具非瞬時脈沖收獲單種群動力學模型的控制閾值研究

焦建軍，李利梅,劉蘭蘭，聶星屹

(貴州財經大學 a.數學與統(tǒng)計學院;b.繼續(xù)教育學院，貴州 貴陽 550004)

0 引言

許多生命現象可以用動力學建模的方法來建立相應的數學模型，通過研究這類數學模型來進一步研究生物動力學問題,以使人們對生態(tài)學乃至生命科學有更加深入的了解.近年來，人們發(fā)現許多生命現象的發(fā)生以及人們對生命現象的優(yōu)化控制，并非一個連續(xù)的過程，不能單純地用微分方程與差分方程來描述.周期的脈沖微分方程在生命科學中的應用[1],開始于醫(yī)藥科學，研究藥物在人體中的二分部，口服、注射藥物常常是以脈沖形式使藥物進入人體的，因此描述藥物在人體(包括血液、臟器、肌肉等)中濃度變化情況，應用周期脈沖微分方程則顯得更為合理；研究癌細胞的化療中，癌細胞組織的變化過程也是類似的，因為打針、吃藥、化療都是周期的脈沖行為；研究傳染病的防疫，進行免疫接種方式的過程中，發(fā)現免疫接種方式也是一種周期性的脈沖行為.周期脈沖微分方程的另一類應用包括可再生資源的開發(fā)與害蟲的綜合治理.可再生資源開發(fā)，也常常是周期性的脈沖行為;在農業(yè)害蟲治理過程中，實施農藥、投放天敵也常常是周期性脈沖行為.同時許多學者運用了脈沖微分方程理論來研究種群脈沖出生與收獲、傳染病的控制、淡水生態(tài)系統(tǒng)的管理、人體血糖的控制等問題[2-9]，為現實的生物資源管理提供了可靠的策略依據.

焦建軍等[2]研究了具脈沖出生與脈沖收獲階段結構單種群動力學模型：

(1)

其中:x1(t) 和x2(t)分別表示種群幼體與成體的密度；a>0 表示種群的脈沖出生系數；d1>0表示種群幼體的死亡系數；c>0表示種群幼體向成體轉化的系數；d2>0表示種群成體的死亡系數； 在t=(n+l)τ時刻對種群成體進行脈沖收獲； 在t=(n+1)τ時刻種群脈沖出生；μ表示種群成體的收獲系數，且0<μ<1；τ表示種群的脈沖出生周期，也就是種群成體的收獲周期. 考慮到實際上種群幼體的死亡率比種群成體死亡率大，所以可以假設d1>d2.

而事實上，種群的出生應當包含著瞬時脈沖收獲時刻與非瞬時脈沖收獲區(qū)間，很少有人研究具有非瞬時脈沖收獲的種群動力學模型行為.

1 模型的建立

考慮種群是脈沖收獲且其包含瞬時脈沖收獲與在接下來的某個時間段上的非瞬時脈沖收獲，建立具非瞬時脈沖收獲單種群動力學模型：

(2)

其中:x(t)表示種群在時刻t的密度，種群在區(qū)間(nτ,(n+l)τ]上是Logistic增長，a>0表示種群在區(qū)間(nτ,(n+l)τ]上的內稟增長率，b>0表示種群在區(qū)間(nτ,(n+l)τ]上的種內競爭系數.μ>0表示種群在瞬時脈沖收獲時刻t=(n+l)τ的收獲系數，d>0表示在區(qū)間((n+l)τ,(n+1)τ]內種群的非瞬時脈沖收獲系數，lτ是種群的非脈沖收獲區(qū)間長度，(1-l)τ是種群非瞬時脈沖收獲區(qū)間長度(00表示種群脈沖收獲周期.種群密度函數x(t)在時刻t=(n+1)τ是連續(xù)的.

考慮到種群的非瞬時脈沖出生，假設l→1且l≠1.

2 動力學分析

假設x(t)是系統(tǒng)(2)的解, 它是一個分段連續(xù)函數X:R+→R+,X(t)在區(qū)間(nτ,(n+l)τ]與((n+l)τ,(n+1)τ]上是連續(xù)的,并且

與

是存在的，顯然,系統(tǒng)(2)的右邊函數的光滑性保證了其解的全局存在和唯一性[1].

由系統(tǒng)(2)的第一與第三個方程,容易得到系統(tǒng)(2)在脈沖點之間的解析解為：

x(t)=

(3)

由系統(tǒng)(2)的第二與第四個方程,得到系統(tǒng)(2)的頻閃映射為：

(4)

方程(4)有兩個不動點F1(0)與F2(x*), 其中

(1-μ)e(al-d(1-l))τ>1.

(5)

定理1 i)當 (1-μ)e(al-d(1-l))τ<1時，方程(4)的唯一零不動點F1(0)是全局漸近穩(wěn)定的.

ii)當(1-μ)e(al-d(1-l))τ>1時，方程(4)的零不動點F1(0)是不穩(wěn)定的, 方程(4)的正不動點F2(x*)是全局漸近穩(wěn)定的，其中x*如方程(5)所定義.

證明為了方便，引入記號xn=x(nτ+),那么差分方程(4)可以寫成

xn+1=F(xn),

(6)

其中

B=b(ealτ-1).

i) 當(1-μ)e(al-d(1-l))τ<1時，方程(6)有唯一的不動點F1(0)，于是

(1+μ)e(al-d(1-l))τ<1.

(7)

所以方程(6)的唯一不動點F1(0)是局部漸近穩(wěn)定的，進而是全局漸近穩(wěn)定的.

ii) 當(1-μ)e(al-d(1-l))τ>1時，對于方程(6)的不動點F1(0)，于是

(1-μ)e(al-d(1-l))τ>1.

所以方程(6)的不動點F1(0)是不穩(wěn)定的.

當(1-μ)e(al-d(1-l))τ>1時，對于方程(6)的不動點F2(x*)，于是

所以方程(6)的不動點F2(x*)是局部漸近穩(wěn)定的，進而是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

由定理1易得：

定理2 i)當(1-μ)e(al-d(1-l))τ<1時，系統(tǒng)(2)的平凡周期解是全局漸近穩(wěn)定的.

(8)

其中:x**=(1+μ)e-dlτx*,x*如方程(5)所定義.

3 討論

根據生物資源管理的實際，討論了具非瞬時脈沖收獲的單種群動力學模型，得到了生物資源管理的控制閾值的充分條件.由定理2可知，對于具非瞬時脈沖收獲的單種群動力學模型，得到了種群初次脈沖收獲的閾值

當μ>μ*時，系統(tǒng)(2)的種群滅絕，當μ<μ*時，系統(tǒng)(2)的種群持續(xù)生存.說明了種群的初次收獲量對于系統(tǒng)的持久起著重要的作用.同時，也可以得到非瞬時脈沖出生區(qū)間系數l存在閾值：

當(1-l)τ>(1-l*)τ時，種群滅絕，當(1-l)τ<(1-l*)τ時，種群持續(xù)生存.該結論也表明種群非瞬時脈沖收獲區(qū)間的長短對于種群的持續(xù)生存具有重要的作用. 從上面的討論我們猜想對于某些瀕臨滅絕的有一定經濟價值的生物是可以適當減少其初次脈沖收獲量或者是縮短其非瞬時脈沖收獲區(qū)間的長度，從而保護該物種持久生存.