自由邏輯發(fā)展的新階段
——構(gòu)造自由邏輯語義學(xué)

高 航

(四川警察學(xué)院 基礎(chǔ)部， 四川 瀘州 646000)

經(jīng)典語義學(xué)是建立在對應(yīng)理論之上的，即單稱詞項和構(gòu)成它們的所指謂的對象是相對應(yīng)的，普遍詞項跟構(gòu)成它們的外延集合是相對應(yīng)的(即對應(yīng)于解釋域上的關(guān)系)。而無指謂的單稱詞項指謂的對象是不存在的，于是就產(chǎn)生了實(shí)際困難。這就表明經(jīng)典邏輯語義學(xué)所要求的基本對應(yīng)有局限性。我們考察下述3個命題：

獵狗星是黃色的。

(1)

禿尾巴老李(一條龍)是黑色的。

(2)

孟柯是醫(yī)生。

(3)

并且設(shè)獵狗星是一顆遙遠(yuǎn)的行星，它的顏色尚未確定。為簡化起見，我們假定關(guān)于禿尾巴老李的傳說沒有說到它的顏色。但(1)跟(2)仍存在著差別。因?yàn)楂C狗星的顏色事實(shí)上不能確定，這屬于人類實(shí)踐方面的限制，但原則上可以確定它的顏色，因?yàn)榭倳腥藭朔@些實(shí)踐上的限制。而禿尾巴老李在什么地方也看不到，無論我們的能力如何改進(jìn)都不能影響我們檢驗(yàn)它的顏色的能力。

這里說的不是我們是否知道這條龍，而是我們想確定它的真假。如果(2)是假的，那么這與(3)假的情況又有何不同呢？我們所需要的語義學(xué)能夠準(zhǔn)確地告訴我們這二者的相似和區(qū)別，但對應(yīng)理論不能告訴我們這些，因?yàn)樗鼘φ婕俚牟枚ㄒ罁?jù)基本對應(yīng)。況且，真假的裁定也并不總是經(jīng)常能做到的，也就是說，我們需要一種判定方法，這種方法能夠判定包含無指謂的單稱詞項的語句何時是真的，并且還能說明是為什么。判定包含無指謂的單稱詞項的語句是構(gòu)造自由邏輯語義學(xué)面臨的主要問題。迄今為止，學(xué)界已構(gòu)建了幾種語義理論，本文擬分別予以論述。

一、外域理論

在尋找彌補(bǔ)基本對應(yīng)理論所出現(xiàn)的空隙的辦法中，解決無指謂的單稱詞項指謂對象問題最早的方法是回避任何這樣的空隙。這實(shí)質(zhì)上是許多經(jīng)典邏輯學(xué)家所運(yùn)用的方法。如，或者把任意的所指指派給無所指謂的單稱詞項(如弗雷格和卡爾納普的辦法)，或者從直接的語義副本所需要的事物類中排除這樣的詞項(如羅素所做的那樣)。這種回避的方法要求我們承認(rèn)“孫悟空”或“當(dāng)今法國國王”像“基辛格”或“當(dāng)今法國總統(tǒng)”一樣有語義副本，只是這樣的副本不是量化域的元素，或者直截了當(dāng)?shù)卣f，它們不存在。所謂外域是指在語義框架中除了原有的量化域之外，又增加一個被稱作外域的集合。

丘奇于1965年提出的觀點(diǎn)對外域理論的發(fā)展產(chǎn)生了重要影響。他的基本觀點(diǎn)是：令S是任一集合，并且在S中確定一個經(jīng)典的解釋和定義謂詞的個體常元。設(shè)P是任一一元謂詞，并且設(shè)定兩個已被定義的新量詞。它們分別讀做“對于每個x，如果x是P，那么……”和“存在一個x，使得x是P并且……”丘奇提示(沒有證明它，但這一主張實(shí)際上是真的，后來被證明了)，蘭伯特的公理系統(tǒng)可以跟只包含新量詞的邏輯真理的集合相一致。

(一)可能的和實(shí)際的對象的邏輯語義學(xué)

與再現(xiàn)丘奇直觀聯(lián)系最緊密的系統(tǒng)是科基亞雷拉于1966年提出的“可能的和實(shí)際的對象的邏輯”[1]。在語義上，這個邏輯的基本單元可以設(shè)想為有序三元組〈A,A′,I〉。這里，A是通常的非空集合，而I是在A上解釋個體常元和謂詞常元的一個函數(shù)。在這個場景中，新的符號是A′，它剛好是A的任一子集合。A是量詞的變程，但不是有存在含義的量詞的變程，倒不如說將它的元素直觀地看作“可能的對象”；另一方面，A′是量詞A的偶的、變程，它沒有存在的含義。如果我們采取通常的符號?和?表示具有“存在承諾”的量詞，用∧和∨表示更一般的量詞，那么很容易看出，?xφ在科基亞雷拉結(jié)構(gòu)中可以是真的，而φ(x/τ)則不是真的，因此全稱量詞示例規(guī)則對限制的量詞失效。另外，這個規(guī)則對未限制的量詞成立。這就暗示所提到的邏輯的一個形式系統(tǒng)可以簡單地通過把關(guān)于∧和∨的經(jīng)典邏輯跟關(guān)于?和?的自由邏輯配對和增加模式：

(*)∧xφ→?xφ

而獲得，它提供了量詞的這兩個集合之間的聯(lián)系。由于量詞的兩個集合和類似(*)的原則的存在，所以科基亞雷拉的邏輯在事實(shí)上比極小自由邏輯要寬泛。但是，如果從語言中去掉未限制的量詞和包含這樣量詞的定理，那么我們就會獲得極小的自由邏輯。

(二)勒布朗-托馬森語義學(xué)

1968年，勒布朗和托馬森提出新的外域語義理論[2]。其結(jié)構(gòu)也是有序三元組〈A,A′,I〉。與前面不同，A和A′是兩個不相交的集合，它們分別稱作內(nèi)域和外域，它們的并集是非空的。I是在A∪A′上解釋個體常元和謂詞常元的函數(shù)。如果它的內(nèi)域是空的，則結(jié)構(gòu)LT是零結(jié)構(gòu)，否則它是非零的。在一個非零結(jié)構(gòu)LT中，一個指派是從變元的集合到內(nèi)域的一個函數(shù)。于是，可滿足性就像通常那樣定義，而變元可以只在內(nèi)域中取值這個事實(shí)就使得量詞的變程構(gòu)成這個域。

勒布朗和托馬森的語義學(xué)除了滿足自由邏輯外，它還包含豐富的內(nèi)容，通過零LT結(jié)構(gòu)表明這一點(diǎn)。這就產(chǎn)生了用開公式反對在這些結(jié)構(gòu)中進(jìn)行語義運(yùn)作的問題，然而這不是我們要考慮的問題。我們可以只采取閉的定理，把開公式作為在零LT結(jié)構(gòu)中未解釋的來解決。這樣做可以不產(chǎn)生對表達(dá)力的任何限制，因?yàn)橐呀?jīng)有了個體常元占據(jù)關(guān)于單稱詞項出現(xiàn)的位置，個體常元在零LT結(jié)構(gòu)中運(yùn)作像它們(當(dāng)個體常元無所指時)在非零結(jié)構(gòu)中運(yùn)作一樣。

前面，我們簡略地考察了自由邏輯外域語義學(xué)兩種途徑。它們各自強(qiáng)調(diào)LT語義方法的不同方面?？苹鶃喞桌谙拗屏吭~方面做得多些，而勒布朗和托馬森在兩類指謂方面做得多些。在指謂空單稱詞項方面，兩者實(shí)際上是一致的。自由邏輯外域語義學(xué)的第三種途徑是與弗雷格和卡爾納普的經(jīng)典設(shè)計方案相似的：通過給出指謂來解決無指謂單稱詞項問題。由于研究成果成熟，這里不再贅述。

(三)斯科特語義學(xué)

斯科特提出的一種語義理論實(shí)際上是限定摹狀詞的一種理論，但他在更好的意義上使其具體化[3]。其理論要點(diǎn)如下：把不屬于它的一個無指謂的實(shí)體，譬如說，實(shí)體*，聯(lián)合于每個量詞域。因?yàn)?處于該量詞域之外，根據(jù)奎因的主張(存在就是約束變元的值)，它是不存在的，但它仍可作為語義值指派給單稱詞項，因此{(lán)*}事實(shí)上是作為一個外域來運(yùn)作。而同時，因?yàn)檫@個外域是一個獨(dú)一無二的單體，所以*也類似于卡爾納普的選擇對象那樣運(yùn)作。在這方面，所有無所指謂的單稱詞項都以無指謂實(shí)體*作為{*}的共同語義副本。

斯科特語義學(xué)這最后一個特征：

(┐E!τ∧┐E!τ′)→τ=τ′

(4)

在該語義學(xué)的模型上是邏輯真的。因?yàn)?4)在上面提到的自由邏輯極小系統(tǒng)中不是可證的，所以要產(chǎn)生適合這種語義學(xué)的一個形式系統(tǒng)，它們應(yīng)當(dāng)要強(qiáng)一些。做到這點(diǎn)最簡單的辦法是：把(4)作為一個公理模式加到極小系統(tǒng)中去。而更好的選擇是增加一個新符號到語言中去。把這個新符號解釋為“非存在對象”，而模式：

┐E!τ→τ= *

(5)

作為演繹工具被加進(jìn)去。當(dāng)然也通過定義引入摹狀詞*，于是有：

Def*∶* =Dfηx(x≠x)

(6)

現(xiàn)在我們對外域語義學(xué)做出簡單評述。首先，這種語義學(xué)是簡單的，而且在基本對應(yīng)中，用外域來填補(bǔ)由無指謂的單稱詞項所引起的空隙，它允許運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的賦值程序。其次，外域語義學(xué)在形式上是很方便操作的。這里，在其強(qiáng)的形式上，語義的完全性是可證的。不僅對邏輯真的語句的集合，而且對遞歸可數(shù)的有效論斷的集合，完全性都是可證的，因而在完全性之下，整個邏輯是可控的。但是，該語義學(xué)也有不足之處。第一，對外域的元素是什么這個問題的回答會遇到麻煩。非存在對象在哲學(xué)上是值得商榷的，當(dāng)今哲學(xué)界尚未對其深入討論。第二，對于這一理論的許多支持者來說，有一些對象是不完全的，即對于某種性質(zhì)P，這些對象既沒有P，也沒有非P。例如，不能說，女媧有多高，“女媧有百丈高”，這一命題既不真，也不假，只是不確定。第三，外域語義學(xué)似乎承認(rèn)存在對象和非存在對象之間有“真正的”關(guān)系。如果我們允許非存在對象存在，那么就不可避免地會導(dǎo)致它們跟存在對象之間存在某種關(guān)系。

二、約定語義學(xué)

這類語義學(xué)的一個共同點(diǎn)是：它們幾乎全部依據(jù)授權(quán)來決定含無指謂的單稱詞項語句的真值。最典型的“約定的”觀點(diǎn)可以描述如下：它們的基本語義單元是偏結(jié)構(gòu)〈A,I〉，這里A是通常量詞域，而I在A上解釋所有謂詞常元和個體常元中的某些個(可能全部，也可能一個也沒有)。不含無解釋的常元的原子公式的真值像通常那樣決定，而包含無解釋的常元的所有原子公式有相同的真值，依情況它們是真的或假的。借用蘭伯特的用語，人們可以在肯定的和否定的約定語義學(xué)之間做出區(qū)別。

復(fù)合公式的真值也像通常那樣決定，特別是一些指派定義作從變元的集合到其域的全函數(shù)，而量化的公式可滿足性條件是標(biāo)準(zhǔn)的。

對于約定語義學(xué)，用完全性和一些其他元定理是不難證明的。在已有的文獻(xiàn)中，肯定的約定語義學(xué)還只是一種可能性，關(guān)于它的技術(shù)細(xì)節(jié)討論不多。當(dāng)然，許多學(xué)者在自由邏輯語義學(xué)領(lǐng)域已意識到這種可能性，盡管它尚未成為發(fā)育成熟的語義方法。

否定的約定語義學(xué)比肯定的更成功。否定的約定語義學(xué)的基本觀點(diǎn)是：只有詞項的所指處于被謂詞指謂的關(guān)系中，一個謂詞應(yīng)用于該詞項才成立，如果詞項無指謂，那么它們的所指就不能處于其謂詞所指謂的關(guān)系中，而把謂詞應(yīng)用于無指謂的詞項不能成立。換句話說，因?yàn)椴淮嬖凇皩O悟空”的所指，所以“孫悟空”的所指不能處于“唐僧”的所指所具有的任何關(guān)系中，因此：

孫悟空被唐僧喜歡

(7)

是假的。它可轉(zhuǎn)述為“孫悟空”的所指處于被“唐僧”所指謂的關(guān)系“喜歡”中是假的。從通常的集合論觀點(diǎn)看，對應(yīng)于“喜歡”關(guān)系有序偶的集合沒有包含對應(yīng)于無指謂的詞項“孫悟空”和“唐僧”作為元素，故(7)是假的。于是，否定的約定語義學(xué)的學(xué)者可以這樣回應(yīng)質(zhì)疑者：這種語義方法不要求任何新的技術(shù)手段。它允許保留許多框架，而從一種語用學(xué)觀點(diǎn)看，這些被保留的特征很重要。一般說來，無指謂的單稱詞項表現(xiàn)出對邏輯的一種嚴(yán)重挑戰(zhàn)。由于這個緣故，自由邏輯學(xué)者易于從簡易性和理論上去保守考慮，他們或許認(rèn)為，更關(guān)鍵的是重新考慮整個學(xué)科而不是其某個過程如何處理。

三、超賦值語義學(xué)

在邏輯學(xué)中，一種最根本的嘗試是從非指謂的單稱詞項出現(xiàn)的角度重新審視真值理論的整個學(xué)科。這種考察始于1966年，范·弗拉森發(fā)表了兩篇開創(chuàng)性文章[4-5]，接著一些學(xué)者，如斯克姆、邁耶爾、蘭伯特、伍德拉夫、本西文伽等繼續(xù)進(jìn)行了研究。這種研究最具特征的技術(shù)手段被稱作超賦值的方法。根據(jù)范·弗拉森的意見：

珀伽索斯有白色的后腿

(8)

這樣語句的真值，乃至這種語句有真值的事實(shí)最終是基于某種約定。而這種約定屬于語言哲學(xué)。邏輯與任何語言哲學(xué)無關(guān)，因?yàn)檫壿嬚胬淼募辖^對獨(dú)立于我們決定采取的語言哲學(xué)。上述學(xué)者中有把真指派給(8)的約定和把假指派給(8)的約定，但邏輯不承諾它們中的任何一個。至多我們能夠把邏輯看作對所有可能約定的邏輯集作出承諾，即承諾所有這些約定共有的東西，承諾什么是真或假與我們所采取的約定本身關(guān)系不大。

所有可能的約定的邏輯集這個概念以下述方式很自然地導(dǎo)致超賦值的思想。我們給定一個部分結(jié)構(gòu)U=〈A,I〉并假定I(a)是未定義的，I(b)是定義過的，并且I(b)∈I(P)。標(biāo)準(zhǔn)賦值程序用于建立下述語句的真值：

P(b)

(9)

P(b)∨┐P(b)

(10)

?xP(x)

(11)

是真的，而

┐P(b)

(12)

P(b)∧┐P(b)

(13)

?x┐P(x)

(14)

是假的，進(jìn)而

P(a)

(15)

┐P(a)

(16)

P(a)∨P(b)

(17)

P(a)∧┐P(b)

(18)

P(a)∨┐P(a)

(19)

P(a)∧┐P(a)

(20)

的真值不能確定。

當(dāng)然，(15)—(20)可以接受基于某一約定或其他約定真值的任何組合，我們也更有理由接受下述賦值的經(jīng)典約定，這些經(jīng)典約定以某種方式把真值指派給包含無指謂的單稱詞項的原子公式，而且它們以標(biāo)準(zhǔn)方式對復(fù)合公式賦值。

任何經(jīng)典約定的組合和部分結(jié)構(gòu)所提供的信息將決定著該語言所有語句的賦值。我們把這樣的賦值稱作(在U上)經(jīng)典賦值。經(jīng)典賦值適用于不包含無指謂的單稱詞項，但是需要解釋的是：它們也適用于許多包含無指謂的單稱詞項的語句。例如，(15)在某經(jīng)典賦值中為值真，而在另一個賦值中為值假。但每個經(jīng)典賦值都驗(yàn)證(17)和(19)為真，而(18)和(20)為假。換句話說，存在著這樣的場合，在其中所有經(jīng)典賦值的邏輯集是非空的。而這樣提供的賦值已超出被部分結(jié)構(gòu)所決定的賦值。(19)和(20)的結(jié)局告訴我們，這種補(bǔ)充的信息可以推廣于命題邏輯所有含無指謂單稱詞項的語句。

范·弗拉森方法的實(shí)質(zhì)只在于使用經(jīng)典賦值的補(bǔ)充信息，更準(zhǔn)確地說，部分結(jié)構(gòu)U的超賦值WU被他描述為這樣的賦值：把真指派給在U上所有經(jīng)典賦值中真的語句；把假指派給在U上經(jīng)典賦值中是假的語句；而在其余的語句場合無真值或真值間隙。例如，假定我們在U上只有兩種經(jīng)典賦值V1和V2，我們用矩陣刻畫下述公式超賦值(“―”表示真值間隙)：

公式V1V2WUP(b)TTT┐P(b)FFFP(a)TF—┐P(a)FT—P(a)∨┐P(a)TTTP(a)∧┐P(a)FFF

超賦值WU是有序二元組〈U,ρ〉，其中U是結(jié)構(gòu)(模型)，ρ是U上的指派，其賦值情況如下：

(ⅰ)項的賦值：令S=〈U,P〉是超賦值，t是項，S(t)表示t在S下的值。

(l)如果t是變元x，那么S(x)=ρ(x)；

(ⅱ)原子公式的賦值：令S=〈U,P〉是超賦值，α是原子公式，α在S下賦值S(α)定義如下：

(1)如果α是E!(t)，當(dāng)S(t)有定義時，E!(t)為T，當(dāng)S(t)無定義時，E!(t)為F；

(2)如果α是Fn(t1,…,tn)，其中Fn不給E!，當(dāng)S(t1),…,S(tn)都有定義時S(Fn(t1,…,tn))有真值，其情況如下：

S(Fn(t1,…,tn))=T,當(dāng)且僅當(dāng)〈S(t1),…,S(tn)〉∈FnU，當(dāng)S(ti)一個無定義時，S(Fn(t1,…,tn))無真值；

(3)如果α是x=y，當(dāng)f(x)和f(y)有定義時，那么S(x=y)=T；否則S(x=y)=F；

(4)如果α是x=y，當(dāng)f(x)和f(y)中正好其中一個有定義時，那么S(x=y)=F。

(ⅲ)非原子公式的賦值

(1)如果α是┐β，當(dāng)S(β)=F時，S(α)=T，當(dāng)S(β)=T時，S(α)=F；

(2)如果α是β∨γ，當(dāng)β和γ都是有定義時，若S(β)=S(γ)=T，則S(β∨γ)=T，否則S(β∨γ)=F；

(3)如果α是?xβ，當(dāng)對于每個使得S(E!y)=T的個體變元y，S(β(x/y))=T，則S(α)=T。

(ⅳ)除了滿足(ⅰ)-(ⅲ)條目之外，S(α)沒有定義，公式α是可驗(yàn)證的或證偽的，或不完全確定的，當(dāng)且僅當(dāng)對于某模型結(jié)構(gòu)U，S(α)=T(或S(α)=F)或S(α)無定義。

公式α是非有效的，當(dāng)且僅當(dāng)或是證偽的，或是不完全確定的。公式α是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)對于每個模型-結(jié)構(gòu)U，S(α)=T。

四、自由摹狀詞理論

自由摹狀詞理論主要采用自由邏輯的方法對語言現(xiàn)象中的“摹狀詞”進(jìn)行分析和研究[6]。自由邏輯對自然語言中“摹狀詞”進(jìn)行的刻畫是對自由邏輯的一個重要考驗(yàn),在語義模型上采用的語義解釋也都是在自由語義框架下進(jìn)行的。羅素主張嚴(yán)格區(qū)分專名和摹狀詞，明確了語句中摹狀詞的轄域，給出包含摹狀詞語句的語境定義，通過能行的程序?qū)⒛钤~消解掉；蘭伯特的自由摹狀詞理論是建立在邏輯系統(tǒng)PFL的基礎(chǔ)之上的，允許空單稱詞項，包括空摹狀詞作為系統(tǒng)中合式的項出現(xiàn)，消除了經(jīng)典謂詞邏輯的存在預(yù)設(shè)，較之羅素的摹狀詞理論有很大的進(jìn)步，是邏輯方法的革新。

(一)羅素的摹狀詞理論

摹狀詞理論是第一個處理空名的理論。羅素區(qū)別了專名和摹狀詞，一個邏輯專名指謂一個個體，這個個體是它的所指，專名符號就是它的所指。專名的意義是獨(dú)立的，不依賴于其他詞的意義，所以它是一個完全符號。而摹狀詞，如，“世界最高峰”“當(dāng)今法國國王”，是不完全符號，它的意義不是它的所指，就它本身而言，它沒有意義，它的意義應(yīng)在上下文關(guān)系中確定。摹狀詞有兩種：限定的和非限定的。一個非限定摹狀詞是一個形如“一個某某”的詞組；一個限定摹狀詞是一個形如“那個某某”的詞組。含限定摹狀詞的語句又分兩類：指稱個體具有某性質(zhì)，如“當(dāng)今法國國王是禿頭”；斷言某事物存在，如“當(dāng)今法國國王存在”。

羅素的摹狀詞理論的主要操作方法是改寫含限定摹狀詞的語句，使原來語句中的限定摹狀詞在改寫后的語句中不出現(xiàn)，從而揭示出語句的真實(shí)邏輯形式。例如，“這座金山不存在”，通過改寫后，摹狀詞就消失了，成為：“對x說來，x是金的而且是一座山。”再如“這個當(dāng)今法國國王是禿頭”，經(jīng)過改寫“這個當(dāng)今法國國王”不再處于一個主謂形式命題中的邏輯主詞地位了。按羅素的意見，改寫后為：有一個人，對于他，下述幾點(diǎn)成立：① 他是當(dāng)今的法國國王；② 除了他以外，沒有任何別人是當(dāng)今法國國王；③ 他是禿頭。

自由邏輯學(xué)者論及限定摹狀詞，理由有二：第一，羅素的摹狀詞理論是歷史上處理無指謂單稱詞項的重要工具；第二，羅素的摹狀詞理論是理論上的，它對于解決含無指謂單稱詞項的語句出現(xiàn)的困難是必要的。

如果你認(rèn)定“飛馬”有指謂，那這將跟

沒有(存在的)馬是會飛的

(21)

的真理相沖突。如果認(rèn)定“圓的方”或“跟自己不同的實(shí)體”有指謂，那么就得出更糟糕的后果。

羅素的摹狀詞理論的基本原則是兩個定義：

E!ηxφ=Df(?x(φ?x=y))

(22)

(ψ[y/ηxφ]=Df?y(?x(φ?x=y)∧ψ)

(23)

現(xiàn)在自由邏輯學(xué)者一般認(rèn)為限定摹狀詞是真正的單稱詞項，因此對于用像(21)和(22)這樣定義消除摹狀詞不感興趣，他們對下述等值式感興趣：

E!ηxφ??y(?x(φ?x=y))

(24)

(ψ[y/ηxφ]??y(?x(φ?x=y)∧ψ)

(25)

自由邏輯學(xué)者從來也不懷疑(24)，他們一般把它的右邊的部分看作ηxφ所指謂存在的充分必要條件。同樣，(25)的一半即是：

?y(?x(φ?x=y)∧ψ→φ[y/ηxφ]

(26)

在自由邏輯中普遍被接受的是：有指謂的限定摹狀詞似乎每個人都跟羅素的分析一致。問題在于(25)的另一半，即是：

(ψ[y/ηxφ]→?y(?x(φ?x=y)∧ψ)

(27)

它蘊(yùn)含著：

ψ[y/ηxφ]→E!ηxφ

(28)

式(28)迫使人們?nèi)タ紤]更多包含無指謂的摹狀詞的假的語句，包括像：

ηxφ=ηxφ

(29)

這樣的語句，許多自由邏輯學(xué)者把它看作邏輯真的。

(二)蘭伯特的自由摹狀詞理論

自由邏輯領(lǐng)域第一個自由摹狀詞理論是蘭伯特于1956年提出的，但他是用二階模態(tài)語言來表述的，在文獻(xiàn)中回應(yīng)不大。更可理解的啟示來自欣迪卡,他的理論是以單獨(dú)原則為基礎(chǔ)的[7]，即是條件句：

τ=ηxφ?(φ[x/τ]∧?x(φ→x=τ))

(30)

式(30)蘊(yùn)涵著(24)和(25)，但它也有若干不受歡迎的后承。其中，蘭伯特于1962年表明，從(30)和(29)得出[8]：

φ[x/ηxφ]

(31)

和(31)的某些示例，使得：

P(ηx(P(x)∧┐P(x))∧┐P(ηx(P(x)∧┐P(x))

(32)

式(32)本身是矛盾的語句。蘭伯特的解決辦法是弱化欣迪卡的理論，用下述公式代替(30)：

?y(y=ηxφ?(φ[x/y]∧?x(φ→x=y)))

(33)

現(xiàn)在，在一種自由邏輯中，假定(33)作為一個公理模式，它等值于假定：

E!ηxφ→(τ=ηxφ?(φ(x/τ)∧?x(φ→x=y)))

(34)

它表明被稱做FD的蘭伯特理論有點(diǎn)特殊。若干學(xué)者把它作為一種極小的自由摹狀詞理論，它是一些同類型理論的共同核心。隱于這種刻畫的后面的直觀是：每個人在如何處理有指謂的摹狀詞方面意見是一致的，F(xiàn)D沒有超出這種直觀。不同的觀點(diǎn)僅僅是如何對待無指謂的摹狀詞，在這方面可以有多種選擇。一般說來，要求對FD增加進(jìn)一步的公理模式。蘭伯特本人提出一種選擇，對FD增加模式[9]：

τ=ηx(x=τ)

(35)

獲得一個新系統(tǒng)，稱做FD1。1964年蘭伯特提出，用

ηxφ=τ??y(τ=y?(φ[x/y]∧?x(φ→x=y)))

(36)

(┐E!τ∧┐┐E!τ′)→τ=τ′

五、結(jié)語

依照邏輯學(xué)家的觀點(diǎn)，邏輯應(yīng)該像其他科學(xué)工具一樣來判定真理，而它本身作為一種工具必須是中立的。經(jīng)典邏輯中的“存在預(yù)設(shè)”破壞了邏輯作為一種工具的中立性。自由邏輯的產(chǎn)生既能夠刻畫包含空單稱詞項出現(xiàn)的語句，又能夠克服經(jīng)典謂詞邏輯中允許空單稱詞項出現(xiàn)而帶來的困難。許多邏輯學(xué)家于是紛紛轉(zhuǎn)向，把目光投向自由邏輯，著重加強(qiáng)對自由邏輯形式系統(tǒng)的解釋工作，創(chuàng)建了多種自由邏輯語義學(xué)。構(gòu)造自由邏輯語義學(xué)所產(chǎn)生的價值和意義不可估量，但是至今仍然存在一些待解決的問題。例如：已提出的各個自由邏輯語義系統(tǒng)之間究竟是什么關(guān)系？能否為它們建立一種統(tǒng)一的語義系統(tǒng)？這些都有待我們進(jìn)一步去研究。