基于圓的定義 發(fā)揮直觀想象*

福建省惠安第三中學(xué)(362100) 江志杰 莊銀泉

《關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂》的專題報(bào)告,提出中國(guó)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).其中直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括:借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立數(shù)與形的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.另外,直觀想象也是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).因此,在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中,學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識(shí),提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維.如何落實(shí)以知識(shí)為載體、以素養(yǎng)為目標(biāo)的學(xué)科教學(xué)呢?下面筆者根據(jù)中學(xué)階段圓的若干定義,談?wù)勅绾螛?gòu)造圓的軌跡直觀簡(jiǎn)捷地化解相關(guān)數(shù)學(xué)問題,并且在分析和解決問題中體驗(yàn)直觀想象核心素養(yǎng)的形成及其意義!

一、從原始定義構(gòu)造圓

中學(xué)階段圓的最基本定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓,其中定點(diǎn)和定長(zhǎng)分別為該圓的圓心和半徑.據(jù)此,我們經(jīng)常借助“距離”模型來形象看待有關(guān)含向量(或復(fù)數(shù))模的方程,進(jìn)而構(gòu)成圓的軌跡雛形.比如復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在單位圓上;又如向量滿足則向量的長(zhǎng)度為2,當(dāng)其中點(diǎn)B的位置固定時(shí),點(diǎn)A落在以點(diǎn)B為圓心、半徑為2的圓上…….我們平時(shí)就要有這樣數(shù)形結(jié)合、動(dòng)靜相輔的眼光以及直觀想象的素養(yǎng),來觀察、理解、分析各類不同方式表達(dá)的數(shù)學(xué)問題,增強(qiáng)直觀轉(zhuǎn)化、形象化解的能力!

另外還有EW向和近SN向斷裂組：為區(qū)內(nèi)早期斷裂，規(guī)模小，數(shù)量少，個(gè)別地段密集出現(xiàn)，被后期斷裂組所切穿。

例1 已知a,b是單位向量,a·b=0,若向量c滿足|c?a?b|=1,則|c|的取值范圍是____.

解析本題|c?a?b|=1即|c?(a+b)|=1,可理解為動(dòng)向量c的終點(diǎn)P與定向量a+b的終點(diǎn)M的距離為1(兩向量的起點(diǎn)均為原點(diǎn)O),由單位正方形模型易得不妨將向量a+b的終點(diǎn)M固定在點(diǎn)則點(diǎn)P在以點(diǎn)M為圓心、半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng),易得從而使得本題在直觀形象的模型中輕易地化解,具備直觀想象這一核心素養(yǎng)其實(shí)就是我們構(gòu)建合理數(shù)學(xué)模型的思維基礎(chǔ)!

例2 直線l:y=kx+4?3k(k∈R)與函數(shù)的圖像交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(x,y)是坐標(biāo)平面上的點(diǎn),滿足則x2+y2的取值范圍是____.

解析由于函數(shù)表示對(duì)稱中心為O′(3,4)的雙曲線,直線l:y=kx+4?3k(k∈R)即y?4=k(x?3)恰好恒過點(diǎn)O′(3,4),故A,B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O′對(duì)稱,從而可化為說明點(diǎn)P在以點(diǎn)O′為圓心、半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng),所以本題關(guān)鍵點(diǎn)O′(3,4)是一大核心樞紐,使得直線方程、雙曲線解析式、向量模的關(guān)系式三者之間一脈相承,最終由圓的定義匯聚于圓這一常見模型!可見發(fā)揮直觀想象這一核心素養(yǎng),要求我們善于通過數(shù)學(xué)運(yùn)算、變形變式、直覺猜想、數(shù)學(xué)抽象等過程,從數(shù)學(xué)問題中挖掘、捕捉有用的數(shù)學(xué)信息,才能將抽象費(fèi)解的數(shù)學(xué)問題置換于形象直觀的幾何背景下解決!

例3 (2018年寧德市高三質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)=|x2?2x?1|,若a＞b≥1,f(a)=f(b),則對(duì)任意的實(shí)數(shù)c,(a?c)2+(b+c)2的最小值為___.

圖1

解析本題目標(biāo)“(a?c)2+(b+c)2”給我們最直觀的印象–表示點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)(c,?c)之間距離的平方,注意到實(shí)數(shù)c的任意性,進(jìn)而理解為動(dòng)點(diǎn)(a,b)到定直線y=?x的距離平方,這是順利解決本題的首要具備的基本素養(yǎng)所在!結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像,由a＞b≥ 1,f(a)=f(b)化簡(jiǎn)得a2?2a?1=?(b2?2b?1),整理配方得到:(a?1)2+(b?1)2=4(其中其表示點(diǎn)(a,b)位于圓心為(1,1)、半徑為2的一段圓弧上—這又是成功解決本題的一大關(guān)鍵模型!如圖易得點(diǎn)(3,1)到直線y=?x的距離最小,當(dāng)然在本題解法中,圓的模型畢竟較為隱蔽深邃,可見直觀想象的素養(yǎng)形成有利于我們借助幾何圖形的形象關(guān)系去描述相對(duì)復(fù)雜、抽象的問題,也就是將研究問題圖形化,促進(jìn)對(duì)數(shù)量關(guān)系的直觀感知和宏觀把握!

二、從垂直關(guān)系構(gòu)造圓

值得一提的是上述基本定義并非構(gòu)成圓的唯一方式,還有如下的常見表達(dá):

平面內(nèi)對(duì)兩個(gè)定點(diǎn)的張角為直角的點(diǎn)的軌跡是以這兩個(gè)定點(diǎn)連線為直徑端點(diǎn)的圓(不含這兩個(gè)定點(diǎn)).注意該定義又有以下的等價(jià)變式:

平面內(nèi),若動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A,B連線的斜率之積為?1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓(不含定點(diǎn)A,B和斜率為零時(shí)的點(diǎn));

平面內(nèi),若動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A,B滿足則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓;

取100 μL鏈霉親和素修飾的微球(直徑為15.4 μm)于0.5 mL的滅菌離心管中,用100 μL的親和洗脫液(pH 7.5,20 mmol/L Tris-HCl,1 M NaCl,1 mmol/L EDTA,0.0005% Triton X-100)洗滌兩次,3 500 r/min離心分離后去上層清液。向微球中加入47 μL的親和洗脫液以及3 μL的Hg2+捕獲探針(10μM),混合均勻并37 ℃搖床孵育1 h。通過離心洗滌除去未結(jié)合的探針,加入100 μL親和洗脫液于4 ℃下保存?zhèn)溆谩?/p>

例8 已知等腰三角形腰上的中線長(zhǎng)為2,則該三角形的面積最大值是___.

上述從垂直關(guān)系構(gòu)造圓的軌跡,還可以進(jìn)行一般化的推廣和補(bǔ)充.我們知道圓具有這樣的性質(zhì):在圓內(nèi),同弧(或同弦)所對(duì)的圓周角相等.反之,平面內(nèi)對(duì)兩個(gè)定點(diǎn)的張角為定值的點(diǎn)落在以兩個(gè)定點(diǎn)連線為弦的一側(cè)圓弧上,于是即有:

解析本題入手首要在于從兩個(gè)含參的直線方程中發(fā)現(xiàn)l1⊥l2,意味著點(diǎn)M在以定點(diǎn)A(0,0),B(1,3)為直徑端點(diǎn)的圓上運(yùn)動(dòng),而|MA|·|MB|的幾何意義表示Rt△MAB面積的2倍,因此借助幾何直觀有:|MA|·|MB|=|AB|·dM?AB≤ 2r2=5.這就說明垂直關(guān)系往往蘊(yùn)含著圓的模型,其就是我們構(gòu)造圓解題的重要依據(jù)!

例5 已知兩點(diǎn)A(?m,0)和B(m+2,0)(m＞0),若在直線l:上存在點(diǎn)P,使得PA⊥PB,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

變式在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且則△ABC面積的最大值是____.(答案:2)

解析若能注意到點(diǎn)P落在以AB為直徑的圓(x?1)2+y2=(m+1)2上,則問題轉(zhuǎn)為直線l:與該圓存在公共點(diǎn),由得m≥3.故選C.可見構(gòu)造圓這一經(jīng)典模型有助于化解問題的抽象性、提升數(shù)形結(jié)合的直觀性.類似地,本題還有如下變式:

變式已知圓C:(x?3)2+(y?4)2=1和兩點(diǎn)A(?m,0),B(m,0)(m＞0),若圓上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則m的取值范圍是____.(答案:[4,6])

三、從性質(zhì)定理構(gòu)造圓

摘 要：高中有一種教育方法是陶冶教育法?！疤找薄钡母拍顬槎铀岢?，陶冶教育法從此正式形成。什么是陶冶教育法？陶冶教育法即是對(duì)學(xué)生進(jìn)行潛移默化教育的方式，教育內(nèi)容與學(xué)生的社會(huì)經(jīng)驗(yàn)、在學(xué)校的生活和其家庭生活有密切聯(lián)系，與學(xué)生的綜合素質(zhì)也緊密結(jié)合。

在耳鼻喉科中,較為常見的一種急診是食管異物,如果處理不及時(shí),將會(huì)引發(fā)多種并發(fā)癥,甚至對(duì)患者的生命安全造成嚴(yán)重威脅。在以往的檢查過程中,通常采用電子胃鏡、胸片、碘水造影或者食管吞鋇[1]。在科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的背景下,胸部CT三維重建技術(shù)得到廣泛使用,其可以從客觀方面判斷食管并發(fā)癥[2]。本次研究主要針對(duì)食管異物患者采用胸部CT三維重建與食管吞鋇診治效果進(jìn)行分析,現(xiàn)將探究?jī)?nèi)容以如下報(bào)告形式呈現(xiàn)。

綜上所述，在心肌梗死致心力衰竭急救過程中進(jìn)行舒適護(hù)理有利于患者心功能的恢復(fù)，改善患者的心力衰竭程度，提高患者的滿意度。

這實(shí)際上告訴我們可以此逆用圓的性質(zhì)定理來構(gòu)造圓的模型,并用之輔助解題!

夏季外界炎熱潮濕，很容易導(dǎo)致牛出現(xiàn)熱應(yīng)激，養(yǎng)殖戶應(yīng)該高度重視夏季牛熱應(yīng)激防護(hù)，采取綜合防控措施，有效降低牛體表溫度，控制養(yǎng)殖環(huán)境，降低不良因素對(duì)牛身體造成的刺激，提高養(yǎng)殖效益。

例6 如圖2在△ABC中,∠ACB=60°,點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上,則CD長(zhǎng)的最小值為___.

圖2

圖3

解析本題中抓住∠ACB=60°和的不變性,視頂點(diǎn)C在△ABC的外接圓O(半徑為2)上運(yùn)動(dòng),求得圓心O到邊AB的距離為1,故從而有

例7 設(shè)向量a,b,c滿足:〈a?c,b?c〉=60°,則|c|的最大值等于()

本文在建立房?jī)r(jià)模型時(shí)，假設(shè)住房的基本面可以由一系列經(jīng)濟(jì)社會(huì)變量構(gòu)成，且每個(gè)城市在每個(gè)時(shí)期都對(duì)應(yīng)一個(gè)反映這些經(jīng)濟(jì)社會(huì)變量的住房基本面價(jià)格。參考李永友(2014)[12]的模型設(shè)定，結(jié)合長(zhǎng)三角地區(qū)的實(shí)際情況，選擇人均可支配收入(hp)、年末貸款余額占GDP比重(loan)、人口規(guī)模(pop)、住房建設(shè)成本(cost)、城鎮(zhèn)化率(urban)、土地價(jià)格(lp)和城市綠化覆蓋率(green)作為基本面價(jià)格解釋變量。每個(gè)城市在每個(gè)時(shí)期的住房基本面價(jià)格可通過估算模型的擬合值得出，其與同期實(shí)際房?jī)r(jià)的差值即為房?jī)r(jià)偏離。

圖4

解析本題良好的解題素養(yǎng)體現(xiàn)于將相關(guān)的向量元素巧妙地整合在同一個(gè)圓的模型中:如圖4,設(shè)則故頂點(diǎn)C、O在△ABC的外接圓上(其中外接圓的半徑R=1.從而本題表面上雖為平面向量背景,但借助數(shù)學(xué)直觀想象,便可發(fā)現(xiàn)其與上述例6有著異曲同工之妙!

2.親蝦越冬及培育 親蝦暫養(yǎng)于土池中，搭建加溫大棚越冬，通過環(huán)保鍋爐加熱，期間水溫保持15～18℃。至3月上旬，親蝦移入加溫苗池進(jìn)行產(chǎn)卵培育，逐漸升高水溫至26～28℃，促進(jìn)親蝦性腺進(jìn)一步成熟。加強(qiáng)親蝦營(yíng)養(yǎng)直接關(guān)系到卵和幼體質(zhì)量。日常投喂羅氏沼蝦專用配合飼料外，同時(shí)搭配投喂切碎的胡蘿卜、南瓜等新鮮蔬菜和冰鮮魚塊，確保營(yíng)養(yǎng)豐富、全面。日投喂量一般在4%～5%左右，投喂新鮮飼料時(shí)適當(dāng)增加投喂量，越冬期間視情況適量投喂。培育期間保持環(huán)境安靜，水質(zhì)清新，溶氧豐富，必要時(shí)換水。池內(nèi)放置PVC管和網(wǎng)衣作為隱蔽物，減少殘殺。

綜上所述，長(zhǎng)株潭創(chuàng)客空間仍處于自發(fā)發(fā)展階段，優(yōu)化布局和資源共享的局面遠(yuǎn)未形成，一方面，創(chuàng)客空間與本地重點(diǎn)產(chǎn)業(yè)對(duì)接不足，主業(yè)特色欠缺，未能有效發(fā)揮支撐地方產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)的創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)作用；另一方面，三座城市創(chuàng)新資源分布不僅不平衡，而且不平衡狀況在加大，增加了劣勢(shì)城市創(chuàng)客空間取得和使用創(chuàng)新資源的交易成本。上述局面從根本上導(dǎo)致了同質(zhì)化競(jìng)爭(zhēng)、資源使用低效、服務(wù)地方經(jīng)濟(jì)能力不強(qiáng)等突出問題。

四、從定比關(guān)系構(gòu)造圓

平面內(nèi),若動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A,B距離之比為常數(shù)λ(λ?=1),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓.而且這是以定比λ內(nèi)分和外分線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓,這種軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的,因此這種圓也稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓;有關(guān)阿氏圓的定義應(yīng)用一直層出無窮、經(jīng)久不衰!

根據(jù)視覺航標(biāo)維護(hù)質(zhì)量的總體要求，燈質(zhì)正常就要求我們航標(biāo)管理人員時(shí)刻保持燈器的正常發(fā)光，即便在惡劣天氣的情況下出現(xiàn)異常情況就要緊急處理，確保視覺航標(biāo)的正常工作，增加了航標(biāo)巡檢維護(hù)工作的危險(xiǎn)性。

例4 已知m∈R,若點(diǎn)M為直線l1:my=?x和l2:mx=y+m?3的交點(diǎn),l1和l2分別過定點(diǎn)A和B,則|MA|·|MB|的最大值為____.

圖5

解析如圖5在等腰△ABC中,設(shè)點(diǎn)D為腰AC的中點(diǎn),注意到AB=AC=2AD,且中線BD=2.不妨?xí)簳r(shí)固定D,B兩點(diǎn),且以點(diǎn)D為原點(diǎn),直線BD為x軸,則由|AB|=2|AD|可求得動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為:即點(diǎn)A在以為圓心、半徑為的圓上運(yùn)動(dòng),顯然當(dāng)點(diǎn)A到直線BD的最大距離為時(shí),

本題之所以如此建系設(shè)點(diǎn),緣于由|AB|=2|AD|發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在某一定圓上運(yùn)動(dòng),說明通過兩線段的定比關(guān)系是我們構(gòu)造圓的又一重要來源,也是形成直觀想象素養(yǎng)的知識(shí)基礎(chǔ)!

A.(0,3) B.(0,4) C.[3,+∞) D.[4,+∞)

平面內(nèi),若動(dòng)點(diǎn)P和兩個(gè)定點(diǎn)A,B滿足∠APB=則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是弦AB一側(cè)的圓弧(不含這兩個(gè)定點(diǎn));

解析首先由注意到動(dòng)點(diǎn)C在以定比內(nèi)分和外分線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),以此求得AB邊上高的最大值為無疑比用正、余弦定理入手解三角形更為直截了當(dāng)、更為直觀形象,問題本質(zhì)更為鮮明清晰!

例9 在三棱錐P?ABC中,AB⊥BC,AB= 6,為AC的中點(diǎn),過C作BO的垂線,交BO,AB分別于R,D.若∠DPR= ∠CPR,則三棱錐P?ABC體積的最大值為____.

圖6

解析憑借感官直覺,要求三棱錐P?ABC體積的最大值,關(guān)鍵求點(diǎn)P到平面ABC的最大距離d,這就要求平面PCD⊥平面PBC,且點(diǎn)P到直線CD的距離最大.在含30°的Rt△ABC中,易得CR=3,DR=1.在△PCD中,由PR平分∠DPC得到:根據(jù)阿氏圓的定義說明:點(diǎn)P在以定比3內(nèi)分和外分線段CD的兩個(gè)分點(diǎn)R,R′(RR′=3)的連線為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),故于是有:

近年，材料價(jià)格波動(dòng)較大，為避免由此造成承包人管理費(fèi)、利潤(rùn)等的“水漲船高”，帶動(dòng)工程造價(jià)的“虛漲”，在概（估）算中對(duì)主要材料進(jìn)行限價(jià)計(jì)費(fèi)有一定的必要性和合理性。但對(duì)由此產(chǎn)生的價(jià)差處理方式，國(guó)家或行業(yè)主管部門未作統(tǒng)一規(guī)定，造成計(jì)價(jià)不一。有的省（市）規(guī)定列入工程單價(jià)稅金之前，有的審查部門則要求列入獨(dú)立費(fèi)用。

點(diǎn)評(píng)本例充分體現(xiàn):只有在充分熟知圓的各種定義、具備一定直觀想象核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上,方能在動(dòng)態(tài)變幻的幾何體發(fā)現(xiàn)或感受圓的軌跡存在.

例10 已知點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng),則AP+2PB的最小值是____.

圖7

解析根據(jù)阿氏圓定義,等邊三角形ABC的內(nèi)切圓可看作是到某兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡.為此我們猜想存在某一定點(diǎn)E,使得目標(biāo)式AP+2PB中AP=2PE,從而轉(zhuǎn)為求2(PE+PB)的最小值.注意到中線AD的端點(diǎn)D恰在該內(nèi)切圓上,猜想定點(diǎn)E應(yīng)位于中線AD的中點(diǎn),并且內(nèi)切圓與中線AD的另一交點(diǎn)F點(diǎn)恰也滿足AF=2EF,印證了△ABC的內(nèi)切圓可看作是到兩個(gè)定點(diǎn)A、E距離之比為2的點(diǎn)的軌跡,2(PE+PB)|min=2BE.

在△ABE中,

故AP+2PB的最小值為

點(diǎn)評(píng)本例逆用阿氏圓定義,將已知圓視作到某兩定點(diǎn)距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡,從而使將目標(biāo)式AP+2PB巧妙轉(zhuǎn)化,直觀求解!

結(jié)束語筆者以為:數(shù)學(xué)定義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn),是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)和推理的依據(jù),也是發(fā)揮直觀想象、形成學(xué)科素養(yǎng)的知識(shí)載體.由上可知,圓的定義豐富多樣,圓的軌跡形成方式多樣善變!只有牢固緊扣圓的各種定義,方能尋找或捕捉隱藏在數(shù)學(xué)問題中有關(guān)圓的軌跡,并利用之來化解問題.譬如某些數(shù)學(xué)問題用常規(guī)方法難以奏效或求解難度大,但若能針對(duì)問題的本質(zhì)特征,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造圓的模型直觀輔助分析,巧妙地運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)找到解題捷徑,往往可以化抽象為直觀、化繁雜為簡(jiǎn)捷.因此,我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定義不但要認(rèn)識(shí)定義的來源及意義,理解定義的性質(zhì)及相互關(guān)系,而且要在運(yùn)用定義解決問題過程中追求數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.