的計算表達式如下：

2.1.3 選擇主成分

當累計貢獻率大于85%時，就認為能足夠反映原來變量的信息，對應的

m

就是抽取的前

m

個主成分。

2.1.4 計算主成本荷載

2.1.5 計算主成分得分

計算成績樣本數(shù)據(jù)在

m

個主成分上的得分如下：

2.1.6 計算主成分權重

計算樣本在

m

個主成分上的權重：

2.1.7 計算總評分

根據(jù)上述各個樣本在

m

個主成分上的得分以及權重計算在綜合指標下的總評分，得到結果如下：

最終，根據(jù)

Borda

數(shù)大小進行排序便得到了各班近七次考試的綜合排名。

2.2 基于熵權改進密切值模型的建立

由于主成分分析模型在處理時對多個主成分進行加權綜合會降低評價函數(shù)區(qū)分的有效度，且該方法易受指標間的信息重疊影響。為驗證主成分分析模型所得結果的準確性采用基于熵權的改進密切值模型從新計算班級排名。

由于熵權值對樣本數(shù)量存在較高要求，即若樣本數(shù)量不夠就無法很好描述指標離散性。為增加樣本數(shù)量將每個班7次考試的成績當作7個班一次考試的成績，這樣樣本數(shù)量就達到了42個。具體步驟如下：

2.2.1 建立原始數(shù)據(jù)指標矩陣

2.2.2 有量綱矩陣模型的規(guī)范化

由于初始矩陣中各評價指標的量綱、數(shù)量級及指標優(yōu)劣的取向存在較大差異，故需對初始矩陣數(shù)據(jù)做規(guī)范化處理。模型中采用改進后的目標差值率法進行規(guī)范化處理公式如下：

2.2.3 構造虛擬的最優(yōu)情況班級和最劣情況班級

2.2.4 用熵權值法確定各評價指標權重

由此得到標準化矩陣：

根據(jù)斯梯林公式計算，可得第

j

項指標的信息熵值

e

為：

其中，常數(shù)

k

與系統(tǒng)樣本數(shù)

m

有關，其表達式為：

第

j

項指標的信息效用價值取決于該指標的信息熵

e

與1的差值

h

，則第

j

項指標的權重為：

2.2.5 計算密切值

則可得最優(yōu)密切值為：

2.2.6 改進密切值法進行班級整體成績評價原則

最后，由于所得結果是虛擬42個班成績情況，將其中每個班級的七次考試情況相加便得到該班級近期幾次考試總體情況。因此，總指標值越小，班級總體成績越好，反之越差。

3 模型的求解

在實際生活中，每個指標的量綱均不相同，所以在計算之前應先消除量綱的影響，即需對原始數(shù)據(jù)標準化，利用主成分分析模型求得各成分的權重計算班級每輪考試的總評分結果如表1。

表1 各班每次考試成績的綜合評價結果

如1表可知，每輪考試的總評分越大，說明本次考試班級的成績越優(yōu)秀。同時，直觀的觀察到1班和6班在7次考試中的總評分都是大于零，相對于其他四個班級成績更優(yōu)秀。而2班和4班的總評分均小于零，相比下成績比較差。

根據(jù)上面每班的總評分對每輪考試進行從大到小的排序得到每輪的班級排名。然后，利用決策論中的

Borda

數(shù)法來確定得到六個班級在七次考試中總評的

Borda

數(shù)。并進行排序，得到了各班近七次考試的綜合排名，結果如表2。

表2 Borda數(shù)法的綜合排名結果

將班級本次考試年級排名后面的班級個數(shù)作為評分，然后累加七次考試評分得到

Borda

數(shù)，對其排序得到班級的整體排名。其中，6班和1班分別排在前二名，2班和4班分別排在最后兩名，與上文中各班每輪考試的總評分整體分析結果一致，故

Borda

數(shù)法得到的排名符合實際。

表3 各班級最優(yōu)密切值和排名

在上述的排名方法中，各個主成分的權重具有一定的主觀想法評價。為了消除主觀意向的影響并對上述結果進行驗證，利用最優(yōu)密切值來表示班級綜合評價，從而得到各個班級的總排名如表3。

4 結果分析

對于本題，利用主成分分析法得到權重計算總評分，然后用

Borda

數(shù)法得到班級排名。這種方法具有一定的主觀意識，為了更客觀得到班級的排名，利用每個班級的最優(yōu)密切值進行排序，越小說明班級的成績越優(yōu)秀，從而得到班級的排名。兩種方法對比發(fā)現(xiàn)，各個班級近期成績排名結果一致，因此，最終排名第一位6班，最后一名為4班，各個班級排名符合客觀實際情況。