一類時滯蟲媒傳染病模型的穩(wěn)定性分析

王 娟，何俊杰

(信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 信陽 464000)

0 引言

目前出現(xiàn)的傳染病的種類有很多，按傳播途徑分類，可以分為消化道傳染病、呼吸道傳染病、蟲媒傳染病和動物源性傳染病.其中，蟲媒傳染病是由病媒生物傳播的自然疫源性疾病，常見的有流行性乙型腦炎、鼠疫、萊姆病、瘧疾、登革熱等危害性較強(qiáng)的傳染病.

傳染病動力學(xué)是利用數(shù)學(xué)模型定量討論傳染病流行規(guī)律的理論性研究方法.通過建立數(shù)學(xué)模型模擬疾病的發(fā)展規(guī)律，可以為預(yù)測疾病的變化趨勢、分析疾病的流行原因、尋找預(yù)防和控制疾病傳播的有效策略等提供理論依據(jù).1997年，F(xiàn)ENG等[1]建立了一個媒介與寄主模型研究登革熱.2004年，F(xiàn)ENG等[2]和CHATTOPADHYAY等[3]分別建立動力學(xué)模型，利用奇異攝動技術(shù)和統(tǒng)計回歸分析研究了遺傳因素和社會環(huán)境對瘧疾傳播的影響.2005年，TUMWIINE等[4]建立了一個帶蚊蟲發(fā)育延遲的數(shù)學(xué)模型，用來研究蚊蟲控制對瘧疾傳播的影響.CRUZ-PACHECO等[5]建立并研究了蟲媒(蚊子)與鳥類之間傳播西尼羅河熱(West Nile virus)的模型.近年來，很多學(xué)者還考慮了疾病復(fù)發(fā)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、脈沖控制和離散時滯等對媒介傳染病的傳播的影響[6-9].

本文考慮易感人類受到帶病蟲媒叮咬后疾病具有潛伏期的情況，建立了一類時滯微分方程模型來描述帶有非線性發(fā)生率和接種疫苗的蟲媒傳染病的傳播規(guī)律.

1 模型的建立

本文把傳染病流行地區(qū)的人類分為三種:易感類、染病類、康復(fù)類,分別用S(t)、I(t)、R(t)表示t時刻這三類人口的數(shù)量.因為蟲媒(如蚊子)的壽命短且無法得到治療，所以可以假設(shè)蟲媒(如蚊子)被感染后無法康復(fù).于是蟲媒只有兩類:易感類和染病類,分別用M(t)和V(t)表示t時刻易感和染病蟲媒的數(shù)量.

記β1為易感人群被蟲媒叮咬并被感染的概率,α表示媒介控制的概率(使用殺蟲劑、蚊帳等).一個易感人類與染病媒介有效接觸被感染的概率可表示為：

其中K為常數(shù).易感蟲媒的感染率采用雙線性發(fā)生率,記β2為易感蟲媒叮咬染病人類并被感染的概率,τ為易感人類被感染后潛伏期的長度.具體來說，易感人類在t時刻被蟲媒叮咬并被感染，在t+τ時刻才具有傳染性，由此易感蟲媒與染病人類接觸并被感染的概率為λ2=β2I(t-τ).

假設(shè):

(1)各人群的自然死亡率都相等,設(shè)為μ1；各類媒介的自然死亡率也都相等,設(shè)為μ2;

(2)新出生(增加)的人類和媒介都是易感的,設(shè)單位時間內(nèi)新增加的數(shù)量分別為b1,b2;

(3)假設(shè)接種疫苗可以獲得對該傳染病的完全免疫;

(4)疾病只在人和蟲媒之間互相感染.

根據(jù)倉室建模原理,可以分別建立人類系統(tǒng)(1)和蟲媒系統(tǒng)(2)：

(1)

(2)

記人類人口總數(shù)和蟲媒總數(shù)分別為

N1(t)=S(t)+R(t)+I(t)，

N2(t)=M(t)+V(t)，

對兩式關(guān)于t求導(dǎo)，并將系統(tǒng)(1)代入，可得

容易驗證

不失一般性，假設(shè)

于是系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)中，

進(jìn)而只需要考慮非線性系統(tǒng)：

(3)

2 基本再生數(shù)與平衡點(diǎn)

則系統(tǒng)(3)等價于

其中X=(I,V,S)T.F，V的雅克比矩陣在無病平衡點(diǎn)X0=(0,0,S0)T處的值分別記為

其中

可以計算基本再生數(shù)：

(4)

設(shè)E*=(S*,I*,V*)∈Γ{E0}是系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)，代入系統(tǒng)(3)可解得

(5)

顯然，當(dāng)R0>1，即

時，系統(tǒng)(3)存在唯一的正平衡點(diǎn)，即地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,V*).

3 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理1 當(dāng)R0<1時，系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時，無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

J(E0)=

它具有3個特征根，其中λ1=-(φ+μ1)<0；λ2,λ3由方程

λ2+(μ1+γ+μ2)λ+μ2(μ1+γ)-

(6)

確定.方程(6)可整理成F(λ)=G(λ)，其中

F(λ)=λ2+(μ1+γ+μ2)λ，

G(λ)=μ2(μ1+γ)·

一方面，連續(xù)函數(shù)F(λ)滿足

F(0)=0,F(+)=+.

所以，函數(shù)F(λ)與函數(shù)G(λ)在(0,+)上一定相交，即方程(6)存在正實(shí)數(shù)解.所以無病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定.

-ω2+(μ1+γ+μ2)ωi+μ2(μ1+γ)-

分解實(shí)部和虛部，分別得到

兩式平方和，消去cos(ωτ)和sin(ωτ)，得

ω4+(2μ2(μ1+γ)+(μ1+γ+μ2)2)ω2+

(7)

記z=ω2，則方程(7)轉(zhuǎn)化為一元二次方程：

z2+c1z+c2=0，

(8)

其中：

c1=2μ2(μ1+γ)+(μ1+γ+μ2)2>0,

顯然，方程(8)沒有正實(shí)根，進(jìn)而不存在正實(shí)數(shù)ω使得z=ω2.

定理2 當(dāng)R0≤1時，系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)E0在Γ上是全局漸近穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造函數(shù)

(μ1+φ)I(t)+

(9)

時，L(t)=0.L沿著系統(tǒng)(3)的解關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)為

(μ1+φ)(μ1+γ)·

4 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)(3)在地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,V*)處的特征方程可以寫成

λ3+a1λ2+a2λ+a3=

e-(λ+μ2)τ(T1λ2+T2λ+T3),

(10)

其中

(φ+μ1)(μ1+γ+μ2)+μ2(μ1+γ)-

μ2(μ1+γ)(φ+μ1)-

T1=-β2I*,

當(dāng)R0>1時，I*≠0，且(S*,I*,V*)滿足

所以

進(jìn)而，對任意的λ≥0,τ≥0，e-(λ+μ2)τ≤1，特征方程(10)的系數(shù)滿足

a1>0,

(φ+μ1)(μ1+γ+μ2)+

(1-e-(λ+μ2)τ)μ2(μ1+γ)>0,

(1-e-(λ+μ2)τ)μ2(μ1+γ)(φ+μ1)>0,

T1<0,T2<0,T3<0,

所以方程(10)沒有非負(fù)實(shí)根.

假設(shè)方程(10)存在純虛數(shù)解λ=iω,ω>0，與定理1的證明過程類似，z=ω2需滿足

z3+d1z2+d2z+d3=0，

(11)

其中，

(12)

顯然，當(dāng)d1≥0,d2≥0,d3>0時，方程(11)沒有正實(shí)根，進(jìn)而不存在正實(shí)數(shù)ω使得z=ω2，從而上面假設(shè)不成立，所以方程(10)不存在純虛數(shù)解.

所以，可以得到如下定理：

定理3 當(dāng)R0>1，d1≥0,d2≥0,d3>0時，系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn)E*在Γ上對任意的時滯τ≥0都是局部漸近穩(wěn)定的.

5 結(jié)語

本文建立和研究了一類具有非線性發(fā)生率的時滯蟲媒傳染病模型，其中人類感染疾病的疾病發(fā)生率采用飽和發(fā)生率，媒介采用雙線型發(fā)生率.具體來說，首先討論了無病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的存在性與唯一性，并給出了基本再生數(shù)的具體表達(dá)式，然后分析了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.