對《數(shù)學(xué)必修2》的《立體幾何》一章的修改建議*—談立體幾何證明題表述的規(guī)范化

廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)(526100) 程華生

在高考中,數(shù)學(xué)解答題有6個,其中必有1個是立體幾何的題目,立體幾何是高中數(shù)學(xué)知識的一大板塊.

在日常教學(xué)中,我發(fā)現(xiàn)很多資料上給出的立體幾何證明題的參考答案,存在很大缺陷,包括課本上給出的立體幾何證明題的答案也是有待改進(jìn)的,它們的共同缺點(diǎn)是:缺條件.

在此,我提倡立體幾何證明題表述的規(guī)范化.

首先,我給出立體幾何常用的10個判定定理和性質(zhì)定理.

(1)線面平行的判定定理

文字語言:平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.

符號語言:a//b,a/?α,b?α?a//α.

3個條件推出1個結(jié)論.線線平行?線面平行.

作用:證明直線與平面平行的方法一(第一選擇)

(2)線面平行的性質(zhì)定理

文字語言:一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.

符號語言:a//α,a?β,α∩β=b?a//b.

3個條件推出1個結(jié)論.線面平行?線線平行.

作用:一個題目有“線面平行”的條件時,由此條件可以推出“線線平行”.

(3)面面平行的判定定理

文字語言:一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.

符號語言:a?β,b?β,a∩b=P,a//α,b//α?α//β.

5個條件推出1個結(jié)論,但是前面2個經(jīng)常省略不寫,“3個條件推出1個結(jié)論”即可.線面平行?面面平行.

作用:證明兩個平面平行.

(4)面面平行的性質(zhì)定理一

文字語言:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.

符號語言:α//β,α∩γ=a,β∩γ=b?a//b.

3個條件推出1個結(jié)論.面面平行?線線平行.

作用:一個題目有“面面平行”的條件時,由此條件可以推出“線線平行”

(5)面面平行的性質(zhì)定理二

文字語言:如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都和另一個平面平行.

符號語言:α//β,m?β?m//α.

2個條件推出1個結(jié)論.面面平行?線面平行.

作用:證明直線與平面平行的的方法二(第二選擇)

(6)線面垂直的判定定理

文字語言:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.

符號語言:l⊥a,l⊥b,a∩b=P,a?α,b?α?l⊥α.

5個條件推出1個結(jié)論,但是后面2個經(jīng)常省略不寫,“3個條件推出1個結(jié)論”即可.線線垂直?線面垂直.

作用:證明直線與平面垂直.

(7)線面垂直的性質(zhì)定理一

文字語言:垂直于同一個平面的兩條直線平行.

符號語言:a⊥α,b⊥α?a//b.

2個條件推出1個結(jié)論,線面垂直?線線平行.

作用:一個題目有“兩條直線都和同一個平面垂直”的條件時,由此條件可以推出“線線平行”.

(8)線面垂直的性質(zhì)定理二

文字語言:如果一條直線和一個平面垂直,那么這條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.

符號語言:a⊥α,b?α?a⊥b.

2個條件推出一個結(jié)論.線面垂直?線線垂直.

作用:(i)證明直線與直線垂直;(ii)一個題目有“線面垂直”的條件時,由此條件可以推出“線線垂直”.

(9)面面垂直的判定定理

文字語言:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

符號語言:l⊥β,l?α?α⊥β.

2個條件推出一個結(jié)論.線面垂直?面面垂直.

作用:證明兩個平面垂直.

(10)面面垂直的性質(zhì)定理

文字語言:兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

符號語言:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.

4個條件推出一個結(jié)論.面面垂直?線面垂直.

作用:一個題目有“面面垂直”的條件時,由此條件可以推出“線面垂直”

在日常教學(xué)中,我要求學(xué)生必須熟記每個定理分別是“幾個條件推出一個結(jié)論”,有的定理是“兩個條件推出一個結(jié)論”,有的定理是“三個條件推出一個結(jié)論”,有的定理是“四個條件推出一個結(jié)論”,寫證明過程的時候,不要“缺條件”.

我還經(jīng)常在黑板上,對一些立體幾何的證明題,寫出完美的證明過程,起好的示范作用.

經(jīng)過長時間的訓(xùn)練,學(xué)生對立體幾何越來越感興趣,數(shù)學(xué)成績穩(wěn)步提升.

在人民教育出版社出版的《數(shù)學(xué)必修2》課本的第66頁的例2,原題如下:

例2如圖2.3—9,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.

圖2.3-9

解連接BC1交B1C于點(diǎn)O,連接A1O.設(shè)正方體的棱長為a,因?yàn)锳1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1,所以A1B1⊥BC1,又因?yàn)锽C1⊥B1C,所以BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影,∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中,因此,直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.

對于課本給出的這個答案,證明過程嚴(yán)重“缺條件”,我建議將其修改完善如下:

解連接BC1,設(shè)BC1∩B1C=O,連接A1O.設(shè)正方體的棱長為a,

因?yàn)锳1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,所以A1B1⊥平面BCC1B1.因?yàn)锳1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,所以A1B1⊥BC1.因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是正方形,BC1、B1C是對角線,所以BC1⊥B1C.因?yàn)锽C1⊥B1C,BC1⊥A1B1,B1C∩A1B1=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD.因?yàn)锳1B是平面A1B1CD的斜線,BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影,∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.因?yàn)锽C1⊥平面A1B1CD,A1O?平面A1B1CD,所以BC1⊥A1O. 因?yàn)锽C1⊥A1O,所以 ∠BOA1=90°,△BOA1為直角三角形,BA1=對于又因?yàn)椤螧A1O是銳角,所以∠BA1O=30°,所以直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.

在人民教育出版社出版的《數(shù)學(xué)必修2》第69頁的例3,原題如下:

例3如圖2.3-14,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),求證:平面PAC⊥平面PBC.

圖2.3-14

證明設(shè)⊙O所在平面為α,由已知條件,PA⊥α,BC在α內(nèi),所以PA⊥BC.因?yàn)辄c(diǎn)C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),AB是⊙O的直徑,所以,∠BCA是直角,即BC⊥AC.又因?yàn)镻A與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線,所以,BC⊥平面PAC.又因?yàn)锽C在平面PBC內(nèi),所以,平面PAC⊥平面PBC.

我建議將其修改完善如下:

證明設(shè)⊙O所在平面為α,因?yàn)镻A⊥α,BC?α,所以PA⊥BC.因?yàn)锳B是⊙O的直徑,點(diǎn)C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),所以 ∠ACB=90°.因?yàn)?∠ACB=90°,所以BC⊥AC.因?yàn)锽C⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锽C⊥平面PAC,BC?平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.