基于本原問題的數(shù)學(xué)題組設(shè)計(jì)

高建成

摘 要：題組教學(xué)可以通過不同條件、不同層次、不同背景、不同結(jié)構(gòu)的變化，形成學(xué)生認(rèn)知的稠密區(qū)，促使學(xué)生有效地加深對某一數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的認(rèn)識(shí)和理解.教師在題組設(shè)計(jì)中應(yīng)關(guān)注題組變化中不變的本原，在題組變化中發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的思考與內(nèi)化，提升解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：本原問題；題組設(shè)計(jì)；規(guī)律

本原問題從學(xué)科教學(xué)的角度可理解為，哪些問題反映了該學(xué)習(xí)主題中最為原始、樸素、本質(zhì)的觀念、思想和方法.一般地，以本原問題為藍(lán)本并加以變化、組合形成的系列問題稱為題組[1].通過例、習(xí)題組合、變式，讓學(xué)生在題組變化中找到不變的本原、在題組變化中發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的思考與內(nèi)化，提升解決問題的能力.基于此，從課堂教學(xué)實(shí)踐來看，很多一線教師在嘗試進(jìn)行題組教學(xué)，但他們對為什么進(jìn)行題組設(shè)計(jì)，題組設(shè)計(jì)中組合些什么以及如何結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容構(gòu)造題組等問題并不清楚，本文將就這些問題進(jìn)行探討.

一、為什么進(jìn)行題組設(shè)計(jì)？

德國M.瓦根舍因和克拉夫基等范例教學(xué)論者認(rèn)為，要克服傳統(tǒng)教學(xué)的弊端，就要重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，選擇學(xué)科材料中最典型的材料，形成認(rèn)識(shí)的稠密區(qū).顯然，在數(shù)學(xué)知識(shí)的稠密區(qū)里，數(shù)學(xué)的核心知識(shí)、方法、思想迅速匯集、交融，學(xué)生通過對這個(gè)稠密區(qū)的探究、發(fā)現(xiàn)、思考，逐漸形成一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，達(dá)到把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的目的.也就是說學(xué)生通過數(shù)學(xué)題組學(xué)習(xí)，來掌握一般的數(shù)學(xué)原理和方法，掌握同一類知識(shí)的規(guī)律，舉一反三，獲得獨(dú)立思考、獨(dú)立解決問題的數(shù)學(xué)方法.

題組教學(xué)就是要基于本原問題，服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)，組合而形成一個(gè)認(rèn)識(shí)的稠密區(qū).教材中可供進(jìn)行題組教學(xué)的材料是多種多樣的，對于同一內(nèi)容，可以進(jìn)行各式各樣的變化，題組的設(shè)計(jì)總是圍繞一個(gè)中心，有目的地進(jìn)行，而這一中心和目的或是理解某一概念，或是用來解釋某一法則，證明某一性質(zhì)，領(lǐng)悟某種思維方法等.

例如，在學(xué)習(xí)平方差公式[a+ba-b][=a2-b2]時(shí)，基于鞏固熟練的目的可設(shè)計(jì)題組一：[x+yx-y=_____]，[2a+3][2a-3][=_____]；基于揭示公式的結(jié)構(gòu)特征的目的，可設(shè)計(jì)題組二：在下列空格橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或字母，使其可以用平方差公式計(jì)算，并寫出計(jì)算結(jié)果：[a-b-a+__=_______]，[-a-b-a+__=_______]；基于思想方法的目的可設(shè)計(jì)題組三：[a+b+c][a+b-c][=_____]，[a+b+ca-b-c=_____]；基于運(yùn)用的目的，可設(shè)計(jì)題組四：[99×101=_____]，[998×1002=____]，一塊邊長為a的正方形土地，將一組對邊減少b，一組對邊增加b（b

對于不同的內(nèi)容，組合的形式和目的也常常不同，例如，方程、不等式、函數(shù)是一個(gè)彼此聯(lián)系、可以相互轉(zhuǎn)化的整體，為提高學(xué)生對此的認(rèn)識(shí)，在教學(xué)中，可通過解法變式、組合進(jìn)行溝通.

二、題組設(shè)計(jì)中組合什么？

課堂教學(xué)實(shí)踐中的問題設(shè)計(jì)，有時(shí)不能深刻分析哪些是本質(zhì)特征，哪些是非本質(zhì)特征，哪些是教學(xué)重點(diǎn)，哪些是教學(xué)難點(diǎn)，僅僅根據(jù)已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)作問題的組合，往往使得“組合什么”“不組合什么”具有很強(qiáng)的隨意性，表現(xiàn)為隨意變換問題的條件、結(jié)論等.

從一般意義上說，組合是相對于某種范式（即數(shù)學(xué)教材中具體的數(shù)學(xué)思維成果，含基本知識(shí)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、典型問題、思維模式等）的變化形式，就是不斷變更問題的情境或改變思維的角度.組合的內(nèi)涵似乎透露這樣的理念：無論是對事物的認(rèn)識(shí)還是概念的獲得都涉及一個(gè)“變”字——“無關(guān)特征或非本質(zhì)特征的變化”.

例如，用十字相乘法因式分解[x2+4x+3]，其中字母x，數(shù)字4，3都是該問題的非本質(zhì)屬性，可以隨意進(jìn)行變化，但這些對問題的本質(zhì)影響不大.這一問題的本質(zhì)屬性是式子的結(jié)構(gòu)特征：式子都可以表達(dá)為[x2+a+bx+ab].對問題進(jìn)行組合變化，常常就是對某一屬性加以變化，如對字母x加以變化，題組可設(shè)計(jì)為：[n2+4n+3]，[a+b2+][4a+b+3]等；若對數(shù)字1，4，3加以考慮，題組可設(shè)計(jì)為[2x2+x-3]，[3x2+11x-4]等；為增加難度，兩者也可同時(shí)組合.還可以從問題的呈現(xiàn)形式上加以考慮，如改為開放性問題，為二次三項(xiàng)式[x2+4x+___]補(bǔ)上常數(shù)項(xiàng)（整數(shù)），使其可以用十字相乘法因式分解，這就開始涉及式子的結(jié)構(gòu)特征問題了，當(dāng)然還可進(jìn)一步發(fā)展，在式子[x2+4x+___]空格處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使其可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解.

由此看來，對問題進(jìn)行組合，首先要能深刻分析問題的“屬性”，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，確立“組合點(diǎn)”.但我們必須意識(shí)到“不變量”與“不變性”才是組合的本質(zhì)特征.

三、怎樣進(jìn)行題組設(shè)計(jì)？

荷蘭數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾的再創(chuàng)造學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生本人把要學(xué)的東西去發(fā)現(xiàn)或再創(chuàng)造出來.用再創(chuàng)造的方法去進(jìn)行教學(xué)，而創(chuàng)造來源于問題的提出.教師在根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的心理水平和原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，把習(xí)題內(nèi)容創(chuàng)造性地加工，給學(xué)生構(gòu)造、組合一個(gè)思維探索的空間，幫助學(xué)生去進(jìn)行再創(chuàng)造.所以，問題的組合應(yīng)該符合下面要求.

首先，學(xué)生在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有解決習(xí)題的知識(shí)基礎(chǔ).（能學(xué)）

其次，習(xí)題中呈現(xiàn)的問題以已有的認(rèn)知，有內(nèi)涵與外延關(guān)系、上位與下位的關(guān)系、層次的邏輯關(guān)系，從而使得知識(shí)更加擴(kuò)充、深入，更具代表性.（該學(xué)）

最后，讓學(xué)生與生活、熱點(diǎn)問題、數(shù)學(xué)的通性問題去聯(lián)系，從而產(chǎn)生新的問題，對知識(shí)進(jìn)一步的掌握、理解.（想學(xué)）

基于以上認(rèn)識(shí)，對如何構(gòu)造數(shù)學(xué)題組很有啟發(fā)：

（1）數(shù)學(xué)題組是針對本原問題而言的，由此可見，首先要確定合適的本原問題.

（2）對問題系統(tǒng)進(jìn)行分析，確定核心要素.對問題結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，確定組合的層次.

（3）對問題進(jìn)行再創(chuàng)造.如改變例題、習(xí)題的條件或結(jié)論，如改變數(shù)字、改變符號(hào)；或?qū)栴}通過特殊化、一般化等方式加以推廣或拓展等；或交換（部分）條件與（部分）結(jié)論；或改變題目的背景，改變問題的題型（變封閉題型為開放題型）等.

例如，針對二次函數(shù)這一本原問題，在許多方面有著廣泛的運(yùn)用，為提高學(xué)生對這部分內(nèi)容的認(rèn)識(shí)水平和遷移能力，可通過下列組合設(shè)計(jì)問題.

本原問題：求二次函數(shù)[y=-x2+8x-10]的頂點(diǎn)坐標(biāo).

這是一道基本也是典型的二次函數(shù)問題.結(jié)合問題屬性和呈現(xiàn)方式可進(jìn)行一系列變式.

改變問法，可得：

問題1：求二次函數(shù)[y=-x2+8x-10]的最大值.

改變拋物線解析式，即拋物線不是“標(biāo)準(zhǔn)式”，而是“非標(biāo)準(zhǔn)式”那又會(huì)怎樣？

問題2：求二次函數(shù)[y=-x2+8x]的頂點(diǎn)坐標(biāo).

改變問題的隱含條件，即自變量x的取值范圍不是實(shí)數(shù)，而是實(shí)數(shù)的子集又會(huì)怎樣？

問題3：求二次函數(shù)[y=-x2+8x]的最大值（[3≤x≤5]）.

改變問題的背景，可得：

問題4：一個(gè)矩形的周長為16，求該矩形面積的最大值.

改變問題的解法，可得：

問題5：你能用與上述解法不同的方法解答上述問題嗎？

如果問題的條件不是以直接方式給出，而是以另一方式呈現(xiàn)又會(huì)怎樣？

問題6：一個(gè)周長為定長的矩形ABCD，已知當(dāng)AB=2或AB=4時(shí)，矩形的面積相等.由此你能確定該矩形的周長嗎？你能確定矩形面積的最大值嗎？如果可以，請直接寫出結(jié)果.

交換條件和結(jié)論，可得：

問題7：若二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，6），寫出符合條件的一個(gè)二次函數(shù)解析式.

如果自變量不是連續(xù)變量，而是離散變量，那又怎樣？

問題8：已知關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)[y=n2+an]（a為實(shí)常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)，y有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.

如果是含參數(shù)問題，變化之中又有哪些不變性呢？

問題9：設(shè)函數(shù)y=（x-1）[（k-1）x+（k-3）]（k是常數(shù)）.①請你在同一直角坐標(biāo)系中畫出當(dāng)k取0，1和2時(shí)的函數(shù)圖象；②根據(jù)圖象，寫出你發(fā)現(xiàn)的一條結(jié)論.

通過這一題組的設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生感受到這類問題的本質(zhì).同時(shí)，學(xué)生通過問題跟進(jìn)式的探究學(xué)習(xí)，可以為課堂節(jié)省很多時(shí)間，使得探究不再是難事，進(jìn)一步提高課堂效率.讓學(xué)生參與問題的編擬，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題及解決問題的過程，理解這類問題的實(shí)質(zhì)，從而進(jìn)行“再創(chuàng)造”.

教師能夠找到一個(gè)本原問題進(jìn)行巧妙引導(dǎo)，不斷地進(jìn)行問題組合，把學(xué)生的思路引向問題的拓展點(diǎn)，并在拓展點(diǎn)處設(shè)問，挖掘思維的深度，這樣學(xué)生思維的條理性和創(chuàng)造性就得以有效培養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]陳鋒，薛鶯.例談中考復(fù)習(xí)課的題組教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2017（6）：51.