城市暴雨強度公式理論頻率分布曲線對比分析

謝予婕，李樹平，梁懌禎

(同濟大學環(huán)境科學與工程學院,上海 200092)

國內暴雨強度公式的編制，就是對所在城市的氣象資料統(tǒng)計分析，選出樣本，根據(jù)不同頻率的暴雨特征，形成符合當?shù)貙嶋H情況的城市暴雨強度公式。一般步驟為：(1)統(tǒng)計資料；(2)選取樣本；(3)頻率調整；(4)參數(shù)推求；(5)誤差分析。

在計算工具和計算方法不發(fā)達時，頻率曲線使用目估法調整，曲線擬合達到最優(yōu)的標準因人而異；參數(shù)使用解析法或圖解法推求，誤差較大。推求暴雨強度公式的誤差主要來自于人為因素的干擾。如今計算工具普及，計算方法不斷發(fā)展，采用一定標準，能夠唯一確定最佳擬合曲線，將推求參數(shù)的誤差控制在合理范圍內，使得推求暴雨強度公式的主要問題從人為因素干擾導致的誤差變成了推求方法差異，主要是：(1)樣本選取方法的差異；(2)理論頻率曲線選擇的差異。

無論是雨水規(guī)劃或是管網(wǎng)設計，要求更高精度的城市暴雨強度公式都是無可厚非的，所以一直以來，學者們對比分析不同方法，希望找到最適合我國暴雨強度公式的推求方法。

1 主要差異

1.1 暴雨樣本選取方法

暴雨樣本選取方法主要有年最大值法、年超大值法、超定量法和年多個樣法四種。我國使用較多的是年最大值法和年多個樣法兩種，兩種方法各有優(yōu)缺點。年多個樣法避開了暴雨樣本標準的不確定性，兼顧了各地暴雨資料年份不足的缺限，不會遺漏較大的雨樣，在小重現(xiàn)期(T=0.25～0.5年)部分，能比較真實地反映暴雨的統(tǒng)計規(guī)律，但統(tǒng)計資料多、收集較困難。在我國對選樣方法研究不夠充分、資料年份較短的年代，普遍使用年多個樣法選樣。年最大值法僅選取每年雨量最大值作為基礎資料，會遺漏一些數(shù)值較大的暴雨，造成小重現(xiàn)期部分暴雨強度明顯偏小，但是方法簡單，資料易得，數(shù)據(jù)獨立性較好，在國外大多數(shù)國家都采用年最大值法作為暴雨的選樣方法[1]。

早在上世紀六十年代就有學者指出，我國各地資料積累已大大超過年最大值法的需要，建議用年最大值法代替年多個樣法。如今，使用年最大值法作為暴雨樣本選取方法已經(jīng)達成共識[1-4]，在最新版本的室外排水規(guī)范(2014年版)中也規(guī)定，在有條件的地區(qū)，采用年最大值法代替年多個樣法計算暴雨強度公式。

1.2 理論頻率曲線類型

選擇理論頻率曲線的差異主要有兩點：1)擬合準則不同；2)理論頻率曲線類型不同。

擬合準則就是調整理論曲線，當理論曲線和經(jīng)驗曲線之間關系滿足某個標準時，認為此理論曲線為最優(yōu)擬合曲線，該標準為擬合標準。常用準則有：概率權重矩法、絕對值和準則、離差平方和準則和相對值和準則，其中離差平方和準則即最小二乘法，是運用最廣泛的擬合準則，本文使用離差平方和準則作為擬合準則。擬合指標計算如式(1)[2]。

(1)

其中：ij—降雨強度數(shù)列中第j個降雨強度經(jīng)驗值；

n—每個歷時的降雨強度數(shù)據(jù)個數(shù)。

2014年版《室外排水設計規(guī)范》中年最大值法的理論頻率曲線給出了皮爾遜Ⅲ型分布曲線、指數(shù)分布曲線和耿貝爾分布曲線。至于使用這三種頻率曲線中的哪一種，不同學者持不同意見，有的認為應該使用指數(shù)分布曲線[1]，有的則認為應該使用皮爾遜Ⅲ型分布曲線[2]。本文對比以上三種曲線，分析哪種能更好地擬合降雨強度。

2 頻率曲線擬合

現(xiàn)有華中某市的降雨數(shù)據(jù)原始資料，使用年最大值法選樣，分別使用皮爾遜Ⅲ型分布曲線、指數(shù)分布曲線和耿貝爾分布曲線擬合經(jīng)驗曲線，對比三種理論頻率曲線的擬合程度，分析針對該市的降雨，哪種理論曲線最優(yōu)。

2.1 暴雨選樣

現(xiàn)有華中某市1976年～2005年30年的自記雨量記錄，整理為歷年最大降雨強度如表1所示，具備使用年最大值法的條件，采用年最大值法計算暴雨強度公式。降雨歷時采用5、10、15、20、30、45、60、90、120、150、180 min 11個降雨歷時。重現(xiàn)期采用2年、3年、5年、10年、20年、30年、50年、100年。

年最大值法的經(jīng)驗頻率計算如式(2)。

(2)

其中：m—降雨強度由大到小排列序號，m=1，2，3，…，30；

n—資料年限，n=30。

2.2 暴雨頻率分布曲線

2.2.1 皮爾遜Ⅲ型曲線

皮爾遜Ⅲ型曲線的概率密度如式(3)。

(3)

其中：α、β、a0—分別為皮爾遜Ⅲ型分布曲線的形狀尺度和位置參數(shù)，α>0、β>0、a0

e-xdx。

α、β、a0和統(tǒng)計參數(shù)均值、離勢系數(shù)Cv、偏態(tài)系數(shù)Cs的關系如式(4)～式(5)。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

表2 離均系數(shù)Φ表

與經(jīng)驗頻率曲線比較，不斷調整Cv、Cs，直至理論頻率曲線與經(jīng)驗頻率曲線的離差平方和最小，即曲線擬合最佳。此時的理論曲線為最佳擬合曲線，離差平方和為皮爾遜Ⅲ型分布曲線的擬合指標值。擬合所得不同降雨歷時下的皮爾遜Ⅲ型曲線如圖1所示，參數(shù)及均方差如表3所示。

圖1 不同降雨歷時皮爾遜Ⅲ型擬合曲線Fig.1 Pearson Type III Curve of Different Rainfall Duration

(續(xù)表)

2.2.2 指數(shù)曲線

指數(shù)分布曲線呈高偏態(tài)乙形分布，其實質是皮爾遜Ⅲ型曲線在Cs=2時的特例，降雨強度與重現(xiàn)期在半對數(shù)紙上呈直線，是雙參數(shù)公式，計算簡易[6]。

指數(shù)曲線如式(10)。

X+algT+b

(10)

其中：X—定歷時的降雨強度，mm/min；

a—離散程度系數(shù)；

b—分布曲線的下限；

T—重現(xiàn)期，a。

已知降雨強度和相應經(jīng)驗頻率，按照離差平方和，即最小二乘法的擬合準則，推求參數(shù)a和b的最佳值。擬合所得不同降雨歷時下的指數(shù)曲線如圖2所示，參數(shù)及均方差如表4所示。

圖2 不同降雨歷時指數(shù)擬合曲線Fig.2 Exponential Curve of Different Rainfall Duration

表4 不同降雨歷時指數(shù)擬合曲線參數(shù)及均方差

使用指數(shù)分布曲線擬合華中某市降雨強度分布時，參數(shù)a隨降雨歷時的增大而減小，參數(shù)b隨降雨歷時的增大而減小，均方差最大為0.1289，最小為0.0447。

2.2.3 耿貝爾曲線

耿貝爾分布曲線是偏態(tài)鈴形分布，降雨強度與重現(xiàn)期在耿貝爾紙上呈現(xiàn)直線[7]。

耿貝爾曲線分布函數(shù)如式(11)。

F(x)=exp(-exp(-a(x-u)))

(11)

其中：a—耿貝爾曲線的尺度參數(shù)，a>0；

u—耿貝爾曲線的位置參數(shù)。

重現(xiàn)期為T時，暴雨強度XR如式(12)。

(12)

已知降雨強度和相應經(jīng)驗頻率，按照離差平方和，即最小二乘法的擬合準則，推求參數(shù)a和u的最佳值。擬合所得不同降雨歷時下的耿貝爾曲線如圖3所示，參數(shù)及均方差如表5所示。

圖3 不同降雨歷時耿貝爾擬合曲線Fig.3 Gumbel Curve of Different Rainfall Duration

表5 不同降雨歷時耿貝爾擬合曲線參數(shù)及均方差

使用耿貝爾分布曲線擬合華中某市降雨強度分布時，參數(shù)a隨降雨歷時的增大而增大，參數(shù)u隨降雨歷時的增大而減小，均方差最大為0.080 1，最小為0.020 2。

3 頻率曲線對比分析

華中某市降雨情況的三種擬合曲線均方差對比如表6所示。

表6 不同擬合曲線均方差對比

共11個降雨歷時，皮爾遜Ⅲ型曲線最優(yōu)的有7個；指數(shù)曲線作為皮爾遜Ⅲ型曲線的特例，最優(yōu)的有0個；耿貝爾曲線最優(yōu)的有4個。綜合來看，在5～90 min降雨歷時下，皮爾遜Ⅲ型曲線優(yōu)于耿貝爾曲線，在120～180 min降雨歷時下，耿貝爾曲線優(yōu)于皮爾遜Ⅲ型曲線。

對于華中某市的降雨強度分布，建議采用皮爾遜Ⅲ型曲線擬合。

對于全國降雨情況而言，鄧培德學者認為，雖然指數(shù)曲線犧牲了一定擬合精度，但因其計算簡便的優(yōu)點，而推薦使用指數(shù)曲線擬合降雨強度[1]。從理論上來說，皮爾遜Ⅲ型曲線是三參數(shù)模型，指數(shù)曲線是二參數(shù)模型，是Cs=2時皮爾遜Ⅲ型曲線的特例，一般來說，三參數(shù)模型的擬合精度應該高于二參數(shù)模型。全國270個地區(qū)，僅有70個地區(qū)的擬合曲線Cs在1.8～2.2[2]，即對于全國大部分地區(qū)降雨而言，皮爾遜Ⅲ型曲線是優(yōu)于指數(shù)曲線的。本文通過擬合華中某市的暴雨強度曲線，對比分析皮爾遜Ⅲ型曲線和指數(shù)曲線的擬合精度度，驗證了皮爾遜Ⅲ型曲線擬合我國降雨情況精度較指數(shù)曲線更高這一觀點。

4 結論

通過對比分析華中某市降雨強度分布頻率曲線，可以得到以下結論。

(1)對于華中某市降雨而言，在短降雨歷時的時候，皮爾遜Ⅲ型曲線擬合精度最佳；在長降雨歷時的時候，耿貝爾曲線擬合精度最佳。綜合看來，皮爾遜Ⅲ型曲線最符合華中某市降雨情況。

(2)對于全國降雨情況而言，不同城市，甚至不同降雨歷時的暴雨強度分布差異較大，難以保證Cs在1.8～2.2，而Cs離范圍越遠，曲線擬合精度越差，因此推薦皮爾遜Ⅲ型曲線作為擬合曲線。

(3)離均系數(shù)的有效位數(shù)和精度是影響皮爾遜Ⅲ型曲線擬合精度的主要因素，可以通過提高離均系數(shù)的有效位數(shù)和精度來改進皮爾遜Ⅲ型擬合曲線。