具有脈沖入侵的Lotka-Volterra捕食系統(tǒng)的動力學分析

甘靜雯,李 帥,宋新宇

(1. 北京林業(yè)大學 生物科學與技術學院 生物計算中心, 北京 100083;2. 信陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 河南 信陽 464000)

0 引言

最近,微分方程理論在數(shù)學生態(tài)學方面的應用已經(jīng)得到了快速地發(fā)展.捕食者與被捕食者之間的競爭和合作的模型已經(jīng)被很多學者研究[1,2].有關種群動力學最著名的模型之一是Lotka-Volterra競爭捕食系統(tǒng),捕食是影響著生態(tài)系統(tǒng)種群動力學一個重要的生物進程[3，4].值得關注的是兩斑塊之間種群的擴散將會影響種群動力學模型的動力學性質(zhì),前期描述傳播擴散的種群動力學模型大多是連續(xù)模型[5]，但是在現(xiàn)實中,種群的擴散通常具有脈沖性質(zhì)[6],例如每年固定時期植物種子擴散和入侵.因此將脈沖擴散引入數(shù)學模型中可以能夠很好地描述這一自然現(xiàn)象.本文將研究具有脈沖效應的捕食系統(tǒng),即在某些時期一個斑塊的捕食者入侵另一個斑塊競爭食餌,當食餌的數(shù)量急劇減少時就對食餌進行投放,利用類似文獻[7，8]的方法,給出系統(tǒng)解的有界性、解的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的持久性.

1 模型的建立

考慮下面Lotka-Volterra捕食系統(tǒng):

(1)

這里x和y分別是食餌和捕食者的種群密度,參數(shù)a1、b1、d1、k、β是正常數(shù).

由于在實際生活中,種群之間存在多種競爭關系,一個地方的物種會入侵另一個地方,并與本地物種競爭食餌.與此同時,在一定時期對食餌進行投放.本文考慮捕食者成比例的遷移,以及食餌成比例投放.即在一個時間段內(nèi)第二斑塊部分捕食者遷移到第一斑塊,在另一時間段內(nèi)對食餌進行投放.考慮這些遷移和投放因素后,系統(tǒng)(1)改成如下形式:

(2)

其中：種群x(t)和y(t)分別為第一斑塊的食餌和捕食者的種群密度.z(t)是第二斑塊捕食者的種群密度.z(t)和y(t)屬于同種性質(zhì)的種群,x(t)的內(nèi)稟增長率和密度制約項分別是a1,b1.a1/b1是種群最大承載能力.種群x(t)和y(t)是捕食關系,β是捕食系數(shù),k是y(t)的轉(zhuǎn)化率且0

2 系統(tǒng)解的正性、有界性

首先討論系統(tǒng)(2)解的正性,由脈沖微分方程解的存在性定理可知，系統(tǒng)(2)存在滿足初始條件的(x(t),y(t),z(t)).

下面引理容易證明.

引理1 假設u(t)是系統(tǒng)(2)的一個解,若u(0)≥0,則對所有的t≥0,有u(t)≥0;若u(0)>0,則對所有的t>0,有u(t)>0.

引理2 存在一個常數(shù)M>0,使得當t足夠大時,系統(tǒng)(2)的任一解x(t)≤M,y(t)≤M,z(t)≤M.

證明定義

V(t)=x(t)+y(t)+z(t),

由于α

D+V(t)+αV(t)=(a1+α)x-b1x2-βxy+kβxy-

(b1-α)y+(a2+α)z-b2z2≤

(a1+α)x-b1x2+(a2+α)z-b2z2=

這里

又由于0<ε≤1,所以當t=(n-1+l)τ時,有

V((n-1+l)τ+)=x((n-1+l)τ)+

y((n-1+l)τ)+

εdz((n-1+l)τ)+(1-d)z((n-1+l)τ)=

x((n-1+l)τ)+y((n-1+l)τ)+

z((n-1+l)τ)-(1-ε)dz((n-1+l)τ)≤

x((n-1+l)τ)+y((n-1+l)τ)+

z((n-1+l)τ)=V((n-1+l)τ),

當t=nτ時，有

V(nτ+)=x(nτ+)+y(nτ+)+z(nτ+)=

(1+p)x(nτ)+y(nτ)+z(nτ)≤

V(nτ)+px(nτ)≤(1+p)V(nτ),

其中x(nτ)≤V(nτ).假設(1+p)V(nτ)≤V((n-1+l)τ+).由于t∈((n-1)τ,(n-1+l)τ]和((n-1+l)τ,nτ],當t→時V(t)→ξ/α,所以V(t)一致最終有界.因此通過V(t)的定義,存在一個常數(shù)M>0,使得當t足夠大時,x(t)≤M,y(t)≤M,z(t)≤M.證畢.

3 子系統(tǒng)周期解的存在性和穩(wěn)定性

若x(t)=0,則系統(tǒng)(2)存在子系統(tǒng)：

(3)

系統(tǒng)(3)在脈沖之間的解析解如下:

(4)

考慮到系統(tǒng)(3)的第三和第四個方程，可以得到系統(tǒng)(3)的頻閃映射：

(5)

所以差分方程(5)有兩個固定的不動點，分別是G1(0,0)和G2(y*,z*),即

(6)

定理1 (i)如果(1-d)ea2τ<1,那么差分方程(5)的不動點G(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的;

(ii)如果(1-d)ea2τ>1,那么差分方程(5)的不動點G(y*,z*)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明為了方便,記

(yn,zn)=(y((n+l)τ+),z((n+l)τ+)),

差分方程(5)的線性形式可以寫成

(7)

顯然G1(0,0),G2(y*,z*)由方程(7)所決定.G1(0,0),G2(y*,z*)的穩(wěn)定性是由M的特征值的絕對值是否小于1決定.

(i)若(1-d)ea2τ<1,即1-(1-d)ea2τ>0,G1(0,0)是唯一的不動點,則有

(8)

(ii)若(1-d)ea2τ>1,即(1-d)ea2τ-1>0,G1(0,0)是不穩(wěn)定的,且G2(y*,z*)存在,那么

(9)

顯然M的特征根絕對值均小于1,由Jury判斷準則,G2(y*,z*)是局部漸近穩(wěn)定的.證畢.

引理3 (i)如果(1-d)ea2τ<1,那么系統(tǒng)(3)的平凡周期解(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的;

(10)

其中y*和z*由式(6)給出.

4 邊界周期解的存在性與穩(wěn)定性

定理2 (i)若(1-d)ea2τ>1,那么系統(tǒng)(2)的平凡周期解(0,0,0)是不穩(wěn)定的.

(ii)若(1-d)ea2τ>1,且

因此可得基解矩陣

這里(*)的準確形式是不需要計算的.系統(tǒng)(2)第四、五、六方程的形式如下：

系統(tǒng)(2)的第七、八、九方程的形式如下：

所以

λ2=e-d1τ<1,

i) 由定理的條件i)以及Floquet定理,可知平凡周期解(0,0,0)不是穩(wěn)定的.

下面證明全局吸引.任取ε>0,使得

(11)

由系統(tǒng)(2)的第二個方程,注意到

所以

(12)

由脈沖微分方程的比較定理,有y(t)≥y1(t),z(t)≥z1(t),且當t→時,即：

(13)

對任意t>0,由式(2)和式(13),有

(14)

所以

x(nτ+)≤x((n-1)τ+)(1+

因此x((n+l)τ+)≤x((n-2+l)τ+)ρ2≤…≤x(lτ+)ρn,所以當n→時,x((n+l)τ+)→0,那么當(n-1)τ

下面將要證明當t→時,若則一定存在一個t0>0,當任意t>t0時,使得0

(15)

這時,有w1(t)≤y(t)≤m1(t),w2(t)≤z(t)≤m2(t).當t→時,這里(w1(t),w2(t))和(m1(t),m2(t))是分別是下面方程的解：

(16)

和

(17)

方程(17)的周期解為：

(18)

其中

(19)

所以當(1-d)ea2τ>1和

下面證明系統(tǒng)(2)的持久性,在證明之前,給出如下定義:

定義2 若存在常數(shù)m,M>0(與初始值無關)和一個有限時間T0，使得任意t≥T0,對于滿足初始值x(0+)>0,y(0+)>0,z(0+)>0的所有解均有m≤x(t)≤M,m≤y(t)≤M,m≤z(t)≤M,那么系統(tǒng)(2)具有持久性，這里T0取決于初始值(x(0+),y(0+),z(0+)).

定理3 若(1-d)ea2τ>1,且

那么系統(tǒng)(2)是持久性的,這里y*如式(6)所定義的.

1) 由定理2,選取m3>0,ε1>0且足夠小,使得0

σ=a1τ-b1m3τ-βε1τ-

下面將證明，當t≥0時,x(t)

(20)

由引理可知,y(t)≤g1(t),z(t)≤g2(t),且當t→時這里(g1(t),g2(t))是如下方程的解：

(21)

可以得到系統(tǒng)(21)的解如下

(22)

這里(n-1)τ

(23)

因此，存在一個T1>0,使得

(24)

且

(25)

當t>T1時,若N1τ>T1且n>N1,結(jié)合式(14)，在區(qū)間((n-1+l)τ,(n+l)τ)上,有

x((n+l)τ)≥x((n+l-1)τ)(1+

x((n+l-1)τ)(1+p)eσ,

這時,x((N1+l-1)τ)≥x((N1+l)τ)ekσ→,k→,那么這與x(t)有界矛盾.因此,存在t1>0使得x(t)≥m3.

情況1t*=(n+l-1)τ,n1∈Z+,那么x(t)≥m3,對于t∈[t1,t*)且x(t*)=m3,x(t*+)=t*≥m3,選取n2,n3∈N,那么

en3gmaen2σ1τ>en3σe(n2+1)σ1τ>1,

這里

σ1=a1-b1m3-βM<0.

令T=n1τ+n2τ，那么一定存在某個t2∈[t*,t*+T]使x(t2)>m3,否則,考慮式 (14),g1(t*+)=y(t*+),有

t∈((n-1)τ,(n-1+l)τ],

(26)

且n1+1≤n≤n2+n3,那么

系統(tǒng)(2)的第一個方程如下

(27)

結(jié)合式(26)在[t*,t*+n2τ]上,有

x(t*+n2τ)≥m3eσ1n2τ.

5 結(jié)束語

討論了在兩個斑塊之間的三維捕食系統(tǒng)與脈沖入侵的種群動力學模型,證明了系統(tǒng)(2)解的正性、有界性,得到了邊界周期解的全局穩(wěn)定性的條件,結(jié)論表明外來物種成功入侵、本地物種趨于滅絕；由定理3可知,系統(tǒng)(2)在滿足一定的條件下種群具有持久性,外來物種與本地物種共存.因此，物種遷移和食餌投放的間隔周期、遷移量和投放量均對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，進而在對相關物種進行管理時，需要選擇相應的管理策略.