《整式的除法》教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

陳佳

【摘要】教師在教學(xué)《整式的除法》時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘、除法互為逆運(yùn)算及整式的乘法，完成一系列由淺入深的練習(xí)，從而學(xué)習(xí)整式的除法相關(guān)知識(shí)，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)歸納思想。

【關(guān)鍵詞】《整式的除法》 乘除逆運(yùn)算 轉(zhuǎn)化 歸納

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）06A-0099-03

一、教材分析

整式的除法是整式四則運(yùn)算的重要組成部分，是今后學(xué)習(xí)因式分解、整數(shù)指數(shù)冪、分式運(yùn)算等內(nèi)容的基礎(chǔ)。課本在學(xué)生學(xué)習(xí)整式的乘法后，從逆運(yùn)算角度介紹整式的除法的相關(guān)內(nèi)容，主要包括同底數(shù)冪的除法、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式。同底數(shù)冪相除的性質(zhì)也是冪的運(yùn)算性質(zhì)之一，它是整式除法的基礎(chǔ)。

對(duì)于同底數(shù)冪除法，本課只討論所得商仍是整式的情形，對(duì)于所得商是分式的情形將在后續(xù)引入負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念后再討論。課本根據(jù)乘、除互為逆運(yùn)算的關(guān)系，并以分配律、同底數(shù)冪的除法為依據(jù)，由具體實(shí)例得到單項(xiàng)式相除法則；多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的第一步是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，第二步是轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的除法與同底數(shù)冪的除法，這里滲透“轉(zhuǎn)化”的思想方法。

二、學(xué)情分析

在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的乘法以及整式的乘法運(yùn)算，根據(jù)乘、除法是互逆的運(yùn)算得出同底數(shù)冪相除性質(zhì)、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是整式除法中最后一項(xiàng)內(nèi)容，根據(jù)乘、除互為逆運(yùn)算的關(guān)系，并以分配律、同底數(shù)冪的除法為依據(jù)，由具體實(shí)例得到多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則。在計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，用單項(xiàng)式去除多項(xiàng)式的各項(xiàng)，從而轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，再歸納出多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的文字?jǐn)⑹龇▌t，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

三、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)

（一）目標(biāo)

1.理解同底數(shù)冪的除法，會(huì)用這一性質(zhì)進(jìn)行同底數(shù)冪相除；

2.能運(yùn)用整式除法的法則進(jìn)行計(jì)算，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。

（二）目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)一的標(biāo)志是：學(xué)生能根據(jù)乘、除法是互逆運(yùn)算，得出同底數(shù)冪相除的性質(zhì)；會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言表述這一性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行同底數(shù)冪的除法運(yùn)算。

達(dá)成目標(biāo)二的標(biāo)志是：學(xué)生能根據(jù)乘、除法為互逆運(yùn)算，得出單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則，并運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算；在計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，會(huì)用單項(xiàng)式去除多項(xiàng)式的各項(xiàng)，從而轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，再用文字歸納出多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。

（三）重難點(diǎn)

重點(diǎn)：?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則及其應(yīng)用。

難點(diǎn)：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則及其應(yīng)用。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.復(fù)習(xí)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

am·an=am+n（m，n都是正整數(shù)）

（am）n=amn（m，n都是正整數(shù)）

（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）

2.探索并歸納同底數(shù)冪的除法性質(zhì)

問(wèn)題1 填空

（1）（ ）×23=25 25÷23=（ ）

（2）（ ）×103=107 107÷103=（ ）

（3）（ ）·a3=a7 a7÷a3=（ ）

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則運(yùn)算解答，再根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，得出同底數(shù)冪相除的結(jié)果。教師告訴學(xué)生也可以根據(jù)分式約分去理解同底數(shù)冪相除，即：[2523]=[2×2×2×2×22×2×2=2×21=22=4].

追問(wèn)1 am÷an=（ ）

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感受乘、除法是互逆運(yùn)算，在觀察、比較、抽象、概括中總結(jié)出同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的本質(zhì)特征，并猜想其性質(zhì)，即：am÷an=am-n。

追問(wèn)2 你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并用文字語(yǔ)言概括同底數(shù)冪的除法性質(zhì)嗎？

師生活動(dòng)：類(lèi)比之前推導(dǎo)同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)“am·an=am+n（m，n都是正整數(shù)）”的方法，學(xué)生推導(dǎo)并歸納總結(jié)出同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整數(shù)且m>n）。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的思想，根據(jù)類(lèi)比思想及方法，用文字語(yǔ)言概括歸納出同底數(shù)冪除法的性質(zhì)。

追問(wèn)3 am÷am=（ ）

師生活動(dòng)：學(xué)生討論解答并說(shuō)明a為什么不能等于0；教師肯定答案am÷am=1，當(dāng)法則中m=n時(shí)公式同樣適用，即a0=1（a≠0），任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，教師著重說(shuō)明當(dāng)a=0時(shí)，式子無(wú)意義，并舉例：50=1，（π-3）0=1，（π-3.14）0=1……

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)由一般到特殊的思想，強(qiáng)化同底數(shù)冪除法的性質(zhì)。

練習(xí)1 下面的計(jì)算對(duì)不對(duì)？若不對(duì)，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？

（1）x6÷x2=x3（x≠0）

（2）a3÷a=a3（a≠0）

（3）y5÷y2=y3（y≠0）

（4）（-c）4÷（-c）2=-c3（c≠0）

師生活動(dòng)：學(xué)生回答并相互補(bǔ)充。教師要著重提醒學(xué)生分析題目的條件，能否運(yùn)用同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算性質(zhì)以及如何正確應(yīng)用。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)辨析，加深對(duì)性質(zhì)的理解和應(yīng)用。

練習(xí)2 計(jì)算

（1）x8÷x2= （x≠0）

（2）（-a）10÷（-a）7= （a≠0）

（3）（ab）5÷（ab）2= （a≠0、b≠0）

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解答，學(xué)生代表板書(shū)，學(xué)生相互評(píng)價(jià)。

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)。

3.理解、鞏固整式除法運(yùn)算法則

問(wèn)題2 填空： ·6x3y=24x4y2

師生活動(dòng)：師生共同分析，根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算可得：

24x4y2÷6x3y=24x4y2÷（6x3y）=4xy

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感受乘、除計(jì)算是互逆運(yùn)算，這一關(guān)系也是檢驗(yàn)的依據(jù)。

追問(wèn)1 你能用文字語(yǔ)言歸納出單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生先嘗試通過(guò)被除式與除式之間系數(shù)、相同字母的關(guān)系，總結(jié)歸納出單項(xiàng)式相除法則，教師最后給出單項(xiàng)式相除的運(yùn)算法則。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)用文字語(yǔ)言歸納概括性質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的深層次理解。

例1 計(jì)算：100ab3÷（-5ab）=

師生活動(dòng)：教師板書(shū)講解，鞏固單項(xiàng)式除法法則，強(qiáng)調(diào)本課只研究整除的情況，在除式中所出現(xiàn)的一切字母，在被除式中不僅也要出現(xiàn)，而且其指數(shù)都分別要不小于除式中同一字母的指數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固單項(xiàng)式除法法則，通過(guò)規(guī)范板書(shū)加深學(xué)生對(duì)法則的理解。

練3 計(jì)算

（1）-5a5b3c÷15a4b=

（2）（6ab+5a）÷a=

（3）（12a3-6a2+3a）÷3a=

（4）（12a3c-6a2+3a）÷（-3a）=

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解答，派代表板書(shū)，師生共評(píng)。利用乘、除運(yùn)算的互逆關(guān)系得出多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。教師著重提醒學(xué)生在進(jìn)行多項(xiàng)式相除時(shí)，為避免發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤，不妨把多項(xiàng)式看成“代數(shù)和”的形式。

【設(shè)計(jì)意圖】此練習(xí)涉及到多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，難度稍大。先由學(xué)生自行嘗試解決，通過(guò)練習(xí)，鞏固單項(xiàng)式相除的方法，也暴露學(xué)生的知識(shí)弱點(diǎn)，有利于教學(xué)生成，實(shí)現(xiàn)教師再指導(dǎo)。最后根據(jù)乘、除互為逆運(yùn)算，以分配律、同底數(shù)冪的除法為依據(jù)，由具體實(shí)例得到多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則——轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除法，從而突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

4.歸納小結(jié)

（1）教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的運(yùn)算法則：

①一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

例：-5a5b3c÷15a4b=-[13]ab2c

②一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

例：（6ab+5a）÷a=6b+5

（2）整式除法法則是如何得到的？在應(yīng)用時(shí)需要注意什么？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過(guò)程兩個(gè)方面總結(jié)自己的收獲，把握本節(jié)課的核心內(nèi)容——整式的除法法則，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)式通性和從具體到抽象、逆向思考的方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用。

5.布置作業(yè)

必做題：教材104頁(yè)練習(xí)第1、2、3題

選做題：教材習(xí)題14.1第6題

五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1.計(jì)算：

（1）（2a）3·b4÷12a3b2

（2）[-23a7b5]÷[32a2b5]

（3）[65a3x4-0.9ax3]÷[35ax3]

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)整式除法法則的理解和應(yīng)用，其中第（2）小問(wèn)涉及到符號(hào)問(wèn)題，第（3）小問(wèn)是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式。

2.（選做題）你能求出題目中被遮擋的部分嗎？

[5xy =15x2y-10xy2]

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)整式的除法法則的逆向應(yīng)用。

六、課后思考

在整式除法的教學(xué)中，教師要注意滲透“轉(zhuǎn)化”的思想方法，多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的第一步是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，第二步是轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的除法與同底數(shù)冪的除法，教學(xué)時(shí)要注意循序漸進(jìn)，在涉及符號(hào)計(jì)算時(shí)要特別強(qiáng)調(diào)。教學(xué)中不僅利用乘、除法互逆運(yùn)算關(guān)系得出整式除法運(yùn)算法則，還可以強(qiáng)調(diào)今后計(jì)算解題時(shí)運(yùn)用逆向思維檢驗(yàn)答案。

同底數(shù)冪除法運(yùn)算性質(zhì)，是從某些具體的數(shù)與式的計(jì)算，歸納得到一般的式的運(yùn)算性質(zhì)，是一個(gè)由特殊到一般、從具體到抽象的歸納過(guò)程。教師在性質(zhì)和公式的教學(xué)中，要重視上述歸納過(guò)程的教學(xué)。

在整式的除法中，單項(xiàng)式相除是關(guān)鍵。這是因?yàn)槎囗?xiàng)式除以單項(xiàng)式都要轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除單項(xiàng)式。實(shí)際上，單項(xiàng)式的除法進(jìn)行的是冪的運(yùn)算和有理數(shù)的運(yùn)算，因此，冪的運(yùn)算是學(xué)好整式除法的基石。整式除法課時(shí)可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況而定，若劃分為兩個(gè)課時(shí)，可以將單項(xiàng)式除多項(xiàng)式作為單獨(dú)一個(gè)課時(shí)，擴(kuò)大課堂練習(xí)容量。

（責(zé)編 劉小瑗）