一個條件概率問題的辨析

廣東省廣州市第七中學(xué)(510080) 陳武生

一、問題的提出

文［1］指出了教學(xué)中容易被師生疏忽的有關(guān)條件概率的問題,讀后很受啟發(fā).最近,筆者所在學(xué)校使用了如下的一道題目進(jìn)行高三測試,結(jié)果再次引起了大家的爭論與反思.

原題(廣州某地高中畢業(yè)綜合測試題)拋一枚均勻的骰子(骰子的六面分別有數(shù)字1,2,3,4,5,6)來構(gòu)造數(shù)列{an},使

原標(biāo)準(zhǔn)答案(1)從略.(2)若或即前2次拋骰子中都是奇數(shù)或都是偶數(shù).若前2次都是奇數(shù),則必須在后5次中拋出3次奇數(shù)2次偶數(shù),其概率:若前2次都是偶數(shù),則必須在后5次中拋出5次奇數(shù),其概率:所以所求事件的概率

可以看出,原標(biāo)準(zhǔn)答案中把第二問看成是積事件.

二、問題的討論

兩種與原標(biāo)準(zhǔn)答案不同解答測試后發(fā)現(xiàn),相當(dāng)多的學(xué)生把第2問看成是條件概率來解.學(xué)生解法中,除標(biāo)準(zhǔn)答案的方法之外,還有以下兩種:

解法一(縮小樣本空間法)所求概率為

解法二(據(jù)條件概率公式計(jì)算)設(shè)

按文［1］說法,本題第2問應(yīng)使用條件概率.本文不想在是否用條件概率的問題上做太多的文章,相信在以后的各類考試中,命題者會在措詞上給出明確的表述.筆者認(rèn)為,本題第二問是條件概率問題,所以原標(biāo)準(zhǔn)答案是錯誤的.現(xiàn)在的問題是,以上解法一、解法二為何結(jié)果不同?

三、原因分析

(i)對于解法一,可從獨(dú)立性方面分析如下:由題目知,前兩次的結(jié)果與后面幾次的結(jié)果之間沒有關(guān)系,即所求為:P(B|A)=P(B′),其中B′為換句話說,A與B′相互獨(dú)立,所以解法一正確.

(ii)對于解法二,初看難于發(fā)現(xiàn)結(jié)果與解法一相異的原因.從解題過程,我們可作以下的分析:

解法三

歸納總結(jié)事實(shí)上,解法三就是全概率公式,高中的教材并沒有涉及;根據(jù)文[2],為了求得較復(fù)雜事件R的概率,可以先把它分成兩個(或若干個)互不相容的較簡單事件之并,利用加法公式求得.全概率公式如下:設(shè)B1,B2,···是一列互不相容的事件,且有則對于任一事件A,有

下面再舉一例子來說明問題.

例1 有兩個箱子,1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現(xiàn)隨機(jī)從1號箱中選出1個放入2號箱,然后從2號箱中隨機(jī)選出一個球,試給出從2號箱中取出紅球的概率?

分析這里用全概率公式求解.

解因?yàn)閺?號箱中選出白球的概率記為B1;從1號箱中選出紅球的概率記為B2;1號箱中選出的為白球時,從2號箱中取出紅球的概率為1號箱中選出的為紅球時,從2號箱中取出紅球的概率設(shè)所求的事件為R,則

四、一些建議

1.命題應(yīng)嚴(yán)把文字關(guān),對于易引起混淆的語義,應(yīng)進(jìn)行修改;歷年高考命題都遵守這個原則.

2.條件概率的教學(xué)應(yīng)把握難度,不應(yīng)出太難的題,但對這個概念本身,力求在教學(xué)中講透.對于本題的解法二為何出錯,學(xué)生也許不能真正理解,還可以用以下題來說明:

變式投擲骰子兩次,求在第一次擲得的點(diǎn)數(shù)為1或2的條件(設(shè)為A)下,兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為5(設(shè)為B)的概率.

由于可以列舉法證得,學(xué)生更容易理解.

解法一(正確解法)容易求得所求概率為

解法二(錯誤解法)所求為