利用三角函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的性質(zhì)求參數(shù)ω的最值問(wèn)題

廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528400) 王明義

三角函數(shù)的圖像是三角函數(shù)的重要表示方法之一,它完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,具有直觀形象、規(guī)律明顯的特點(diǎn).在高考中,這部分內(nèi)容主要以客觀題的形式出現(xiàn),分值在5分左右,偶爾以解答題的形式出現(xiàn)加以考察,多數(shù)題目試題難度中等.在2016年的理科全國(guó)I卷高考試題中,與三角函數(shù)的圖像有關(guān)的試題共15道,其中8道題考查了三角函數(shù)的圖像的變換.認(rèn)真研究高考題是復(fù)習(xí)備考的捷徑,因?yàn)楦呖碱}有考點(diǎn)準(zhǔn)確、信度好、方向明、內(nèi)容精、成本低、效益高的特點(diǎn),因此,高考題有著極高的訓(xùn)練和研究?jī)r(jià)值.

本文作者以2016全國(guó)理科數(shù)學(xué)I卷的第12道選擇題為出發(fā)點(diǎn),對(duì)這類問(wèn)題做一個(gè)深入的探究,得到三角函數(shù)中一些常用的結(jié)論,并利用這些結(jié)論方便地解決了一些類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

一.問(wèn)題提出

題目(2016年全國(guó)卷I第12題)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),為函數(shù)的零點(diǎn),為對(duì)稱軸,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),則ω最大值()

A.11 B.9 C.7 D.5

解法一(解析法)依題意有

解方程得

(1) 當(dāng)m+n=0時(shí),ω=4n+1,又因?yàn)榈玫溅亍?2.依題意取n=2得到ω=9,經(jīng)驗(yàn)證符合單調(diào)性要求.

(2)當(dāng)m+n=?1時(shí),ω=4n+3,取n=2得經(jīng)驗(yàn)證函數(shù)不滿足單調(diào)性要求故舍去.

綜上所述,答案B滿足要求.

解法小結(jié)這種解法我們稱為解析法,它是利用已知條件采用列方程的方式,來(lái)計(jì)算出參數(shù)的值,這個(gè)解法思路比較簡(jiǎn)單,但是實(shí)際操作起來(lái)計(jì)算量偏大,而且不夠直觀.下面我們利用三角函數(shù)的圖像推導(dǎo)出4個(gè)性質(zhì),然后利用這些性質(zhì)解決這個(gè)問(wèn)題.

二.與函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)有關(guān)的四個(gè)性質(zhì)

性質(zhì)1 函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的某一個(gè)零點(diǎn)與某一條對(duì)稱軸的距離d和周期T的關(guān)系:

證明不妨設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為x1,對(duì)稱軸為x=x2,則由零點(diǎn)和對(duì)稱軸的性質(zhì)可以得到:

證畢.

性質(zhì)2 若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在某區(qū)間上單調(diào),則此區(qū)間的長(zhǎng)度d與最小正周期T的關(guān)系為:

此結(jié)論由三角函數(shù)的圖像易得,證明從略.

性質(zhì)3 對(duì)于函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ),若滿足f(x1)=f(x2),則為函數(shù)的一條對(duì)稱軸或者|x1?x2|=kT,k∈N.

證明因?yàn)閒(x1)=f(x2)所以

或者

性質(zhì)4 對(duì)于函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),若f(x1)=?f(x2),則為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)或者

證明若f(x1)=?f(x2)我們得到:

或者

由(1)得

由(2)得

三.應(yīng)用舉例

例1 首先我們利用上述性質(zhì)來(lái)解決文章開(kāi)頭的高考題.

解答由性質(zhì)1和性質(zhì)2我們可以得到:

從而得到ω=2n+1且ω≤12.根據(jù)題意和四個(gè)選項(xiàng)中的答案,我們先令ω=11進(jìn)行排除,得到此時(shí)n=5.由(1)得對(duì)稱軸和零點(diǎn)的距離為下面我們就在零點(diǎn)和對(duì)稱軸之間作出個(gè)周期的圖像,如圖一.其中黑色加粗部分為給定區(qū)間上的圖像.由于不符合在單調(diào)性的要求故排除.

然后我們?cè)倭瞀?9,此時(shí)n=4.同理可得到對(duì)稱軸和零點(diǎn)的距離此時(shí)為同理,在零點(diǎn)和對(duì)稱軸之間作出個(gè)周期的圖像,如圖二.易知此時(shí)滿足單調(diào)性的要求,答案選B.

圖1

圖2

例2 (2014年北京理科第14題)設(shè)函數(shù)若f(x)在區(qū)間具有單調(diào)性,且試問(wèn)f(x)的最小正周期是多少?

解答由性質(zhì)2我們可以得到所以所以再有性質(zhì)3和可知為對(duì)稱軸.再由性質(zhì)4和可知為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).再利用性質(zhì)1得即所以T=π.

此題的解答過(guò)程完美的體現(xiàn)了上述4個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用,簡(jiǎn)單明了,賞心悅目.

例3 已知函數(shù)且在有最小值無(wú)最大值,則ω為多少?

解答因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有最小值無(wú)最大值,所以在區(qū)間內(nèi)的圖像大致為圖3所示.則由性質(zhì)2可知對(duì)稱軸為且所以即ω=且ω＞0,故

圖3

四.備考復(fù)習(xí)建議

(一)夯實(shí)基礎(chǔ),重點(diǎn)突破

三角函數(shù)圖像問(wèn)題的核心在于如何作圖和識(shí)圖,所以我們要打好利用“五點(diǎn)法”作圖和利用“圖形變換法”作圖這兩個(gè)基礎(chǔ),方能在解題的時(shí)候以不變應(yīng)萬(wàn)變,用最快捷和高效的方法解決問(wèn)題.

(二)一題多解,變式訓(xùn)練

現(xiàn)在的高考題靈活多變,我們不能夠一味的機(jī)械模仿,重復(fù)做一些“經(jīng)典好題”.否則,一是忽略了數(shù)學(xué)的本質(zhì),二是導(dǎo)致學(xué)生慢慢失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.所以我們要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練,從而克服如上弊端.當(dāng)然,變式訓(xùn)練要圍繞學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)展開(kāi),訓(xùn)練學(xué)生解決靈活性問(wèn)題的能力,讓學(xué)生不斷積累,做到舉一反三.

(三)數(shù)形結(jié)合,鍛煉思維

上面的例題中,我們主要是利用三角函數(shù)的圖像觀察出四個(gè)性質(zhì),這就是數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括,高考中會(huì)面臨對(duì)這方面的重點(diǎn)考查.因此,通過(guò)復(fù)習(xí)提升學(xué)生高階思維能力,也是我們今后學(xué)習(xí)過(guò)程中的重中之重.