橢圓的第三定義

廣東省佛山市羅定邦中學(528300) 龍 宇

廣東省佛山市李偉強職業(yè)技術中學(528300) 何 珊

1.第三定義的由來

在人教A版教材–選修2-1的第80頁有如下一道習題:

10. 已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(?5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m?=0),試探求頂點C的軌跡.

此題的目的是為了介紹圓錐曲線的第三定義,但介紹的過于淺顯.根據(jù)高考的考綱,教材中出現(xiàn)的任何內(nèi)容都可能作為高考的出題點.所以本文以橢圓為例,介紹一下橢圓的第三定義,再給出幾個例題供大家參考.

定義平面內(nèi)的動點到兩定點A1(?a,0),A2(a,0)的斜率乘積等于常數(shù)e2?1的點軌跡及點A1,A2叫做橢圓,其中的常數(shù)e2?1∈(?1,0).

說明因為當橢圓上的點與端點重合時,斜率不存在,所以該定義要特別注意兩個端點.

2.第三定義的運用

例1 已知橢圓E:的離心率其左、右頂點分別為點A,B,且點A關于直線y=x對稱的點在直線y=3x?2上,點M在橢圓E上,且不與A,B點重合.(1)求橢圓E的標準方程;(2)已知點N在圓O:x2+y2=b2上,MN⊥y軸,若直線MA,MB與y軸的交點分別為C,D.求證:sin∠CND為定值.

分析第(1)問較簡單,E的標準方程為過程從略.第(2)問中求證∠CND的正弦為定值,而與正弦相關的結論較少,轉(zhuǎn)求該角的余弦值,若該角的余弦為定值,正弦必為定值.

因為點M在橢圓E上,設點M為又因為點N在圓O:x2+y2=b2上,且MN⊥y軸,所以點N為設直線MA的斜率為m,直線MA為:得到點C的坐標為同理,設直線MB的斜率為n,得到點D的坐標為通過向量的方法來計算∠CND的余弦,

該類問題的傳統(tǒng)解法,是用盡量少的未知數(shù)(即“消元”思想)表達出所求式,再計算出最終的定值.而該解法以直線斜率做為參數(shù),增加了較多的未知量,與學生們“固有的”消元思想相違背,雖然能更好表達題目的意圖,但解答的過程會越來越復雜,以最后的向量為例,我們一共有三個未知量,對于解答者而言,需要較強的心理承受能力,才能繼續(xù)化簡.但是該解法通過第三定義,在最后一步消掉所有的未知量,能給人一種豁然開朗的感覺,很有一種數(shù)學的奇異之美.

例2 (2016年廣州一模第20題)已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,左頂點為A,左焦點為F1(?2,0),點在橢圓C上,直線y=kx(k?=0)與橢圓C交于E,F兩點,直線AE,AF分別與y軸交于點M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標;若不經(jīng)過,請說明理由.

分析第(1)問中橢圓方程為:過程從略.對于第(2)問,主體思路都是聯(lián)立直線與橢圓,求解得到點E,F,進而得到點M,N,然后以點M,N為直徑做圓,再觀察表達式,判斷該圓是否過定點.思路雖清晰,但運算太過復雜.根據(jù)題干信息,點E,F關于原點對稱,可直接設點E(x1,y1),點F(?x1,?y1),雖可以簡化部分運算,但仍很復雜.

圖1

在證明該問之前,我們先利用橢圓的第三定義得到如下的

斷言設直線AE,AF的斜率分別為m,n,則有

事實上,設橢圓的右頂點為A′,則有點A與點A′關于原點對稱,點E,F也關于原點對稱,則有直線EA′的斜率等于AF的斜率n,利用橢圓的第三定義,

解直線AE,AF的直線方程分別為它們與y軸的交點分別為以MN為直徑的圓的方程為:

根據(jù)方程可知,該圓過定點為(±2,0).

總結兩道例題的本質(zhì)是一樣的.根據(jù)例1,點P落在圓x2+y2=4上.如果把兩題結合起來,我們可以編出下面的練習供讀者思考

練習已知橢圓C:直線y=kx與橢圓C交于點E,F,設橢圓上的任意一點P,直線PE,PF與y軸交于點C,D,設點N在圓O:x2+y2=b2上,且PN⊥y軸,求證:CN⊥DN.

證明過程如上例,從略.

例3 設P為橢圓C:上的動點,F1,F2為橢圓的兩個焦點,I為△PF1F2的內(nèi)心,求點I的軌跡方程.

解在求軌跡方程之前,我們先證明如下的

斷言設焦點三角形的底角為α,β,則有

事實上,設焦點三角形的頂角為γ,注意到由正弦定理可得

仿照上面的解法二,利用和差化積及二倍角公式可得:

回歸到焦點△PF1F2即有為定值,且該定值位于(?1,0).根據(jù)橢圓的第三定義,點I的軌跡為橢圓,其方程為: