試析中考數(shù)學(xué)綜合題常見(jiàn)類型

翁為科

（深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)初中部，廣東 深圳）

中考數(shù)學(xué)中習(xí)題開(kāi)放性主要是指，條件不完善，結(jié)論沒(méi)有明確同時(shí)也不唯一，解法沒(méi)有嚴(yán)格限制，這樣在解題中學(xué)生便留有充分的認(rèn)知空間。題目在解題中充分體現(xiàn)了創(chuàng)新精神，因此在中考中比例持續(xù)加大，現(xiàn)在要求教師對(duì)這些開(kāi)放性習(xí)題的類型以及解題策略進(jìn)行分析研究，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析、比較、猜想等多種思維方式進(jìn)行探究。

一、中考中的常見(jiàn)數(shù)、式題型

為了使學(xué)生對(duì)中考題目有系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，一定要針對(duì)性地對(duì)常見(jiàn)題型剖析，不斷深化感性認(rèn)識(shí)。

計(jì)算類習(xí)題，數(shù)和式綜合使用。

在此種題目中要先進(jìn)行簡(jiǎn)化，之后求值。

此類計(jì)算題，主要是為了考查學(xué)生數(shù)字和式子之間綜合運(yùn)算能力，在很多地方中考中都有出現(xiàn)。此類習(xí)題為基礎(chǔ)性題目，在計(jì)算中重視不夠，便經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤；同時(shí)涵蓋知識(shí)點(diǎn)較多，學(xué)生學(xué)到的各種數(shù)字和式子都有涉及，有任何問(wèn)題沒(méi)有考慮到便會(huì)失分。做此種類型題目一定要保證：第一，記熟特殊角三角函數(shù)值，同時(shí)要掌握好負(fù)指數(shù)冪以及整數(shù)指數(shù)冪、二次根式、平方根、絕對(duì)值、實(shí)數(shù)在運(yùn)算中的順序以及運(yùn)算法則；第二，掌握好整式加減、乘除、因式分解和通分、約分以及分式之間的乘除運(yùn)算。在分式化簡(jiǎn)中一定要重視x值是否能夠確保分式有意義。

二、中考中的方程以及不等式組、函數(shù)綜合問(wèn)題

例題：為了在長(zhǎng)假高峰購(gòu)物做好準(zhǔn)備，運(yùn)動(dòng)服裝品牌店主要采購(gòu)兩類服裝，分別為甲類、乙類。兩種貨物的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格和出售價(jià)格如下。

運(yùn)動(dòng)服裝價(jià)格 甲 乙類進(jìn)價(jià)（元/件） m m-20售價(jià)（元/件） 240 160

購(gòu)貨時(shí)，貨款中3000元購(gòu)買(mǎi)甲類服裝的件數(shù)和2400元購(gòu)買(mǎi)乙類服裝數(shù)量一樣。

（1）得到m值。

（2）購(gòu)買(mǎi)甲類和乙類服裝中，200件總利潤(rùn)一定在21700元之上，同時(shí)低于22300元，現(xiàn)在分析在專賣店內(nèi)一共有哪幾種進(jìn)貨方式？

（3）在第二條條件中，專賣店要對(duì)甲種服裝進(jìn)行優(yōu)惠促銷，同時(shí)決定對(duì)甲類服裝進(jìn)行優(yōu)惠a（50＜a＜70）元，乙類服裝售價(jià)不變?，F(xiàn)在分析專賣店中要想得到最大利潤(rùn)要使用哪種進(jìn)貨方式？

解：（1）根據(jù)題意可以看出3000/m=2400/m-20，可以得到m=100，在驗(yàn)證之后可以得到m=100為方程解，因此可以得到m=100。

（2）進(jìn)購(gòu)甲類服裝x件，乙類服裝一共（200-x）件，從題意可以看出。

（240-100）x+（160-80）（200-x）≥21700，①

（240-100）x+（160-80）（200-x）≤22300，②

可以得到95≤x≤105?！選為整數(shù)，105-95+1=11，∴會(huì)有11種方案。

（3）設(shè)總利潤(rùn)為 w，w=（140-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105）。

①中 50＜a＜60 時(shí)，60-a＞0，其中 w 隨著 x變大同時(shí)變大。專賣店在x=105時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，w中有最大值。因此可以得知，購(gòu)買(mǎi)甲種服裝105件時(shí)，購(gòu)買(mǎi)乙種衣服為95件。

②在a=60時(shí)可以看出，60-a=0，w=16000，可以看出兩種方案獲利都相同。

③在60＜a＜70中，60-a＜0，同時(shí)w會(huì)隨著x的變大不斷減小，在x=95時(shí)w一定有最大值。因此可以購(gòu)買(mǎi)甲種服裝95件，乙種服裝105件。

這種類型的題為分式方程、一元一次不等式組、一次函數(shù)。處理這些問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)在于讀懂題意，同時(shí)找出描述性詞語(yǔ)，列出所求的不等關(guān)系以及等量關(guān)系。處理第三問(wèn)時(shí)不僅要將其中的實(shí)際問(wèn)題“利潤(rùn)”轉(zhuǎn)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，同時(shí)也要充分結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)，依據(jù)一次函數(shù)狀況進(jìn)行分類研究。方程和函數(shù)之間相互結(jié)合的綜合題，也是考試重點(diǎn)[1]。函數(shù)和方程雖然為不同的數(shù)學(xué)概念，但是相互關(guān)聯(lián)和滲透，很多方程問(wèn)題都可以使用函數(shù)進(jìn)行處理，同時(shí)也可以使用方程處理函數(shù)問(wèn)題。這些問(wèn)題關(guān)鍵要重視變化和聯(lián)系，可以分析抽象的數(shù)量特征，實(shí)現(xiàn)函數(shù)和方程之間的相互裝換，從而起到解決問(wèn)題的作用。

三、統(tǒng)計(jì)和概率綜合

在統(tǒng)計(jì)類題中考點(diǎn)主要有抽查、全面調(diào)查，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，這些主要是反映了數(shù)據(jù)集中性，考試中要考查學(xué)生在各種背景中使用各種數(shù)代表每種數(shù)據(jù)，或者統(tǒng)計(jì)圖找出數(shù)中特征、極差以及方差，兩者主要是反映數(shù)據(jù)之間的波動(dòng)，描述穩(wěn)定性，在對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較時(shí)一般會(huì)先觀察平均數(shù)，之后才會(huì)使用方差。

例題：在方格中，A、B、C、D、E、F都處在正方形頂點(diǎn)。（1）A、D、E、F四點(diǎn)中任意選擇一點(diǎn)，選擇的點(diǎn)主要以B、C作為頂點(diǎn)畫(huà)出三角形，求得到等腰三角形的概率。

（2）從 A、D、E、F這四點(diǎn)中任意取兩個(gè)點(diǎn)，取得點(diǎn)和 B、C 作為頂點(diǎn)畫(huà)出四邊形，計(jì)算出可以得到平行四邊形的概率（樹(shù)狀圖、列表求解）。

在題中不僅要考查學(xué)生使用樹(shù)狀圖、列表計(jì)算出所有可以得到平行四邊形的概率，同時(shí)也要使用概率對(duì)等腰三角形進(jìn)行評(píng)判，所考核的知識(shí)點(diǎn)綜合性強(qiáng)。在解決這些問(wèn)題時(shí)，不僅自己要學(xué)會(huì)畫(huà)樹(shù)狀圖列表得到各種結(jié)果和概率，同時(shí)也要掌握?qǐng)D形性質(zhì)判定知識(shí)。

四、二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題

二次函數(shù)主要是探討具體問(wèn)題中的數(shù)量變化以及在此規(guī)律上的抽象數(shù)學(xué)概念，同時(shí)也是研究現(xiàn)實(shí)世界規(guī)律的模型。二次函數(shù)中的重要思想便是用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)分析和解決問(wèn)題[2]。在命題上主要圍繞新課標(biāo)，為了考查學(xué)生分析和處理實(shí)際問(wèn)題的能力，確定好二次函數(shù)中的表達(dá)方法，充分理解函數(shù)特征。使用好描點(diǎn)畫(huà)法做出二次函數(shù)圖象，在圖象中看到函數(shù)性質(zhì)，使用配方、公式等各種方式確定函數(shù)圖象開(kāi)口方向以及頂點(diǎn)，使用這種方式得到一元二次方程近似解。

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如下圖，且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有下列結(jié)論：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③m＞2。其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 （ ）

A.0 B.1 悅.2 D.3

①二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b2-4ac＞0，故①正確；

②∵拋物線的開(kāi)口向下，

∴a＜0，

∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c＞0，

∵ 對(duì)稱軸 x=b/2a＞0，

∴ab＜0，

∵a＜0，

∴b＞0，

∴abc＜0，故②正確；

②一元二次方程ax2+bx+c-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

∴y=ax2+bx+c和y=m沒(méi)有交點(diǎn)，

由圖可得，m＞2，故③正確。

故選：D。

五、閱讀以及新定義有關(guān)的綜合型題目

這些題在以后的數(shù)學(xué)考試中會(huì)逐漸增加，同時(shí)考試的很多知識(shí)并不屬初中數(shù)學(xué)，更多的是重視初中和高中知識(shí)之間的銜接。很多題目都是高中數(shù)學(xué)知識(shí)，或者有一些跨學(xué)科的知識(shí)。這些主要是考查學(xué)生理解能力、閱讀能力、使用新知識(shí)能力。處理這些問(wèn)題關(guān)鍵在于認(rèn)真閱讀，同時(shí)要理解題目，認(rèn)識(shí)到題目中的新公式、新定義，同時(shí)使用這種方式解決和處理相關(guān)問(wèn)題。

例題：在實(shí)數(shù)中，規(guī)定［x］為不大于 x的整數(shù)，有［1.2］=1，［4］=4，［-2.6］=-3，假如現(xiàn)在分析x可以為多少 （ ）

A.41 B.43 悅.51 D.57

解析：從定義中我們可以看出，［x］主要為小于等于x的最大整數(shù)。同時(shí)結(jié)合例題可以看出要想滿足可以得到46≤x＜56，因此可以選擇第三項(xiàng)。

數(shù)學(xué)綜合題中不僅有這些題，也會(huì)有各種變換類型的[3]。但是不論是何種綜合題，不僅要對(duì)方法進(jìn)行考查同時(shí)也重視綜合能力。在學(xué)習(xí)中一定要抓住知識(shí)的關(guān)聯(lián)，掌握好數(shù)學(xué)思想和方式。只有通過(guò)這種方式才可以靈活使用、分析問(wèn)題、觀察問(wèn)題，解好綜合問(wèn)題。