關(guān)于貝葉斯公式的教學(xué)探討

唐獻(xiàn)秀 林尤武

【摘 要】貝葉斯公式是概率論中很重要的公式，公式涉及條件概率公式、全概率公式與乘法公式等重要公式，也是概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。本文介紹貝葉斯公式的定義以及應(yīng)用實(shí)例，以便在教學(xué)中更好地幫助學(xué)生深入地理解以及應(yīng)用公式。

【關(guān)鍵詞】貝葉斯公式；條件概率公式；全概率公式；乘法公式；概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G640 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2018）15-0025-01

一、引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域。最簡單的投擲硬幣問題、博彩中獎(jiǎng)、平分賭金、約會(huì)問題，到導(dǎo)彈的命中率、航天器碰撞概率、投資風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)問題等等，都離不開概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí).法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說：“生活中最重要的問題，絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題”.而貝葉斯公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中非常重要的一個(gè)公式，是教學(xué)中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。貝葉斯公式是英國學(xué)者托馬斯·貝葉斯于17世紀(jì)最早發(fā)現(xiàn)的，之后法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯再次總結(jié)，逐漸被人們熟知，并認(rèn)識(shí)到這個(gè)公式的重要性。公式涉及條件概率公式、全概率公式與乘法公式等重要公式，復(fù)雜難記、與全概率公式難于區(qū)分。根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，下面舉例進(jìn)行講解。

二、貝葉斯公式的定義

先引入樣本空間Ω的劃分的定義：

設(shè)Ω為樣本空間，A1，A2，…，An為Ω的一組事件，若滿足

（1）AiAj=，i≠j，i，j=1，2，…，n

（2）∪〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗Ai=Ω

則稱A1，A2，…An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分。

例如：A，A〖TX-〗就是Ω的一個(gè)劃分。

若A1，A2，…，An是Ω的一個(gè)劃分，那么，對每次試驗(yàn)，事件A1，A2，…，An中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生。

貝葉斯（Bayes）公式：

設(shè)樣本空間為Ω，B為Ω中的事件，A1，A2，…，An為Ω的一個(gè)劃分，且，P（B）>0，P（Ai）>0，i=1，2，…，n，則有

P（Ai|B）=〖SX（〗P（B|Ai）P（Ai）〖〗∑〖DD（〗n〖〗j(luò)=1〖DD）〗P（B|Aj）P（Aj）〖SX）〗，i=1，2，…，n

稱上式為貝葉斯（Bayes）公式，也稱為逆概率公式。

三、針對普通理工科學(xué)生所舉的例子

（醫(yī)療診斷）由以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下效果：被診斷者有癌癥，試驗(yàn)反應(yīng)為陽性的概率為0.95；被診斷者沒有癌癥，試驗(yàn)反應(yīng)為陰性的概率為0.95.現(xiàn)對自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人群中患有癌癥的概率為0.005，求：已知試驗(yàn)反應(yīng)為陽性，該被診斷者確有癌癥的概率。

解：設(shè)A表示“患有癌癥”，A〖TX-〗表示“沒有癌癥”，B表示“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，則由條件得P（A）=0.005，P（A〖TX-〗）=0.995，P（B|A）=0.95，P（B〖TX-〗|A〖TX-〗）=0.95

由此P（B|A〖TX-〗） =1-0.95=0.05

由貝葉斯公式得P（A|B）=〖SX（〗P（A）P（B|A）〖〗P（A）P（B|A）+P（A〖TX-〗）P（B|A〖TX-〗）〖SX）〗=0.087。

根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析可以得到，患有癌癥的被診斷者，試驗(yàn)反應(yīng)為陽性的概率為95%，沒有患癌癥的被診斷者，試驗(yàn)反應(yīng)為陰性的概率為95%，都叫做先驗(yàn)概率。而在得到試驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陽性，該被診斷者確有癌癥重新加以修正的概率0.087叫做后驗(yàn)概率。此項(xiàng)試驗(yàn)也表明，用它作為普查，正確性診斷只有8.7%（即1000人具有陽性反應(yīng)的人中大約只有8.7人的確患有癌癥）。由此可看出，當(dāng)我們?nèi)メt(yī)院檢查出陽性時(shí)，不必驚慌。

四、針對電信學(xué)院的學(xué)生所舉的例子

（修理計(jì)算機(jī)系統(tǒng)）一所大學(xué)暫時(shí)關(guān)閉計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的局域網(wǎng)以便維修。以前的關(guān)閉是由于硬件故障，軟件故障或電力故障。維護(hù)工程師確定硬件，軟件和電力問題的概率分別為0.01，0.05和0.02。確定了如系統(tǒng)遇到硬件問題，以的機(jī)會(huì)關(guān)閉。類似地，若軟件問題發(fā)生，以的機(jī)會(huì)關(guān)閉；如果電力故障發(fā)生，系統(tǒng)以的機(jī)會(huì)關(guān)閉。局域網(wǎng)的當(dāng)前關(guān)閉是由于硬件故障？軟件故障？電力故障的概率分別是多少？

解：用A表示“硬件故障”，B表示“軟件故障”，C表示“電力故障”，D表示“系統(tǒng)關(guān)閉”，則由條件得P（A）=0.01，P（B）=0.05，P（C）=0.02，

P（D|A）=0.73，P（D|B）=0.12，P（D|C）=0.88。

P（D）〖ZK（〗=P（AD）+P（BD）+P（CD）

=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=0.0309〖ZK）〗

由貝葉斯公式得

P（A|D）=〖SX（〗P（A）P（D|A）〖〗P（D）〖SX）〗=0.2362，P（B|D）=〖SX（〗P（B）P（D|B）〖〗P（D）〖SX）〗=0.19417，

P（C|D）=〖SX（〗P（C）P（D|C）〖〗P（D）〖SX）〗=0.569579

當(dāng)系統(tǒng)關(guān)閉時(shí)，應(yīng)該先檢查電力，然后再檢查硬件，最后檢查軟件。

五、針對建筑工程學(xué)院的學(xué)生所舉的例子

（估計(jì)任務(wù)成本中的錯(cuò)誤） 一個(gè)建筑公司雇傭了三個(gè)銷售工程師，記為（E1，E2，E3），分別估計(jì)所有投標(biāo)任務(wù)成本的0.3，0.2和0.5。用D表示工程師們在估計(jì)成本時(shí)犯嚴(yán)重錯(cuò)誤，且有P（D|E1）=0.01，P（D|E2）=0.03，P（D|E3）=0.02。求在估計(jì)成本時(shí)，如某個(gè)投標(biāo)出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤由工程師E1，E2，E3造成的概率分別是多少？哪個(gè)工程師最有可能為重大錯(cuò)誤負(fù)責(zé)？

解：由條件得P（E1）=0.3，P（E2）=0.2，P（E3）=0.5。

P（D）〖ZK（〗=P（E1D）+P（E2D）+P（E3D）

=P（E1）P（D|E1）+P（E2）P（D|E2）+P（E3）P（D|E3）=0.019〖ZK）〗

由貝葉斯公式得

P（E1|D）=〖SX（〗P（E1）P（D|E1）〖〗P（D）〖SX）〗=0.158，P（E2|D）=〖SX（〗P（E2）P（D|E2）〖〗P（D）〖SX）〗=0.316，

P（E3|D）=〖SX（〗P（E3）P（D|E3）〖〗P（D）〖SX）〗=0.526。

由此可見工程師E3最有可能為重大錯(cuò)誤負(fù)責(zé)。

六、小結(jié)

在貝葉斯公式的教學(xué)中，為了讓學(xué)生了解貝葉斯公式在現(xiàn)實(shí)生活中的許多應(yīng)用，提醒學(xué)生要善于總結(jié)反思。通過這樣的教學(xué)方式，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，既能讓學(xué)生理解枯燥難懂的定理，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、創(chuàng)造性，讓學(xué)生能夠?qū)W以致用。教學(xué)是一種傳知的高級(jí)心智活動(dòng) ，這種活動(dòng)有著自己的規(guī)律性。一個(gè)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該有創(chuàng)造性工作的體驗(yàn) ，針對不同專業(yè)的學(xué)生采用不同的教學(xué)方法，在教學(xué)實(shí)踐中去細(xì)心體察與探索 。使同學(xué)們對 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程更加感興趣 ，更好地學(xué)習(xí)這門課程以及應(yīng)用這門課程的知識(shí)到自己所學(xué)的專業(yè)當(dāng)中，服務(wù)于所學(xué)的專業(yè)及未來的生產(chǎn)實(shí)踐生活中。

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個(gè)人簡介：唐獻(xiàn)秀（198412），女，廣西都安，講師，碩士。研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。