基于激光超聲在高溫下對(duì)超聲波聲速的數(shù)值模擬

陶 程,殷安民,應(yīng)志奇,王煜帆,郭智敏

(1.寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院,浙江 寧波 315211；2.浙江省零件軋制成形技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,浙江 寧波 315211；3.中國兵器科學(xué)研究院寧波分院,浙江 寧波 315103)

1 引 言

鋁板帶作為國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要基礎(chǔ)材料,市場(chǎng)需求強(qiáng)勁。隨著技術(shù)發(fā)展和市場(chǎng)需求的變化,廠商對(duì)鋁板帶產(chǎn)品的性價(jià)比及產(chǎn)品的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)要求卻愈來愈高[1]。然而,長(zhǎng)期以來,金屬板材的微觀組織和力學(xué)性能檢測(cè)主要依賴各種靜態(tài)、離線、破壞式方法。這類檢測(cè)方法雖然能夠獲得最終產(chǎn)品的微觀組織和力學(xué)性能參數(shù),但是效率較低、隨機(jī)性較大,并且不能在整個(gè)生產(chǎn)過程中對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行在線檢測(cè)和監(jiān)控[2]。

目前,世界各國的科研工作者爭(zhēng)相尋找適合應(yīng)用于金屬板材在線檢測(cè)的技術(shù)。然而,適合于現(xiàn)代化大生產(chǎn)企業(yè)的在線檢測(cè)技術(shù)不多。激光超聲技術(shù)由于可以高溫高壓、輻射等惡劣環(huán)境下設(shè)備的監(jiān)測(cè),且能進(jìn)行遠(yuǎn)距離的激發(fā)與接收,設(shè)備價(jià)格適中、對(duì)材料的表征等許多優(yōu)點(diǎn),在許多領(lǐng)域中得到越來越多的應(yīng)用[3-5]。

材料的超聲表征可利用超聲波在介質(zhì)材料中的速度和衰減兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行表征。超聲波的速度適合于表征材料微觀組織成分的相對(duì)變化量,也適合表征多晶體材料的擇優(yōu)取向。聲速取決于材料特性,可反映出材料的再結(jié)晶、相變、尺寸、溫度等信息。然而,鋁及鋁合金在熱軋時(shí)軋制溫度都比較高,例如純鋁鑄錠熱軋開軋溫度一般為480～520 ℃,終軋溫度為240～300 ℃。目前,超聲波聲速與溫度的研究分析在國內(nèi)外學(xué)者已做過許多工作。YongGang Wang[6]通過實(shí)驗(yàn)分析得到了鋁合金2024-T4和7075-T6的縱波、橫波聲速與溫度的關(guān)系。GuoRuipeng[7]通過激光超聲方法,得到了在20～470 ℃下低碳鋼的聲表面波速度隨溫度變化的情況。關(guān)衛(wèi)和[8]通過試驗(yàn)研究了常溫到450 ℃范圍內(nèi),壓力容器中碳鋼的超聲橫波隨溫度的變化規(guī)律。目前大部分研究都是針對(duì)材料鋼的超聲波聲速與溫度之間的關(guān)系,而關(guān)于鋁合金或純鋁的超聲波聲速與溫度之間的研究很少。因此,對(duì)于研究材料鋁的聲速隨溫度之間的關(guān)聯(lián)顯得十分有必要。

本文在前人所研究的基礎(chǔ)上,針對(duì)鋁及鋁合金實(shí)際軋制工藝,對(duì)鋁板在高溫下的超聲波聲速特征進(jìn)行分析。通過建立不同溫度環(huán)境下鋁板中超聲波傳播的軸對(duì)稱有限元模型,分析溫度和縱波、橫波、聲表面波聲速之間的關(guān)系,并采用得到的不同溫度環(huán)境下聲速的理論計(jì)算模型對(duì)高溫下鋁板的泊松比和彈性模量進(jìn)行驗(yàn)算,驗(yàn)證理論計(jì)算模型的精度。

2 理論模型與數(shù)值分析

2.1 熱傳導(dǎo)理論

激光點(diǎn)源垂直輻射在材料的上表面,考慮到入射激光束空間分布上為高斯分布,圖1為建立的模型示意圖。

圖1 激光輻射樣品的模型圖

由于入射激光束具有軸對(duì)稱分布的特性,分析的時(shí)候可以采用柱坐標(biāo)系,運(yùn)用經(jīng)典的熱傳導(dǎo)理論可以表示為:

(1)

式中:T(r,z,t)表示t時(shí)刻的溫度分布；ρ,c和k分別表示為密度、比熱與熱傳導(dǎo)系數(shù)。

材料上下表面的邊界條件設(shè)置為:

(2)

(3)

式中,I0是激光中心功率密度；A(T)表示材料表面的吸收率；f(r),g(t)分別表示激光的空間、時(shí)間分布,其中:

(4)

(5)

式中,a0表示激光光斑的半徑;t0表示激光脈沖上升時(shí)間。

2.2 熱彈耦合的有限元方程

在熱彈機(jī)制下,樣品吸收激光的能量會(huì)產(chǎn)生局部區(qū)域的熱膨脹,進(jìn)而形成明顯溫度梯度,由演變的熱應(yīng)力產(chǎn)生了瞬態(tài)的位移場(chǎng)。在彈性體中,超聲波的傳播滿足于Navier-Stokes方程:

(λ+2μ)(·U)-μ××U-α(3λ+2μ)·

(6)

其中,U(r,z,t)是瞬態(tài)位移；λ和μ是Lame常數(shù)；α是材料的膨脹系數(shù)；ρ是材料密度。

在材料的上下表面應(yīng)滿足自由邊界條件:

n·[σ-α(3λ+2μ)T(r,z,t)I]=0

(7)

其中，n是垂直于表面的單位向量；I是單位張量；σ是應(yīng)力張量。

模型的側(cè)邊采用限制性邊界條件,限制位移為0。同時(shí),位移場(chǎng)也要滿足初始條件:

(8)

2.3 有限元方法

在瞬態(tài)的熱-應(yīng)力分析中,公式(1)和(6)的有限元方程用熱彈耦合方程表示為:

(9)

(10)

(11)

其中,Vs是熱應(yīng)變體積；[B]是應(yīng)變-位移矩陣；[D]為材料參數(shù)的特征矩陣；{εth}是熱應(yīng)變矢量,可以表示為:

{εth}=α({T}-{Tref})

(12)

盡管溫度場(chǎng)與位移場(chǎng)是相互耦合的,但是位移場(chǎng)對(duì)溫度場(chǎng)的影響是可以忽略不計(jì)的,利用有限元進(jìn)行分析時(shí),采用順序耦合來分析整個(gè)激光激發(fā)到接收的整個(gè)過程。首先將激光激發(fā)的能量看作是加載在表面的一個(gè)熱流邊界進(jìn)行處理得到瞬態(tài)溫度場(chǎng)的分布,然后將得到的溫度場(chǎng)分布作為體載荷加載在材料上,從而得到瞬態(tài)位移場(chǎng)的分布。

2.4 激光與材料的參數(shù)

基于上述的理論分析,建立有限元模型計(jì)算脈沖激光在鋁板中產(chǎn)生超聲波,鋁板的半徑為20 mm,高度為5 mm。激光的上升時(shí)間為10 ns,激發(fā)的能量為1 mJ,激光的光斑半徑為0.3 mm。

為了更好地反映出激光激發(fā)所產(chǎn)生的溫度梯度分布,采用變網(wǎng)格技術(shù),在激光激發(fā)點(diǎn)附近區(qū)域網(wǎng)格大小為5 μm,遠(yuǎn)離激光激發(fā)的區(qū)域?yàn)?0 μm,中間部分采用三角形網(wǎng)格進(jìn)行過渡。

一般來說,時(shí)間步長(zhǎng)越小越能分辨出高頻成分的超聲波,但這樣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大大增加,會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間。如果時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置的過大就分辨不出有效的高頻成分。對(duì)于設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng)不能簡(jiǎn)單的設(shè)置固定值進(jìn)行分析。因此在熱分析的時(shí)間段內(nèi)取0.5 ns,在應(yīng)力分析的時(shí)間段則設(shè)置為2 ns,以確保超聲波的產(chǎn)生與傳播。

因?yàn)檠芯扛邷叵鲁暡ǖ膫鞑?需要知道材料各個(gè)參數(shù)隨溫度的變化關(guān)系,才能進(jìn)行正確的模擬分析。鋁在常溫下的熱物理參數(shù)與力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 計(jì)算中所需要鋁的參數(shù)

查閱相關(guān)資料可得到鋁材料各個(gè)參數(shù)隨溫度的變化情況[9-10]。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

考慮到純鋁的熔點(diǎn)為660 ℃,為了使激光激發(fā)狀態(tài)維持在熱彈機(jī)制條件下,并結(jié)合實(shí)際的純鋁軋制工藝,本文選取模擬的最高溫度為450 ℃。分析初始溫度從20～450 ℃變化時(shí)在鋁中超聲波傳播的情況。

通過建立上述的模型并進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值模擬,首先得到了關(guān)于激光激發(fā)在某一時(shí)刻的速度場(chǎng),如圖2所示。由圖可以清晰地分辨出縱波(P)、橫波(S)、頭波(H)、聲表面波(R),并且可以發(fā)現(xiàn)聲表面波的能量最大,橫波次之,而縱波的能量最小。

將探測(cè)點(diǎn)放置在表面距離激發(fā)點(diǎn)10mm處,所得到的各個(gè)溫度下表面垂直位移隨時(shí)間的變化曲線,如圖3所示。

在圖3中接收到的表面波形有三個(gè)明顯的特征,根據(jù)聲速的大小依次是掠面縱波(sP)、橫波(sS)、聲表面波(R)?？v波位移垂直于表面且表現(xiàn)為單極性,聲表面波波形為雙極性且位移幅值最大。隨著溫度的不斷提高,縱波、橫波、聲表面波聲速不斷減小,幅值也相應(yīng)的出現(xiàn)了衰減趨勢(shì)?？紤]到設(shè)置的其他條件都一致,所以不可能是傳播時(shí)擴(kuò)散、散射以及介質(zhì)所吸收引起的,可以推斷為高溫下導(dǎo)致聲速的降低。所以在不同溫度下進(jìn)行分析時(shí)需要采用不同速度進(jìn)行精準(zhǔn)計(jì)算,可以有效提高檢測(cè)的精度。

圖2 激光激發(fā)表面波的速度場(chǎng)

圖3 在不同溫度下激光產(chǎn)生表面波的模擬結(jié)果

將探測(cè)點(diǎn)放置在對(duì)心位置處,所得到的對(duì)心波形,如圖4所示。

圖4 在不同溫度下的對(duì)心波形圖

在圖4中所接收的對(duì)心波形主要包括縱波(L)、橫波(S),其中橫波的幅值明顯大于縱波,且幅值隨溫度衰減更大。通過圖3、圖4可以計(jì)算出了20～450 ℃縱波、橫波、聲表面波的傳播速度如表2所示。

表2 縱波、橫波、聲表面波聲速隨溫度的變化

3.1 聲速隨溫度變化的關(guān)系

通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)在從常溫上升到450 ℃時(shí),縱波、橫波、聲表面波聲速分別衰減幅度為5.74%、16.7%、16.2%。當(dāng)溫度上升越大,速度降低越明顯。超聲波的傳播速度與材料的彈性模量、泊松比、密度有關(guān)。根據(jù)固體力學(xué)理論可得：

(13)

(14)

(15)

式中,VL,VS,VR分別為縱波、橫波、聲表面波的速度；E,σ,ρ分別為彈性模量、泊松比、密度。雖然上述公式可以作為溫度升高聲速降低的理論依據(jù),但是理論公式無法給出溫度與速度的線性關(guān)系,下文通過數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行聲速隨溫度變化的定量分析。

3.1.1 縱波聲速隨溫度變化的關(guān)系

隨著溫度的升高,鋁材料參數(shù)的整體趨勢(shì)為彈性模量、密度下降,泊松比上升。材料參數(shù)彈性模量、泊松比、密度與溫度的變化均為線性關(guān)系。由熱膨脹引起的材料密度的變化對(duì)聲速變化影響較小,可忽略,主要取決于E、σ。根據(jù)整體數(shù)據(jù)點(diǎn)可知,溫度的逐漸升高,縱波聲速呈現(xiàn)線性的衰減。因?yàn)閷?duì)于縱波聲速VL而言,由公式(13)可知泊松比與彈性模量的影響都較大。因此,當(dāng)彈性模量、泊松比分別隨著溫度發(fā)生線性降低與增加時(shí),縱波聲速表現(xiàn)為線性降低。

為了更好地反映出縱波聲速與溫度的關(guān)系,可采用直線擬合來反映出縱波聲速隨溫度的變化情況,根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合,結(jié)果如圖5所示。

圖5 縱波聲速隨溫度的變化

因此,采用線性回歸方程來進(jìn)行擬合,就可以得到不同溫度下的縱波聲速變化規(guī)律。即有:

VL=-0.8374t+6335

(16)

式中，VL為縱波聲速/(m·s-1)；t表示為所加載的初始溫度/℃?？v波聲速隨溫度的變化率為0.8374 m·s-1· ℃-1。

3.1.2 橫波聲速隨溫度變化的關(guān)系

根據(jù)整體數(shù)據(jù)點(diǎn)可知,溫度的逐漸升高,橫波聲速呈現(xiàn)線性的衰減。對(duì)于橫波波速VS而言,由公式(14)可知σ的影響很小,橫波速度VS基本取決于材料的彈性模量,當(dāng)彈性模量隨溫度變化時(shí)逐漸降低時(shí),橫波聲速表現(xiàn)為線性降低。

根據(jù)橫波聲速隨溫度變化的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合,結(jié)果如圖6所示。

圖6 橫波聲速隨溫度的變化

可以得到關(guān)于橫波聲速隨溫度變化的表達(dá)式,即有:

Vs=-1.203t+3138

(17)

式中,VS為橫波聲速/(m·s-1)；t表示為所加載的初始溫度/℃。橫波聲速隨溫度的變化率為1.203 m·s-1· ℃-1。

3.1.3 聲表面波聲速隨溫度變化的關(guān)系

對(duì)于聲表面波聲速VR而言,隨著溫度的升高同樣呈線性降低,根據(jù)公式(15)可知σ的影響很小,因此聲表面波聲速與橫波聲速近似為線性關(guān)系,衰減的速率差不多。

根據(jù)聲表面波聲速隨溫度變化的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合,結(jié)果如圖7所示。

圖7 聲表面波聲速隨溫度的變化

根據(jù)擬合的結(jié)果可以得到關(guān)于聲表面波聲速隨溫度變化的表達(dá)式,即有:

VR=-1.096t+2934

(18)

式中,VR為聲表面波聲速/(m·s-1)；t表示為所加載的初始溫度/℃。聲表面波聲速隨溫度的變化率為1.096 m·s-1· ℃-1。

由公式(13)可知單獨(dú)考慮泊松比時(shí),隨著溫度升高,縱波聲速是逐漸增加的。所以,整體而言,聲表面波與橫波聲速隨溫度的變化率差不多,而縱波聲速隨溫度變化率是最緩慢的。

3.2 高溫下的泊松比和彈性模量的計(jì)算

考慮到超聲波聲速與彈性模量、泊松比之間的關(guān)系,為了驗(yàn)證數(shù)值模擬得到的超聲波聲速隨溫度變化的表達(dá)式的正確性。本文通過將初始溫度設(shè)置為500 ℃時(shí),根據(jù)公式(16)、(17)、(18)所得到聲速與溫度之間的關(guān)系,將初始溫度帶入計(jì)算可得VR、VS、VL的速度。根據(jù)速度VR、VS代入公式(15)求得泊松比σ。根據(jù)文獻(xiàn)[9]可查的材料鋁的密度與溫度之間的關(guān)系式:ρ=2769-0.22×T(kg·m-3),T是鋁中的溫度(K)。從而根據(jù)密度、泊松比、縱波或橫波的速度之間的關(guān)系式(13)、(14)即可求得彈性模量E。所得結(jié)果表3所示。

表3 泊松比和彈性模量的理論值與數(shù)值解

由表3可以看出,當(dāng)初始溫度設(shè)置為500 ℃時(shí),根據(jù)數(shù)值模擬所得到超聲波聲速與溫度的公式,反推得出的泊松比、彈性模量的數(shù)值解與文獻(xiàn)[10]所給出的理論值誤差很小,其泊松比、彈性模量的誤差分別為3.16%、4%。數(shù)值結(jié)果與理論值具有很好的一致性。

4 結(jié) 論

本文采用數(shù)值模擬的方法得到了在20～450 ℃下縱波、橫波、聲表面波速度隨溫度變化的計(jì)算公式,發(fā)現(xiàn)超聲波聲速隨溫度的升高為線性降低,聲速分別衰減幅度為5.74%、16.7%、16.2%。橫波速度下降速率最快,聲表面波速度次之,縱波降低最慢,隨溫度的變化率分別為0.8374 m·s-1· ℃-1、1.203 m·s-1· ℃-1、1.096 m·s-1· ℃-1。

根據(jù)所得到的不同溫度下聲速理論計(jì)算公式,計(jì)算出鋁在500 ℃時(shí)的泊松比與彈性模量,與理論值相比較計(jì)算精度分別達(dá)到了96.84%、96%,驗(yàn)證了計(jì)算模型的準(zhǔn)確性。通過得到不同溫度下聲速的變化情況,可以定性定量分析高溫下缺陷的尺寸與表征材料特性,也為高溫下估算泊松比和彈性模量提供了一種十分有效的思路。