關(guān)于高考中直接使用極坐標(biāo)方程解題的一點(diǎn)思考

廣東省珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)(519000)李 凱 黎躍友

研究背景全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)第22題考查的是選修4-4《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》的內(nèi)容,對(duì)于不少問(wèn)題,是直接用極坐標(biāo)方程求解還是化成直角坐標(biāo)方程求解,一直是學(xué)生很疑惑的事情,有時(shí)自己通過(guò)化成直角坐標(biāo)方程后需要算很久才能得到答案,而參考答案中直接用極坐標(biāo)方程很快就得到答案;可是有時(shí)直接用極坐標(biāo)方程求解又出錯(cuò)或根本得不到答案,在一線(xiàn)教學(xué)中不少教師對(duì)極坐標(biāo)系的講解往往只強(qiáng)調(diào)會(huì)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的問(wèn)題來(lái)求解.廣東步入全國(guó)卷已進(jìn)入第三個(gè)年頭,以前廣東卷對(duì)4-4《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》的考查是一道填空題,而現(xiàn)在全國(guó)卷變?yōu)榱艘坏澜獯痤},以前基本會(huì)進(jìn)行方程之間的互相轉(zhuǎn)化即可應(yīng)付考試,而現(xiàn)在在解答題中不僅考轉(zhuǎn)化,而且還考查應(yīng)用,在不少題目中直接用極坐標(biāo)方程解題也許能簡(jiǎn)化計(jì)算,在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)不少教師還是延續(xù)了備考以前廣東卷的思想,沒(méi)有挖掘極坐標(biāo)知識(shí)的內(nèi)涵,在教學(xué)中只強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解.

一、由一道考題學(xué)生作答情況引發(fā)思考

題目(2017年全國(guó)II卷第22題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4．M為曲線(xiàn)C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線(xiàn)段OM上,且滿(mǎn)足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;(2)從略.

解法1(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)ρ＞0,M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ).由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=由|OM|·|OP|=16,得C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ(ρ＞0).因此,C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x/=0).

解法2(1)設(shè)P的直角坐標(biāo)為(x,y),曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程為x=4;可設(shè)M的坐標(biāo)為(4,t),因?yàn)镺,P,M三點(diǎn)共線(xiàn),向量xt-4y=0,而P在線(xiàn)段OM上,顯然P與原點(diǎn)不重合,故

而|OM|·|OP|=16,故

在某次模擬考試題中,我們把這道題選到試卷里作為檢測(cè)題.解法1是原參考答案.發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都用的是解法2的思路,把它當(dāng)作解析幾何里求軌跡來(lái)解決;而因?yàn)樵揪蛻峙陆馕鰩缀沃械挠?jì)算,得到最終結(jié)果的很少,或者得到了最終答案的,也花費(fèi)了很多時(shí)間,事實(shí)上本題直接用極坐標(biāo)來(lái)解,即方法1,方便很多.

二、分析原因與尋找對(duì)策

高考考情分析筆者對(duì)比近三年的考試說(shuō)明,發(fā)現(xiàn)有關(guān)對(duì)極坐標(biāo)的考查說(shuō)明幾乎沒(méi)有變化,在2018年的考試說(shuō)明中對(duì)極坐標(biāo)的考查主要有兩點(diǎn)：(1)了解極坐標(biāo)的基本概念,會(huì)在極坐標(biāo)中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化;(2)能在在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程.從考試說(shuō)明來(lái)看,一方面我們要會(huì)轉(zhuǎn)化,我們也要會(huì)應(yīng)用“簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程”.

學(xué)生學(xué)習(xí)誤區(qū)由于在考題中碰到的極坐標(biāo)方程都是我們熟悉的直線(xiàn),圓,圓錐曲線(xiàn),全部化為直角坐標(biāo)方程當(dāng)作一個(gè)解析幾何問(wèn)題是肯定能解出來(lái)的,不少學(xué)生以為全部轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解題就是解題的萬(wàn)能鑰匙,事實(shí)上這把萬(wàn)能鑰匙也只是應(yīng)對(duì)了考試說(shuō)明中“能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化”這一內(nèi)容.

應(yīng)對(duì)策略在高考題中碰到曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程都是非常簡(jiǎn)單的,比如直線(xiàn),極點(diǎn)為圓心的圓,經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓,還有圓錐曲線(xiàn)等都比較容易把曲線(xiàn)化為ρ=f(θ)或其它比較簡(jiǎn)單的形式.當(dāng)求解一些可由點(diǎn)的極徑表達(dá)的長(zhǎng)度和用極徑極角表達(dá)的面積問(wèn)題時(shí),直接用極坐標(biāo)方程參與計(jì)算會(huì)方便很多.而轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程還需聯(lián)立方程和用到弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,計(jì)算量更大;另外還有一些與求曲線(xiàn)的軌跡方程有關(guān)的問(wèn)題,比如幾何特征比較明顯或者一條曲線(xiàn)繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得另一條曲線(xiàn),直接尋找曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的極角與極徑的關(guān)系式來(lái)求軌跡更容易.

三、分類(lèi)剖析常見(jiàn)適用于直接用極坐標(biāo)方程來(lái)解題的試題

類(lèi)型1通過(guò)極徑的運(yùn)算來(lái)求弦長(zhǎng)和面積.

例1(廣西2017屆聯(lián)合檢測(cè))在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

解(1)2y-5=0,故其極坐標(biāo)方程為0.(2)將得 ρ2-2ρ-5=0,由于 ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=-5,所以|MN|=|ρ1-ρ2|=

類(lèi)型2通過(guò)極徑來(lái)求一些與長(zhǎng)度和面積有關(guān)的最值問(wèn)題.

例2(2015年全國(guó)II卷第23題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C1:(t為參數(shù),t/=0),其中0≤α＜π,在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)C2:ρ=2sinθ,曲線(xiàn)C3:ρ=

(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值.

解(1)聯(lián)立曲線(xiàn)C2和C3的直角坐標(biāo)方程,有解得C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和

(2)曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ/=0,其中0≤ α＜ π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα,α),B的極坐標(biāo)為時(shí),|AB|取得最大值,最大值為4.

類(lèi)型3幾何特征比較明顯或與繞極點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題.

例3(石家莊市2017屆第二次模擬考試)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=a(a＞0),Q為l上一點(diǎn),以O(shè)Q為邊作等邊三角形OPQ,且O,P,Q三點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?

(I)當(dāng)點(diǎn)Q在l上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程;(II)略.

解(I)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ,θ),則由題意可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為再由點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)等于a(a＞0),可得故當(dāng)點(diǎn)Q在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)方程為

類(lèi)型4聯(lián)立兩個(gè)方程求交點(diǎn)極坐標(biāo)或已知兩個(gè)極坐標(biāo)方程交點(diǎn)滿(mǎn)足的條件求參數(shù)值.

例4(2013年全國(guó)I卷理科)已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ-2sinθ.

(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；

(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π).

解(1)C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.

(2)顯然曲線(xiàn)C1不經(jīng)過(guò)極點(diǎn),即極點(diǎn)不是它們的交點(diǎn),這樣曲線(xiàn)C1和C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

把C2的方程代入C1的方程,整理得16cos2θ-16sinθ cosθ=0,即16cosθ(cosθ-sinθ)=0,故cosθ=0或cosθ=sinθ,再結(jié)合0≤ θ＜2π,得 θ=分別代入C2的方程可得再結(jié)合條件ρ≥0,得C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為

例5(2016年全國(guó)I卷理科)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a＞0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)C2:ρ=4cosθ.

(1)說(shuō)明C1是哪種曲線(xiàn),并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；

(2)直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為θ=a0,其中a0滿(mǎn)足tana0=2,若曲線(xiàn)C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.

解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.即C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.

(2)曲線(xiàn)C1與C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組若ρ/=0,由方程組得16cos2θ-8sinθ cosθ+1-a2=0,由已知條件tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθ cosθ=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.而a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1與C2的公共點(diǎn),在C3上.所以a=1.

四、鞏固練習(xí)

1(安徽省江淮十校2018屆高聯(lián)考理科試題)平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為

(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)若射線(xiàn)OM:θ=a0(ρ≥0)平分曲線(xiàn)C2,且與曲線(xiàn)C1交于點(diǎn)A,曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)B滿(mǎn)足求|AB|.

2(湖南省衡陽(yáng)市2018屆聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,A,B為曲線(xiàn)C上兩點(diǎn),且OA⊥OB,設(shè)射線(xiàn)OA:θ=a,其中

(1)求曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程;(2)求|OA|·|OB|的最小值.

3(張掖市民樂(lè)縣第一中學(xué)2018屆月考試題)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(θ為參數(shù)),點(diǎn)P在直線(xiàn)l:x+y-4=0上,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系．

(1)求圓C和直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程;(2)射線(xiàn)OP交圓C于R,點(diǎn)Q在射線(xiàn)OP上,且滿(mǎn)足|OP|2=|OR|·|OQ|,求Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．

解析與提示1.(1)C1:

五、2018年全國(guó)卷高考第22題回顧與分析

在剛剛結(jié)束的2018年高考中,全I(xiàn)卷(文理)第22題考查的是轉(zhuǎn)化圓的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程后,已知直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的值;全國(guó)II卷和III卷(文理)均考的是參數(shù)方程的概念和應(yīng)用.從全國(guó)三套卷來(lái)看,2018年并沒(méi)有重點(diǎn)考查極坐標(biāo)的應(yīng)用.筆者認(rèn)為這是一種考查知識(shí)點(diǎn)的正常輪換,因?yàn)樵谇叭?前面的例題可見(jiàn))試題中有強(qiáng)調(diào)對(duì)極坐標(biāo)知識(shí)的重點(diǎn)考查,今年對(duì)參數(shù)方程的考查更多一點(diǎn),我們不能掉以輕心,不可弱化對(duì)這一知識(shí)的研究和教學(xué).

六、教學(xué)建議與2019年高考展望

由于在高考試題中碰到的極坐標(biāo)方程都是可以化成直角坐標(biāo)方程的,以上所有的題目都可以轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程來(lái)求解,當(dāng)然如果都這樣來(lái)處理,那么這道題就變成一個(gè)解析幾何的附屬品.而解析幾何是高中階段公認(rèn)的難點(diǎn),這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是難以承受的.對(duì)于上面歸納的這些類(lèi)型的題,在極坐標(biāo)系下,學(xué)生只需運(yùn)用三角函數(shù)運(yùn)算即可解題,而三角屬于高中階段比較基本的知識(shí),學(xué)生一般都較為熟練,這樣解題就避免了很大的計(jì)算量,學(xué)生易于接受,這種解題方法與思想非常值得我們教學(xué)中教給學(xué)生.而且從知識(shí)的完備性和后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)的角度來(lái)看,學(xué)生理解極坐標(biāo)系下解決某些問(wèn)題的優(yōu)越性是非常有必要的,比如螺旋線(xiàn)(注：不在高考考察范圍內(nèi))的方程為ρ=θ,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程后形式較為復(fù)雜,也就是說(shuō)極坐標(biāo)系有助于拓展我們認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)的功能.

除了研究教材和高考真題外,每年的考試說(shuō)明中的題型示例以及參考答案也能指導(dǎo)我們教學(xué)和備考.在2018年版的考試說(shuō)明中有關(guān)22題的題型示例共兩道,其中一道的參考答案就是直接用極坐標(biāo)方程來(lái)解題的,現(xiàn)摘錄如下：

2018年版考試說(shuō)明中的選考內(nèi)容題型示例2在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;(2)直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=10,求l的斜率．

解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ2+12ρcosθ+11=0.

(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為θ=α,(ρ∈R).設(shè)A,B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標(biāo)方程代入圓C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcosθ+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cosθ,ρ1ρ2=11,所以|AB|=|ρ1-ρ2|=

2018年高考中側(cè)重考查的是參數(shù)方程,展望2019年,我們要對(duì)這一命題方向要更加重視.從2016年高考開(kāi)始,全國(guó)大部分地方都并入了全國(guó)卷,在以前各省命題時(shí),有關(guān)極坐標(biāo)的考查多數(shù)是只考一道填空題,而現(xiàn)在全國(guó)卷對(duì)這一知識(shí)的考察是一道解答題,知識(shí)的深度廣度都有增強(qiáng).因此,需要我們對(duì)知識(shí)進(jìn)行深層次的挖掘.