淺談2018年考綱視角下的解析幾何復(fù)習(xí)備考*

福建省龍海第一中學(xué)(363100) 曾衛(wèi)文 柯育仁 蘇藝偉

一、2018年考綱對(duì)解析幾何的要求

2017年12月,教育部考試中心頒布了2018年高考數(shù)學(xué)考試綱,其對(duì)解析幾何部分的要求如下:

(1)直線與方程

①在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素.

②理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.

③能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.

④掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

⑤能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

⑥掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行直線間的距離.

(2)圓與方程

①掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

②能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.

③能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.

④初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.

(3)圓錐曲線與方程

(1)圓錐曲線

①了解圓錐曲線的實(shí)際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.

②掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì).

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

④了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

⑤理解數(shù)形結(jié)合的思想.

(2)曲線與方程

①了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

上述內(nèi)容與2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱基本一致.因此2018年的解析幾何高考命題應(yīng)該會(huì)繼續(xù)延續(xù)2017年的相關(guān)做法,仍然是在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上,注重對(duì)解析幾何所滲透的數(shù)學(xué)思想方法的考查.重視試題間的層次性,合理調(diào)控綜合程度,堅(jiān)持多角度,多層次的考查,努力實(shí)現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求.

二、全國(guó)卷高考對(duì)解析幾何重點(diǎn)考查的內(nèi)容

在考綱的指導(dǎo)下,全國(guó)卷的試題中解析幾何試題一般有3道,圓、橢圓、雙曲線、拋物線一般都會(huì)涉及.雙曲線一般作為客觀題進(jìn)行考查,多為容易題.解答題一般以橢圓與拋物線為載體進(jìn)行考查,主要考查定點(diǎn)定值問題的證明以及相關(guān)的綜合性問題,運(yùn)算量較大,不過近幾年高考適當(dāng)控制了運(yùn)算量,難度有所降低.

三、2017年全國(guó)卷高考試題舉例

(1)選擇填空

選擇填空題主要考查圓,橢圓,雙曲線,拋物線的定義,幾何性質(zhì),基本量的求解.在2017年的三套全國(guó)卷中,I卷和II卷都考查了一道選擇和一道填空,而III卷則考查了兩道選擇題,沒有填空題.

題型1求離心率

例1 (2017年全國(guó)I卷第15題)已知雙曲曲線C:的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若∠MAN=60°,則C的離心率為____.

解析如圖1所示,作AP⊥MN,因?yàn)閳AA與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn),則MN為雙曲線的漸近線上的點(diǎn),且A(a,0),|AM|=|AN|=b,而AP⊥MN,所以 ∠PAN=_30°,點(diǎn)A(a,0)到直線的距離在 Rt△PAN中,代入計(jì)算得a2=3b2,即由c2=a2+b2得c=2b,所以

圖1

例2 (2017年全國(guó)卷II第9題)若雙曲線C:1(a＞0,b＞0)的一條漸近線被圓(x?2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為()

解析本題主要考查求雙曲線的離心率.雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,圓心(2,0)到漸近線距離為則點(diǎn)(2,0)到直線bx+ay=0的距離為即整理可得c2=4a2,雙曲線的離心率

例3 (2017年全國(guó)III卷第 10題)已知橢圓C:的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2,為直徑的圓與直線bx?ay+2ab=0相切,則C的離心率為()

解析本題考查求橢圓的離心率.圓的方程為x2+y2=a2,由于直線與圓相切,所以解得

方法總結(jié)離心率是橢圓和雙曲線最重要的幾何性質(zhì).求離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出a,c代入公式②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得或取值范圍.

題型2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例4 (2017年全國(guó) III卷第 5題)已知雙曲線C:的一條漸近線方程為且與橢圓有公共焦點(diǎn),則C的方程為()

解析本題主要考查求雙曲線的方程.雙曲線C:的漸近線方程為橢圓中c=3,即雙曲線的焦點(diǎn)為(±3,0).故雙曲線的方程為

方法總結(jié)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形,再定量.即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值.如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可利用有公共漸近線的雙曲線方程為再由條件求出λ的值即可.

題型3拋物線的幾何性質(zhì)

例5 (2017年全國(guó)II卷第16)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=___.

解析如圖2所示,不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F′,作MB⊥l與點(diǎn)B,NA⊥l與點(diǎn)A,由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為x=?2,則AN=2,FF′=4,在直角梯形ANFF′中,中位線由拋物線的定義有MF=MB=3,結(jié)合題意有MN=MF=3,故|FN|=|FM|+|NM|=3+3=6.

例6 (2017年全國(guó)I卷第10題)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為___.

圖3

解析如圖3所示,設(shè)直線AB方程為y=k(x?1),由得k2x2?(2k2+4)x+k2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由韋達(dá)定理得x1x2=1,故由于直線DE⊥AB,所以只需用代替上式中的k,即得|DE|=4+4k2.因此

方法總結(jié)拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ),它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,又能與距離聯(lián)系起來,那么用拋物線定義就能解決問題.因此涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題,可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,這樣就可以使問題簡(jiǎn)單化.

(2)解答題

題型1求軌跡方程

例1 (2017年全國(guó)II卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程.(2)略.

解析設(shè)P(x,y),N(x,0),M(x,y0).由得故代入橢圓C:得x2+y2=2.

方法總結(jié)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程常常采用以下方法.

1.直譯法.直接將動(dòng)點(diǎn)滿足的的幾何等量關(guān)系翻譯成動(dòng)點(diǎn)x,y,所得方程即為所得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

2.定義法.若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件恰好與圓錐曲線的定義吻合,可直接根據(jù)定義建立動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.用定義法求解可先確定曲線的類型與方程的具體結(jié)構(gòu)式,然后用待定系數(shù)法求解.

3.代入法.動(dòng)點(diǎn)是直線被圓錐曲線截得的弦中點(diǎn),只要通過代點(diǎn)作差并以弦的斜率作為過渡,即可獲得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.事實(shí)上這就是中點(diǎn)弦問題的處理方法.

4.參數(shù)法.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系不容易直接找到時(shí),可以選取與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)有密切關(guān)系的量(如角,斜率,比值等)作為參數(shù)t,根據(jù)已知條件求出動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)式方程,然后消去參數(shù)即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

題型2直線過定點(diǎn)問題

例2 (2017年全國(guó)I卷)已知橢圓C:b＞0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求C的方程

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為?1,證明:l過定點(diǎn).

圖4

解析如圖4所示,當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),設(shè)l方程為x=m,A(m,yA),B(m,?yA).由已知有即解得m=2.此時(shí)直線l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),不符合題意.當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l方程為y=kx+t,1.聯(lián)立,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2?4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P2(0,1).則由韋達(dá)定理得由已知有即此時(shí)直線l方程為y=kx?1?2k=k(x?2)?1,故l過定點(diǎn)(2,?1).

例3 (2017年全國(guó)II卷)

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足

圖5

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程(略).(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=?3上,且證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.

解法1 由于要證明直線l過左焦點(diǎn)F(?1,0),則可以先求出直線l的方程,再檢驗(yàn)F(?1,0)滿足該方程.如圖5所示,設(shè)P(m,n),Q(?3,t),F(?1,0),O(0,0).直線l的斜率為直線l的方程為即3x?ty=3m?tn.由得3m?tn=?3,代入上式得3x?ty=?3.該方程對(duì)任意t∈R恒成立,故直線l過左焦點(diǎn)F(?1,0).

解法2 由于直線l過點(diǎn)P且垂直于OQ,故要證直線l過C的左焦點(diǎn)F,等價(jià)于證明PF⊥OQ.如圖5所示,設(shè)P(m,n),Q(?3,t),F(?1,0),O(0,0). 由得3m?tn=?3.又3+3m?tn=0,故PF⊥OQ,因此直線l過C的左焦點(diǎn)F.

方法總結(jié)證明動(dòng)直線過定點(diǎn)的解題步驟可歸納如下.

一選:選擇參變量.需要證明過定點(diǎn)的動(dòng)直線往往隨某一個(gè)量的變化而變化,可選擇這個(gè)量作為參變量.當(dāng)動(dòng)直線涉及到的量較多時(shí),也可選取多個(gè)參變量.

二求:求出動(dòng)直線的參數(shù)方程.求出只含上述參變量的動(dòng)直線方程,并由其它輔助條件減少參變量的個(gè)數(shù).最終使動(dòng)直線方程的系數(shù)中只有一個(gè)參變量.

三定點(diǎn):求出定點(diǎn)的坐標(biāo).不妨設(shè)動(dòng)直線中所含參數(shù)為λ,把直線方程寫成形如f(x,y)+λg(x,y)=0的形式,然后解關(guān)于x,y的方程組,得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

題型3綜合性問題

例4 (2017年全國(guó)III卷)已知拋物線C:y2=2x過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.

(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;

(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,?2),求直線l與圓M的方程.

解析(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由得y2?2my?4=0,即則x1x2=4.故因此故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圓心M的坐標(biāo)為(m2+2,m),圓M的半徑由于圓M過點(diǎn)P(4,?2),因此故 (x1?4)(x2?4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2+4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=?4,x1x2=4.所以2m2?m?1=0,解得m=1或當(dāng)m=1時(shí),直線l方程為x?y?2=0,圓M方程為(x?3)2+(y?1)2=10.當(dāng)時(shí),直線l方程為2x+y?4=0,圓M方程為

方法總結(jié)綜合性問題一般融合了直線與圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),體現(xiàn)在知識(shí)的交匯處命題的指導(dǎo)思想,需要綜合運(yùn)用各種知識(shí)求解.

四.備考策略

基于上述對(duì)2018年考綱對(duì)解析幾何部分要求的解讀,以及2017年全國(guó)卷對(duì)解析幾何部分的考查分析,在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)該把握以下幾點(diǎn).

1.夯實(shí)基礎(chǔ),掌握通性通法

熟練掌握以下知識(shí)點(diǎn):①直線的斜率、方程、位置關(guān)系的判定、點(diǎn)到直線的距離公式;②線性規(guī)劃;③圓的方程、幾何性質(zhì);④圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式. 掌握通性通法:如直線與圓的位置關(guān)系問題通常轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題;直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,通常采用設(shè)而不求法及方程的思想,將問題轉(zhuǎn)化為二次方程的有關(guān)問題來求解;求離心率問題轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系問題;利用直譯法、定義法、轉(zhuǎn)代法、參數(shù)法求軌跡方程等.

2.注重知識(shí)整合,加強(qiáng)綜合訓(xùn)練

綜合性強(qiáng)是解析幾何試題的重要特點(diǎn),解析幾何試題的綜合性可概括為兩類:一、縱向聯(lián)系,特別是直線與二次曲線的位置關(guān)系;近幾年解幾試題基本是縱向聯(lián)系題.二、橫向聯(lián)系,解析幾何可與集合、簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)、方程、數(shù)列、三角、平面幾何、平面向量、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)融合,體現(xiàn)在知識(shí)交匯處命題的思想,能極好的考查學(xué)生的綜合能力.

3.強(qiáng)化運(yùn)算,力求避繁就簡(jiǎn)

運(yùn)算繁雜是解析幾何最突出的特點(diǎn).首先,解題中要指導(dǎo)學(xué)生克服只重視思路輕視動(dòng)手運(yùn)算的缺點(diǎn).運(yùn)算能力差是學(xué)生普遍存在的問題,不僅在解析幾何問題中要加強(qiáng)訓(xùn)練,而且在其他板塊中也要注意加強(qiáng)訓(xùn)練,只有把提高學(xué)生的運(yùn)算能力貫徹于教學(xué)的過程之中,才能受到較好的效果.其次,要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的求簡(jiǎn)意識(shí),突出解析幾何設(shè)而不求的運(yùn)算本色,充分發(fā)揮圓錐曲線的定義和利用平面幾何知識(shí)化難為易,化繁為簡(jiǎn)的作用.

總之,在準(zhǔn)確理解2018年考綱對(duì)解析幾何要求的基礎(chǔ)上,認(rèn)真研究2017年全國(guó)卷解析幾何試題,能夠幫助我們深刻認(rèn)識(shí)解析幾何的教育價(jià)值,從宏觀整體上理解和駕馭教材,從微觀上把握,調(diào)控,設(shè)計(jì),實(shí)施有效的備考策略,進(jìn)而內(nèi)化教學(xué)理念與素質(zhì)的提升,從而實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí).