廣義混合均衡解與弱不動點的混雜迭代算法*

王元恒, 譚錦華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設(shè)X是實Banach空間,X*是X的對偶空間,C是X的非空閉凸子集,映射T:C→X的不動點集記為F(T).令f是C×C→R的雙元泛函,R是實數(shù)集,h是R上的實值泛函,A:C→X*是非線性映射.廣義混合均衡問題就是:找u∈C,使得

f(u,y)+〈Au,y-u〉+h(y)-h(u)≥0, ?y∈C.

(1)

問題(1)的解集記為Ω=Ω(f,h,A).

如果式(1)中的A=0,h=0,那么此問題就等價于:找u∈C,使得

f(u,y)≥0, ?y∈C.

(2)

問題(2)就是經(jīng)典的均衡問題,其解集記為EP(f).

如果在問題(1)中令f=0,h=0,那么它等價于:找u∈C,使得

〈Au,y-u〉≥0, ?y∈C.

(3)

問題(3)就是著名的經(jīng)典變分不等式問題,其解集記為VIP(A).因此,廣義混合均衡問題是一類很廣泛的問題,包括了均衡問題和變分不等式等經(jīng)典問題,許多學(xué)者進行了這方面的研究[1-12].文獻[1]證明了臨近點迭代逼近極大單調(diào)算子預(yù)解式不動點和變分不等式問題解的強收斂定理;文獻[11]在一致凸一致光滑Banach空間中進一步研究了非擴張算子不動點和均衡問題解的公共元素逼近問題,建立了如下的迭代算法:

式(4)中,Π:X→C是廣義投影;S是非擴張映像;φ是Lyapunov函數(shù).則當(dāng)?shù)禂?shù){αn}?[0,1],{rn}(n=0,1,…)滿足一定條件時,由式(4)定義的混雜序列{xn}強收斂于ΠEP(f)∩F(S)x0.文獻[12]又把均衡問題推廣到廣義均衡問題,并建立了相應(yīng)迭代算法的強收斂定理.

受以上文獻的啟發(fā),本文在更廣泛的一致光滑的、嚴格凸的、具有Kadec-Klee性質(zhì)的Banach空間中,研究更廣義的混合均衡問題解與弱相對非擴張映射不動點集的公共元,放寬了Banach空間幾何結(jié)構(gòu)的限制,將非擴張映像推廣到弱相對非擴張映像;并給出了一種新的變分混雜迭代算法,改進了原來廣義均衡問題解與不動點的逼近格式,在較弱的條件下證明了這種新的混雜迭代序列的強收斂性.

1 預(yù)備知識

設(shè)映射J:X→2X*是由下列定義的正規(guī)對偶映像:

J(x)={f∈X*:〈x,f〉=‖x‖2=‖f‖2},x∈X.

其中,〈,〉表示對偶配對.如果X是一致光滑的,那么J:X→X*是單值映射,并且,J-1:X*→X也是一個對偶映射.J和J-1分別在X和X*的每個有界子集上是一致連續(xù)的.

定義1設(shè)X是自反光滑的Banach空間,C是X的非空閉凸子集,定義函數(shù)φ:X×X→R為

φ(y,x)=‖y‖2-2〈y,Jx〉+‖x‖2, ?x,y∈X,

稱φ為Lyapunov函數(shù).

對于函數(shù)φ,顯然有以下結(jié)果:對?x,y,z∈X,

1)(‖x‖-‖y‖)2≤φ(y,x)≤(‖y‖2+‖x‖2);

2)φ(z,un)≤φ(z,xn)??‖un‖2-‖xn‖2≤2〈z,Jun-Jxn〉.

為了證明本文的主要結(jié)果,還需要下列重要引理.

引理1[1]令X是一致凸和光滑的Banach空間,且令序列{yn},{zn}是X中的2個序列,如果φ(yn,zn)→0且{yn}或{zn}是有界的,那么yn-zn→0.

引理2如果X是嚴格凸自反光滑的Banach空間,那么對?x,y∈X,φ(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y.

證明 充分性顯然成立，故只證明必要性.如果φ(x,y)=0,那么

0≤‖x‖2+‖y‖2=2〈y,Jx〉≤2‖y‖‖Jx‖=2‖y‖‖x‖,

從而,0≤(‖x‖-‖y‖)2=‖x‖2+‖y‖2-2‖y‖‖x‖≤0,故‖x‖=‖y‖.這意味著〈y,Jx〉=‖y‖2=‖Jx‖2.由J的定義知Jx=Jy.因為J是一一映射,所以x=y.引理2證畢.

引理3[13-14]令C是光滑的Banach空間X的閉凸子集且x∈X,那么x0=ΠCx當(dāng)且僅當(dāng)

〈x0-y,Jx-Jx0〉≥0, ?y∈C.

引理4[15]令X是自反嚴格凸光滑的Banach空間,C是X的閉凸子集,且x∈X,那么對?y∈C,有φ(y,ΠCx)+φ(ΠCx,x)≤φ(y,x).

引理5[16-17]設(shè)T是C到C的弱相對非擴張映射,那么F(T)是閉凸的.

引理6[18]令r>0,Br={z∈X:‖z‖≤r},那么?t∈[0,1],存在一個嚴格增連續(xù)凸函數(shù)g:[0,2r]→R,使得g(0)=0且

‖tx+(1-t)y‖2≤t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)g(‖x-y‖), ?x,y∈Br.

為解決廣泛混合均衡問題,總假設(shè)函數(shù)f:C×C→R滿足下列條件[2-3]:

(A1)對所有的x∈C,f(x,x)=0;

(A2)f是單調(diào)的,即對?x,y∈C,f(x,y)+f(y,x)≤0;

(A4)對每個x∈C,y→f(x,y)凸下半連續(xù)的.

引理7[2-3]如果函數(shù)f滿足條件(A1)～(A4),且r>0,x∈X,那么

1)存在z∈C,使得對?y∈C,f(z,y)+r-1〈y-z,Jz-Jx〉≥0.

2)定義一個映射Tr:Trx={z∈C:f(z,y)+〈y-z,Jz-Jx〉/r≥0},則下列結(jié)論成立:

①Tr是定非擴張的,即〈Trx-Try,JTrx-JTry〉≤〈Trx-Try,Jx-Jy〉,?x,y∈X;

②Tr是單值的;

③F(Tr)=EP(f)是閉凸的;

④φ(q,Trx)+φ(Trx,x)≤φ(q,x),?q∈F(Tr).

引理8[2]令X是一致光滑的、嚴格凸的、自反的Banach空間,C是X的非空閉凸子集,令h是C到R的凸下半連續(xù)的函數(shù),假設(shè)A是C到X*的連續(xù)單調(diào)算子,令函數(shù)f滿足(A1)～(A4),r>0,那么

1)對?x∈X,存在u∈C,使得f(u,y)+〈Au,y-u〉+h(y)-h(u)+r-1〈y-u,Ju-Jx〉≥0,?y∈C.

2)定義一個映射Kr:C→C如下:?x∈C,

Krx={u∈C:f(u,y)+〈Au,y-u〉+h(y)-h(u)+r-1〈y-u,Ju-Jx〉≥0}, ?y∈C.

則

①Kr是單值的;

②Kr是定非擴張的,即對?z,y∈C,有〈Krz-Kry,JKrz-JKry〉≤〈Krz-Kry,Jz-Jy〉;

③F(Kr)=Ω是C的閉凸子集;

④φ(p,Krz)+φ(Krz,z)≤φ(p,z),?p∈F(Kr),z∈X.

注1由引理7、引理8和Tr,Kr的定義知,Tr,Kr是弱相對非擴張映射,且Kr的不動點集F(Kr)就是廣義混合均衡問題(1)的解集Ω=Ω(f,h,A).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)X是一致光滑的、嚴格凸的、具有Kadec-Klee性質(zhì)的Banach空間,C是X的非空閉凸子集.假定h:C→R是凸下半連續(xù)的映射,f:C×C→R是滿足條件(A1)～(A4)的函數(shù),A:C→X*是連續(xù)單調(diào)映像,Kr同引理8,F(Kr)=Ω,T:C→C是弱相對非擴張映射且Ω∩F(T)≠?.令{xn}是下列迭代方法生成的序列:

證明 分6步來證明.第1步,證明對?n≥0,Cn是X閉凸子集.

很顯然，C0=C是X的閉凸子集.由定義1的2)知

φ(z,un)≤φ(z,xn)??‖un‖2-‖xn‖2≤2〈z,Jun-Jxn〉.

假設(shè)Cn是閉凸的,w1,w2∈Cn+1,w=tw1+(1-t)w2,t∈[0,1],有

‖un‖2-‖xn‖2≤2〈w1,Jun-Jxn〉, ‖un‖2-‖xn‖2≤2〈w2,Jun-Jxn〉,

所以用t,1-t分別乘以上述兩式并相加得 ‖un‖2-‖xn‖2≤2〈w,Jun-Jxn〉,即w∈Cn+1,也即Cn+1在X中是閉凸的.所以由數(shù)學(xué)歸納法知,?n≥0,Cn在X中是閉凸的.

φ(xn,x0)=φ(ΠCnx0,x0)≤φ(u,x0)-φ(u,ΠCnx0)≤φ(u,x0),

第3步,證明對?n≥0,Ω∩F(T)?Cn.

顯然,Ω∩F(T)?C0=C.假設(shè)Ω∩F(T)?Cn,un=Krnyn,由引理7和引理8知Krn是相對非擴張的,那么對?n≥0,u∈Ω∩F(T)?Cn,可以得到

φ(u,un)=φ(u,Krnyn)≤φ(u,yn)=φ(u,J-1(αnJxn+(1-αn)JTxn))=

‖p‖2-2αn〈u,Jxn〉-2(1-αn)〈u,JTxn〉+αn‖xn‖2+

(1-αn)‖Txn‖2-αn(1-αn)g(‖Jxn-JTxn‖)≤

‖u‖2-2αn〈u,Jxn〉-2(1-αn)〈u,JTxn〉+αn‖xn‖2+(1-αn)‖Txn‖2=

αnφ(u,xn)+(1-αn)φ(u,Txn)≤φ(u,xn).

(6)

所以u∈Cn+1,從而由數(shù)學(xué)歸納法得到:對?n>0,Ω∩F(T)?Cn.

第4步,證明{xn}強收斂于一點q∈Cn.

因為{xn}有界的,且X是自反的Banach空間(一致光滑空間必是自反空間),所以{xn}存在一個子序列{xni},使得xni?q.因為Cn是閉凸的,Cn+1?Cn,所以Cn是弱閉的,且對?n>0,q∈Cn,對?ni>0,xni=ΠCnix0,φ(xni,x0)≤φ(q,x0).

又因為‖·‖弱下半連續(xù)的,所以

因為

所以

?q.

假設(shè){xn}存在另一個子序列{xnj},使得xnj→q*.因為

第5步,證明q∈F(T)∩Ω.首先證明q∈F(T).

因為xn+1=ΠCn+1x0∈Cn+1?Cn,所以當(dāng)n→∞時,0≤φ(xn+1,un)≤φ(xn+1,xn)→0,φ(xn+1,un)→0.從而由引理1知,當(dāng)n→∞時,xn-un→0,un→q,Jxn-Jun→0.結(jié)合式(6),對?w∈Ω∩F(T),由引理6知,存在嚴格增加的連續(xù)函數(shù)g:g(0)=0,使得

φ(w,un)≤‖w‖2-2αn〈w,Jxn〉-2(1-αn)〈w,JTxn〉+αn‖xn‖2+

(1-αn)‖Txn‖2-αn(1-αn)g(‖Jxn-JTxn‖)=

αnφ(w,xn)+(1-αn)φ(w,Txn)-αn(1-αn)g(‖Jxn-JTxn‖)=

φ(w,xn)+(1-αn)(φ(w,Txn)-φ(w,xn))-αn(1-αn)g(‖Jxn-JTxn‖)≤

φ(w,xn)-αn(1-αn)g(‖Jxn-JTxn‖).

進而

αn(1-αn)g(‖Jxn-JTxn‖)≤φ(w,xn)-φ(w,un)=2〈w,Jun-Jxn〉+‖xn‖2-‖un‖2≤

2‖w‖·‖Jun-Jxn‖+‖xn-un‖(‖xn‖+‖un‖)→0.

‖Jxn-JTxn‖→0,xn→q, ‖Jxn‖→‖JTxn‖,JTxn→Jq.

又因為X是嚴格凸且自反的Banach空間,J-1是范數(shù)收斂的,所以Txn→q.再因為X具有Kadec-Klee性質(zhì),所以

φ(q,x0)=limn→∞φ(xn,x0)≤φ(p,x0).

由ΠF(T)∩Ωx0的定義和引理2,可以推出p=q.因此,xn→q=p=ΠΩ∩F(T)x0.

定理1證畢.

3 結(jié) 語

定理1可以分別把一致凸的、一致光滑的Banach空間減弱為嚴格凸的、一致光滑的、具有Kadec-Klee性質(zhì)的Banach空間(或者Hilbert空間),把非擴張映像T:C→C減弱為弱相對非擴張映射,把廣義混合均衡問題(1)減弱為均衡問題式(2),其余條件不變,則可以得到6種不同的結(jié)果,它們分別推廣或部分推廣了文獻[1-3,5-6,8-12]等的相關(guān)結(jié)果.