不等式解題中的“36計”

安徽省無為縣牛埠中學(xué)(238351) 朱小扣

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍云波

不等式一直是高考和競賽的重點,其解題方法千變?nèi)f化,解題規(guī)律也難掌握.猶如行軍打仗,唯有依計謀可勝.正所謂“上兵伐謀”.同樣在不等式的解題中同樣需要謀略.現(xiàn)列舉幾種解不等式題的計謀,以期拋磚引玉.

1.遠交近攻

例1 設(shè)A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,求證:sinA+

證明若A=B=C=60°,則若A,B,C不全相等,不妨設(shè)A＞60°,B＜60°,f(A,B,C)=sinA+sinB+sinC,則

(顯然A+B?60°,C中有一個大于或等于60°;有一個小于或等于60°).綜上,可得

評析遠交近攻是為了達到某個最優(yōu)目標,從某個固定點出發(fā),先近后遠地分別調(diào)整各個部分,使每次更接近目標,進而順利解題.

2.借刀殺人

例2a,b,c＞0,abc=1,求證:a4+b4+c4≥a3+b3+c3.

證明因為x＞0時,

再由常見不等式x?1≥lnx得:

a4+b4+c4?(a3+b3+c3)≥lna+lnb+lnc=ln(abc)=0,故a4+b4+c4≥a3+b3+c3.

點評利用x4?x3≥x?1及x?1≥lnx(x＞0)證明了不等式,實際就是利用借x?1這把“刀”去解題,達到“化曲為曲”.

3.借尸還魂

例3 (2015年山東省預(yù)賽第5題)已知x,y∈[0,+∞)且滿足x3+y3+3xy=1,則x2y的最大值是___.

解將z看成?1,利用公式

而x2+y2+1?xy+y+x≥ 2xy+1?xy+y+x=xy+x+y+1＞0,故x+y=1,于是,

評析此類題著重考察化歸能力,題目對部分同學(xué)來說很難.如果不會靈活運用公式,就不能解決好此類題.所以,解決此類題,必須要懂得“借尸還魂”,

4.李代桃僵

例4 已知x,y∈R且x2+xy+y2=1,求x2+3xy+2y2的范圍.

點評通過元與元之間的轉(zhuǎn)化過渡,“李代桃僵”使問題能由繁變簡,由難變易,通過換元能讓學(xué)生更加體會數(shù)學(xué)中的千變?nèi)f化的美.

5.釜底抽薪

例5 已知x,y,z＞0,求的最小值.

解令a=y+3z,b=4x+8z,c=3x+2y,則

于是

除了用分母換元法外,有時還可以用乘積換元法.

點評利用分母換元法,可以將復(fù)雜的分母簡化,進而運用均值不等式使得問題能簡單的解決.分母換元法在解決此類問題中均達到了“釜底抽薪”的效果.

6.無中生有

例6 設(shè)a,b,c∈R+,求證

簡證不妨設(shè)a+b+c=1,則原不等式化為由切線法易得:需證即可.

點評因為左邊式子是齊次的,故只需考慮a+b+c=1,因為假設(shè)a+b+c=s,則可設(shè)a=sa′,b=sb′,c=sc′,代入原不等式,即和a+b+c=1的情形一樣.也就是利用換元法將非條件不等式問題轉(zhuǎn)化成條件不等式,“無中生有”.

7.金蟬脫殼

例7 已知a,b∈R+,且3a+4b=1,求的最小值.

例8 (數(shù)學(xué)通訊問題309)已知a,b,c,d為正數(shù),且a+b+c+d=1,試求的最大值.

點評通過權(quán)方和不等式(或其他不等式)將根號去掉,“金蟬脫殼”.使無理不等式有理化,進而求解.

8.上屋抽梯

例9 (文[1])已知x＞y＞0,xy=1,求的最小值.

解設(shè)則k就是所求的最小值,即3x3+125y3≥k(x?y),也即3x3+125y3+ky≥kx.由于xy=1,

例10 (2016年青年組)已知a＞0,b＞0,求的最小值.

令a+b=t,則

點評利用k值法可以將分式轉(zhuǎn)化為整式,“上屋抽梯”,使得問題簡化,從而能夠順利求解.

9.瞞天過海

例11 設(shè)a,b,c＞0,且21ab+2bc+8ca=12,求的最小值.

解令則問題轉(zhuǎn)化為:在7xy+3yz+5xz=15的條件下,求的最小值.因為即x6y5z4≤ 1,所以

以上文[2]中的解法讓人嘆為觀止,同時也讓人摸不著頭腦.受張艷宗老師的指導(dǎo)啟發(fā),筆者發(fā)現(xiàn)上解看似巧妙,實際上是先暗中運用了拉格朗日乘數(shù)法,確定了極值點,進而優(yōu)化解法,使得解法簡潔巧妙.

另解令

點評本種方法看似簡潔玄妙,實則先利用拉格朗日乘數(shù)法求出最優(yōu)解,然后用換元法使得解法簡潔,“瞞天過?！?知道這些,就能了解很題配湊的技巧.類似題,像數(shù)學(xué)通報2080問題等.

總結(jié)古書有云:“兵者,詭道也”.用兵之道在于千變?nèi)f化,在于出其不意.同樣不等式的解題方法也是這樣的.水無常形,兵無常勢,唯有知其道,曉其法,篤其行,方能百戰(zhàn)不殆,在不等式的解題中取得成功.限于水平,以上僅列舉了八種不等式得解題計謀,期待各位不等式專家推廣與總結(jié).