利用相似比解決向量分解的系數(shù)和問題

上海市嘉定區(qū)勵卓培訓學校(201800) 陳立榮 盧汪軍

大家都知道,地理上從不同的視角能看到不同的風景,往往一處美景只能在特定的角度才會呈現(xiàn).筆者總結前人的經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)數(shù)學上就有這樣的一種風景,大家一起來觀賞吧!

向量的分解和定比分點公式是高中解析幾何的兩個重要知識點,下面就這兩部分內(nèi)容展開進一步的討論.

通過課堂學習,我們知道了平面內(nèi)有不同的兩點A和B,點P分有向線段AB的比為λ,即(P點不與B點重合),則A,P,B三點共線,且易得λ?=?1.

結論1A,P,B三點共線,任取不與A、B共線的一點O,向量在基底向量上的分解所得系數(shù)和恒為1.

證明

(1)當P點不與B點重合,有

(2)當P點與B點重合,得,結論也成立.綜上,結論1成立.

延展結論若點P不在直線AB上,系數(shù)和又會有怎樣的結論呢?

問題設求m+n的值.

下面分兩種情形來討論,

(1)若直線OP平行于直線AB(如圖 1),則得m+n=(?λ)+λ=0.

(2)OP∩AB=P1(如圖 2),則且m1+n1=1,又O,P,P1三點共線,設

則

得

圖1

圖2

現(xiàn)在我們來整理一下:

方便起見,我們將直線AB水平放置,O點在下方,過點O作水平線l,直線l平行于直線AB,它們將平面分成上、中、下三塊區(qū)域,如圖3所示.

圖3

①P點在中間區(qū)域,結合平面幾何知識,由①式得且λ＞0,從而,m+n=λ∈(0,1).

注根據(jù)平行線分線段成比例,參數(shù)|λ|可以看成圖中平行線間的線段比或三角形的相似比.

②P點在上方區(qū)域(也就是更高的位置),可得m+n=λ∈(1,+∞).

③P點在下方區(qū)域,此時,向量反向,m+n=λ∈(?∞,0).

④P點直線AB上,λ=1;在直線l上,λ=0.

小結有沒有似曾相識的感覺? 為了進一步歸納,可以建立直角坐標系來看問題,如圖4所示,O點為坐標原點,且記yA=yB=1,則m+n=λ=yP.多么優(yōu)美的結論!

圖4

結論2 如圖4所示,建立直角坐標系,向量分解的系數(shù)和m+n=λ=yP.

活學活用

例1 如圖5,△BCD與△ABC的面積之比為2:1,點P是區(qū)域ABDC內(nèi)任意一點 (含邊界),且?→AP=則λ+μ的取值范圍是___.

圖5

圖6

解如圖6所示,將CB水平放置,且置A于x軸上,由S△BCD:S△ABC=2:1知A到CB的距離:D到CB的距離=1:2,由上面結論2可知λ+μ∈[0,3].

變式1 已知向量夾角為如圖7所示,在等腰梯形OACB中(包含邊界)找一點P,使求x+y最大值.

變式2 在△ABC中,O是BC的中點,過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,若求m+n的值.

答案:2.

圖7

圖8

例2 如圖8所示,直角梯形OABC中,AB//OC,OA⊥OC,上底AB=1,下底OC=2,P為折線段ABC上的動點,求m+n的最大值.

解法1 建立直角坐標系,如圖8所示,A(0,1),B(1,1),

(1)當點P在線段AB上,有又得從而m+n=

(2)當點P在線段BC上,直線BC:y=?x+2,有得從而,

解法2 作向量連接B,D,交OC于點Q,由圖9可知,P與C重合時,m+n最大.結合平幾知識,得參考結論2,得

圖9

變式3 如圖10,B,P分別是圓C1:和圓C2:(x?3)2+(y?4)2=1上的動點,定點A(1,0),有點該如何選取,使x+y值最大.

提示:過A作圓C1的切線.答案:

圖10

圖11

變式4 如圖11,直角梯形OABC中,AB//OC,OA⊥OC,上底AB=1,下底OC=2,P為折線段ABC上的動點,求m+n的最大值.

提示重定基底,

答案:4.

圖12

圖13

變式5 如圖13,三角形△ACE中,O,B分別為AE,CE中點,CO交AB于點D,記則

提示設分步考慮,有m+n=1,m:n=1:2.答案:A.

例3 如圖14所示,橢圓上,A,B為左頂點和上頂點,橢圓上有動點則x+y的取值范圍是____.

圖14

圖15

解方法一設點P(m,n),得,又P在橢圓上,則有代入得,有從而借助輔助角公式,

方法二i,j是的單位方向向量,如圖15所示.連接(?1,0),(0,1)得直線l1,l為過P平行于l1的直線,連接OP交l1于P1,作OH⊥l,垂足為H,交l1于H1,有當l為橢圓切線時,OH最大,易得設l:x?y+c=0,聯(lián)立解得從而由對稱性得所以