數(shù)字天頂儀中恒星像點(diǎn)軌跡的快速定位方法

劉先一， 張志利， 周召發(fā)， 張西輝， 楊上

(火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院， 陜西 西安 710025)

0 引言

隨著電荷耦合器件(CCD)的發(fā)展，數(shù)字天頂儀成為一種高精度天文定位儀器[1-2]。國外對于數(shù)字天頂儀的研究較為成熟[3-4]，而國內(nèi)對數(shù)字天頂儀的研究還處于樣機(jī)階段[5]。數(shù)字天頂儀通過旋轉(zhuǎn)到不同方位上進(jìn)行星圖拍攝[6-7]，將拍攝的恒星星圖與星表結(jié)合進(jìn)行星圖識別，建立識別恒星的圖像坐標(biāo)系和天球切平面坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，迭代數(shù)次后實(shí)現(xiàn)對測站點(diǎn)天文坐標(biāo)的解算[8-9]。

目前星圖識別的方法主要有三角形星圖識別及柵格識別等方法，其中三角形星圖識別方法由于可靠性高，得到了廣泛的應(yīng)用。在運(yùn)用數(shù)字天頂儀進(jìn)行定位時，通過三角形星圖識別方法對每一幅恒星星圖單獨(dú)進(jìn)行識別[10]，但是計算量較大且效率不高。國內(nèi)對國外的星圖識別方法進(jìn)行了借鑒，考慮到在旋轉(zhuǎn)拍攝恒星的過程中，拍攝的恒星星圖中會存在相同的恒星，同一顆恒星可能在多幅恒星星圖中出現(xiàn)。目前，對于恒星像點(diǎn)軌跡的研究較少，對星圖識別的提高大多是通過改進(jìn)識別算法完成的[11-12]。本文在考慮地球自轉(zhuǎn)和儀器旋轉(zhuǎn)的條件下，推導(dǎo)了恒星像點(diǎn)的軌跡，并對恒星像點(diǎn)軌跡進(jìn)行了修正。從恒星像點(diǎn)軌跡的角度研究了星圖中相同恒星的區(qū)域，基于恒星的像點(diǎn)軌跡提出了一種快速星圖識別方法。

1 恒星像點(diǎn)軌跡模型

數(shù)字天頂儀由光學(xué)望遠(yuǎn)鏡、CCD圖像傳感器、全球定位系統(tǒng)(GPS)接收機(jī)、調(diào)平系統(tǒng)、控制系統(tǒng)和數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)等構(gòu)成，如圖1所示，數(shù)字天頂儀在定位過程中通過CCD圖像傳感器進(jìn)行星圖的拍攝。

恒星星光通過數(shù)字天頂儀焦點(diǎn)成像于CCD圖像傳感器像平面上，恒星的像點(diǎn)坐標(biāo)由像素表示。在拍攝過程中數(shù)字天頂儀隨著地球的自轉(zhuǎn)一起運(yùn)動。理想狀態(tài)下CCD圖像傳感器的一邊與北向平行。實(shí)際情況中，CCD圖像傳感器的擺放位置與北向之間存在著夾角A. 在CCD圖像傳感器上建立圖像坐標(biāo)系，以圖像傳感器的起點(diǎn)為原點(diǎn)，兩側(cè)邊緣方向?yàn)閤軸和y軸。假設(shè)此時恒星在CCD圖像傳感器像平面上的坐標(biāo)值為(x0,y0)，將其轉(zhuǎn)化到理想狀態(tài)，如圖2所示。

進(jìn)行圖像坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，可得

(1)

下面求解恒星像點(diǎn)的軌跡，數(shù)字天頂儀的焦距為f，恒星像點(diǎn)在理想狀態(tài)下的圖像坐標(biāo)可表示為(xp0,yp0)。隨著地球旋轉(zhuǎn)θ角后，恒星像點(diǎn)轉(zhuǎn)化到理想狀態(tài)下的圖像坐標(biāo)變?yōu)?x′p0,y′p0)，則有

(2)

由于恒星星光可以等效為無窮遠(yuǎn)處的平行光，在CCD圖像傳感器隨著地球旋轉(zhuǎn)的過程中，可認(rèn)為恒星星光始終通過數(shù)字天頂儀的焦點(diǎn)，則應(yīng)滿足：

(3)

可得

(4)

由于拍攝時間間隔較短，地球旋轉(zhuǎn)角θ很小，sinθ≈θ，cosθ≈1. 對(4)式進(jìn)行簡化后可得

(5)

聯(lián)立(1)式和(4)式可得

(6)

數(shù)字天頂儀拍攝天頂恒星時，采用的是旋轉(zhuǎn)拍攝的方法，拍完一幅星圖后旋轉(zhuǎn)角度β進(jìn)行下一幅星圖的拍攝。旋轉(zhuǎn)后恒星像點(diǎn)的圖像坐標(biāo)為(x′,y′)，則有

(7)

聯(lián)立(6)式和(7)式，化簡后可得

(8)

通過推導(dǎo)可知理想狀態(tài)下恒星像點(diǎn)的軌跡滿足(8)式，顯然恒星的像點(diǎn)軌跡與初始方位角A、旋轉(zhuǎn)角度β及數(shù)字天頂儀隨地球旋轉(zhuǎn)角度θ有關(guān)。

2 恒星像點(diǎn)軌跡的修正

天頂上的恒星經(jīng)過數(shù)字天頂儀焦點(diǎn)成像于CCD像平面上，恒星像點(diǎn)的軌跡受到光軸主點(diǎn)偏移、焦距變化以及CCD像平面傾斜等因素的影響，因此需要對恒星像點(diǎn)的軌跡進(jìn)行修正。

2.1 光軸主點(diǎn)偏移與焦距引起的軌跡修正量

在運(yùn)用數(shù)字天頂儀進(jìn)行定位時，數(shù)字天頂儀的光軸會發(fā)生一定的偏移，因此會帶來恒星像點(diǎn)的CCD圖像坐標(biāo)值發(fā)生變化，則有

(9)

另外，數(shù)字天頂儀的焦距存在一定的偏差量，由f變?yōu)閒+Δf. 綜合考慮光軸主點(diǎn)偏移及焦距所引起的恒星像點(diǎn)軌跡變化，則有

(10)

式中：φ為數(shù)字天頂儀的旋轉(zhuǎn)角度。

數(shù)字天頂儀每拍完一幅星圖后會旋轉(zhuǎn)一定角度進(jìn)行下一幅星圖的拍攝，因此，由光軸主點(diǎn)偏移及焦距變化引起的恒星像點(diǎn)軌跡的修正量為

(11)

2.2 CCD像平面與光軸傾斜引起的軌跡修正量

運(yùn)用數(shù)字天頂儀進(jìn)行定位時，要對其進(jìn)行精調(diào)平，但是CCD圖像傳感器在安裝過程中存在著安裝誤差等因素。另外，數(shù)字天頂儀的光軸也有一定傾斜。為了更好地研究傾斜對于恒星像點(diǎn)軌跡的影響，將CCD像平面的傾斜和光軸的傾斜統(tǒng)一表示進(jìn)行研究，如圖3所示，光軸指向?yàn)閦軸，在CCD圖像傳感器平面上建立x軸。

在Oxz平面內(nèi)光軸與CCD像平面的傾斜值為α1，恒星星光與數(shù)字天頂儀光軸之間的夾角為ψ1，則恒星像點(diǎn)坐標(biāo)在x軸方向上的偏差值Δx2為

(12)

ψ1和α1都屬于小角度，化簡后可得

Δx2=fα1.

(13)

同理，可得恒星像點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上的偏差值Δy2為

Δy2=fα2，

(14)

式中：α2為在Oyz平面內(nèi)光軸與CCD像平面的傾斜值。

綜上所述可知，由于光軸偏移、焦距變化及傾斜引起的恒星像點(diǎn)軌跡的偏差值為Δx′0=Δx1+Δx2、Δy′0=Δy1+Δy2，則對恒星像點(diǎn)的軌跡進(jìn)行修正后可以得出實(shí)際的像點(diǎn)軌跡為

(15)

3 快速星圖識別方法

當(dāng)儀器旋轉(zhuǎn)一定角度后，為了使星表中的同一顆恒星能夠在下一幅恒星星圖中出現(xiàn)，必須保證兩輻星圖間CCD圖像傳感器重合的面積。則有

(16)

式中：h表示CCD圖像傳感器的單邊長度。對(16)式化簡后，可得

(17)

當(dāng)拍攝的恒星像點(diǎn)CCD圖像坐標(biāo)滿足(17)式時，在旋轉(zhuǎn)后拍攝的星圖中這些恒星將再次出現(xiàn)。如果能夠保證拍攝的恒星星圖中有相同恒星的數(shù)量，則對于提高星圖識別的速度和效率將具有較大的意義。數(shù)字天頂儀的工作流程為：先順時針旋轉(zhuǎn)拍攝8幅星圖，然后逆時針旋轉(zhuǎn)拍攝8幅星圖，即在一個定位循環(huán)中，數(shù)字天頂儀拍攝的星圖數(shù)量為16幅，如圖4所示，這里旋轉(zhuǎn)角度為π/4 rad.

在進(jìn)行定位解算時，單幅星圖識別的恒星數(shù)量一般約為25顆。當(dāng)識別的恒星數(shù)量達(dá)到10顆左右時，數(shù)字天頂儀的定位精度就基本保持穩(wěn)定[7]，即恒星星圖中含有冗余的恒星星點(diǎn)?？紤]到在旋轉(zhuǎn)前后拍攝的恒星星圖中含有較多相同的恒星，如果在星圖識別的過程中只運(yùn)用星表對其中的一幅星圖進(jìn)行識別，其余的星圖以識別出的星點(diǎn)作為簡化星表再進(jìn)行識別，則將使星圖識別更具有針對性，并減少了參與星圖識別的恒星數(shù)量，從而提高星圖識別的效率和速度。為了使相同恒星區(qū)域內(nèi)的恒星數(shù)量滿足定位要求，相同恒星的區(qū)域面積至少應(yīng)達(dá)到CCD像平面面積的40%以上，這樣才能夠保證相同區(qū)域的恒星數(shù)量達(dá)到10顆左右。在運(yùn)用數(shù)字天頂儀拍攝星圖的過程中，一個定位循環(huán)要拍攝的星圖為16幅，其中拍攝的第8幅星圖和第9幅星圖實(shí)際上是在一個位置上的，且在拍攝的過程中第8幅星圖和第9幅星圖之間的時間間隔實(shí)際上是相對較短的[13]。

為了實(shí)現(xiàn)只對其中一幅星圖進(jìn)行識別的目標(biāo)，選取拍攝中間的第9幅(或第8幅)星圖與星表結(jié)合進(jìn)行識別，其余星圖運(yùn)用第9幅星圖識別出來的恒星作為簡化星表再進(jìn)行星圖識別。由(17)式可知，相同恒星的區(qū)域是與地球轉(zhuǎn)動角度相關(guān)聯(lián)的，即與拍攝的時間間隔有關(guān)。為保證其余星圖與第9幅星圖中含有相同恒星的數(shù)量，必須有效控制兩幅恒星星圖之間的拍攝時間間隔。為了簡化運(yùn)算，假設(shè)數(shù)字天頂儀在位置8拍攝恒星星圖后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)π/4 rad拍攝，此時，必須保證拍攝的星圖與第1幅星圖之間的重合面積，則有

(h-|fθcosA|)(h-|fθsinA|)>kh2，

(18)

式中：k為兩幅星圖重合的面積系數(shù)。

對(18)式進(jìn)行一定的縮放處理，將|fθcosA|和|fθsinA|均取值為fθ，簡化后可得

(h-fθ)2>kh2，

(19)

可得總的時間間隔值t滿足：

(20)

式中：k取值為0.4，可以解得時間間隔值t為310.5 s，則兩幅恒星星圖之間的拍攝時間間隔Δt<45 s. 另外，考慮到在旋轉(zhuǎn)過程中電機(jī)的轉(zhuǎn)動以及雙軸傾角儀的傾角讀取等因素的時間限制，又不能使旋轉(zhuǎn)拍攝的時間間隔太短[14-16]。根據(jù)儀器參數(shù)可知至少要保證時間間隔Δt>30 s. 因此，為了對星圖識別進(jìn)行簡化，從而提高星圖識別的速度，必須保證兩幅星圖之間的拍攝時間間隔滿足30 s<Δt<45 s.

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

試驗(yàn)過程中采用的數(shù)字天頂儀視場角大小為3°×3°，焦距值為(600±4) mm. CCD采用KAF-16803全畫幅圖像傳感器，分辨率為4 096×4 096，像素大小9 μm，有效面積36.8 mm×36.8 mm. 試驗(yàn)過程中，恒星星圖的拍攝時間間隔約為40 s，從而在進(jìn)行定位時可以只通過恒星星表對第9幅星圖進(jìn)行識別，之后運(yùn)用第9幅星圖識別出來的恒星對其余拍攝的星圖再進(jìn)行識別，這樣不僅對星表進(jìn)行了簡化，減少了參與星圖識別的數(shù)量，而且使星圖識別更具有針對性，提高了星圖識別的速度。拍攝的其中一幅星圖如圖5所示。

由于篇幅所限，在這里只給出對其中任意相鄰兩幅星圖進(jìn)行識別得到的星點(diǎn)數(shù)據(jù)。表1所示為將旋轉(zhuǎn)前拍攝的星圖和旋轉(zhuǎn)π/4 rad后拍攝的星圖與依巴谷星表結(jié)合識別出的星點(diǎn)數(shù)據(jù)。

表1 識別的星點(diǎn)數(shù)據(jù)

表1的恒星序號是指識別出的恒星在依巴谷星表中的序號。由于恒星在星表中的序號是固定不變的，從表1中可知在兩幅恒星星圖中存在著許多相同的恒星。結(jié)合(17)式，并將表1中識別的恒星數(shù)據(jù)直觀地顯示出來，可以得出圖6所示的示意圖。表明當(dāng)恒星像點(diǎn)的CCD圖像坐標(biāo)處于圖6中所示的陰影部分時，在旋轉(zhuǎn)后拍攝的星圖中這些恒星將再次出現(xiàn)。圖6中的數(shù)據(jù)分布與表1所示的結(jié)果完全一致。

分別采用快速星圖識別方法和改進(jìn)前的星圖識別方法對拍攝的一個定位循環(huán)星圖進(jìn)行分析，可以得出識別恒星的數(shù)量，如表2所示。

對拍攝的多個定位循環(huán)進(jìn)行解算，得到的天文經(jīng)緯度坐標(biāo)如圖7所示。

對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可得，改進(jìn)前的星圖識別方法解算單個定位循環(huán)的經(jīng)度精度為0.281″，緯度精度為0.265″，采用快速星圖識別方法解算的經(jīng)度精度為0.283″，緯度精度為0.262″. 顯然，采用快速星圖識別方法解算出來的天文經(jīng)緯度精度與運(yùn)用恒星星表進(jìn)行星圖識別解算的天文經(jīng)緯度精度基本一致。

在一個定位循環(huán)中，數(shù)字天頂儀拍攝的星圖數(shù)量為16幅，采用改進(jìn)前的星圖識別方法，對拍攝的16幅星圖進(jìn)行識別的時間為5 min左右，但是采用快速星圖識別方法后，星圖識別的時間只需要約2 min，從而在保證定位精度的情況下大大地縮短了定位的時間。

表2 識別恒星數(shù)量

5 結(jié)論

數(shù)字天頂儀通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)行恒星星圖的拍攝，通過對拍攝的星圖進(jìn)行識別，解算出測站點(diǎn)的天文經(jīng)度坐標(biāo)。在一個定位循環(huán)中，星圖識別的計算量大，需要較長的時間。通過分析可知：

1)只結(jié)合恒星星表對單個定位循環(huán)中間的一幅恒星星圖進(jìn)行識別，其余星圖以該幅星圖識別出的恒星為簡化星表再進(jìn)行識別，使定位精度基本保持不變的情況下顯著提高了星圖識別的速度。

2)經(jīng)與改進(jìn)前的星圖識別方法的試驗(yàn)對比，所提方法的星圖識別時間從5 min減少到只需要約2 min.