伯特蘭悖論解析

杜國平

(中國社會科學(xué)院 哲學(xué)研究所， 北京 100732)

伯特蘭悖論自提出以來，受到了人們廣泛的關(guān)注。本文不擬對相關(guān)研究進(jìn)行綜述和評論，而只是從問題本身出發(fā)，使用邏輯方法來分析問題本身的推理結(jié)構(gòu)，并對悖論問題產(chǎn)生的根源進(jìn)行純粹理論的闡述，以期澄清某些哲學(xué)論爭。

一、伯特蘭悖論概述

伯特蘭悖論是由法國數(shù)學(xué)家約瑟·路易斯·弗朗索瓦·伯特蘭(Joseph Louis Fran?ois Bertrand)于1889年提出的一個概率悖論[1]。該悖論的基本結(jié)構(gòu)是：

對于問題“圓內(nèi)任意一條弦，其弦長長于該圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少？”伯特蘭給出了3個不一致的答案[2]。

第1種解答：考察從圓上任意一點(diǎn)A出發(fā)的那些弦(見圖1)。以A為一個頂點(diǎn)作圓內(nèi)接等邊三角形ABC。如果弦的另一端落在∠DAB或者∠EAC的區(qū)域內(nèi)(包括B、C兩點(diǎn))，如弦AA1，則弦長并非長于該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長；如果弦的另一端落在∠BAC的區(qū)域內(nèi)(不包括B、C兩點(diǎn))，如弦AA2，則弦長長于該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長。反之亦然。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，∠BAC等于60°，所以弦長長于該圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是：

伯特蘭悖論的基本結(jié)構(gòu)是：考慮弦長長于圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率，根據(jù)無差別原則，分別得出了3個不同的結(jié)論，而這3個結(jié)論是不一致的。

圖1

圖2

圖3

伯特蘭悖論所直接拷問的是主觀概率的合理性問題。具體地說，它拷問的是主觀概率無差別原則的合理性。無差別原則(the principle of indifference)指的是：對于某一條件下的若干種可能性，如果沒有證據(jù)證明其中的某一種可能性比其他的可能性更大或者更小，那么我們賦予這些可能性以相同的概率[3]。伯特蘭悖論的發(fā)現(xiàn)和提出，對使用無差別原則來確定主觀概率的方法構(gòu)成了一個極其嚴(yán)重的挑戰(zhàn)。

二、伯特蘭悖論的拓展示例

為了進(jìn)一步凸顯伯特蘭悖論的特性，我們可以對伯特蘭悖論加以更進(jìn)一步的引申。

伯特蘭悖論中提出的問題是：“在一個圓內(nèi)任意拉一條弦，這條弦長于這個圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率P(c)是多少？”對于這一問題，除了上述3種解答之外，我們還可以給出其他幾種解答。

第5種解答，雖然角度與第4種解答有所不同，但是其結(jié)果是相同的。

類似地亦可考慮由弧AB形成的扇形面積的情況。

后面將進(jìn)一步表明，按照上述思路，對于這一問題，任意值的概率都是可以給出的。

三、弦長與其相關(guān)變量之間的多項(xiàng)式關(guān)系

圖4

1.弦AB的長度x與∠DAB度數(shù)θ之間的關(guān)系見圖4。

不難看出，弦AB的長度x與∠DAB度數(shù)θ之間存在如下關(guān)系：

2.弦AB的長度x與以O(shè)為圓心、以弦中點(diǎn)到圓心距離為半徑的圓面積S1之間的關(guān)系為：

3.弦AB的長度x與弦中點(diǎn)到圓心距離y之間的關(guān)系為：

4.弦AB的長度x與弦AB和弧AB(較短的一段弧)圍成的封閉圖形面積S2之間的關(guān)系為：

5.弦AB的長度x與弦AB和弧AB(較長的一段弧)圍成的封閉圖形面積S3之間的關(guān)系為：

四、多項(xiàng)式關(guān)系解析

如果我們將上述討論歸納到表1中，則不難看出其中的一般性問題。

表1 弦長與其相關(guān)變量之間的多項(xiàng)式關(guān)系

弦長相關(guān)變量關(guān)系多項(xiàng)式(f(x))f (0)f (3r)f (2r)特征區(qū)間概率xxx03r2r(3r,2r]2-32x∠DAB度數(shù)θ arcsinx2r060°90°(60°,90°]13x弦中點(diǎn)所在圓面積π(r2-x24)πr2πr240[0,πr24)14x弦中點(diǎn)到圓心距離r2-x24rr20[0,r2)12x弦和弧圍成的封閉圖形面積aecsinx2r180πr2-x2r2-x240πr23-3r24πr22(πr23-3r24, πr22]2π+336π

注：(1)特征區(qū)間指的是弦AB的長度x長于內(nèi)接等邊三角形的邊長時，關(guān)系多項(xiàng)式(f(x))的值域; (2)概率指的是弦AB的長度x長于內(nèi)接等邊三角形的邊長時，相關(guān)變量的概率，而不只是弦AB的長度x長于內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率

對于與弦長x相關(guān)的變量f(x)，按照悖論構(gòu)造的思路，其時得到的弦AB的長度長于內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是：

由此我們不難得到這一問題的任意概率值。例如如果相關(guān)變量為：

實(shí)際上，如果希望得到的概率值為n，只需其相關(guān)變量f(x)滿足下列條件即可：

由此可見，伯特蘭悖論是由不同的相關(guān)變量造成的。伯特蘭在構(gòu)造悖論的過程中，得出的不同概率只是不同的相關(guān)變量的概率，而不是弦長長于內(nèi)接等邊三角形邊長的概率。

五、類伯特蘭悖論及其解釋

為了彰顯伯特蘭悖論的問題所在，可以構(gòu)造如下的類伯特蘭悖論。

問：落在O1內(nèi)的數(shù)字幣完全落在O2內(nèi)的概率是多少？

由1、2、3可知，上述思想實(shí)驗(yàn)的結(jié)果形成了一個類伯特蘭悖論。

S=πx2

六、結(jié)論

由前述討論分析，我們可以得出如下結(jié)論：

因此由p得出矛盾，從而p不成立。這看似對無差別原則形成了質(zhì)疑。

據(jù)此并不能由p得出矛盾。

因此，伯特蘭悖論并不是一個悖論，它對無差別原則也并不能構(gòu)成質(zhì)疑。

2.對于定義域?yàn)閇0,m]的變量x，當(dāng)考察其特征域[n,m]的概率時，我們只能根據(jù)變量及其特征域自身的情況，依據(jù)無差別原則來進(jìn)行考察，而不應(yīng)將其相關(guān)的函數(shù)所對應(yīng)的特征域及其在值域中的概率來進(jìn)行變換。這是因?yàn)樽儞Q所得到的概率只是相應(yīng)的函數(shù)的概率，而可能不是自變量原初的概率了。根據(jù)無差別原則，變量x本身的概率是唯一的。同樣根據(jù)無差別原則，與變量相應(yīng)的一個函數(shù)的概率也是唯一的；但是與變量相應(yīng)的不同函數(shù)的概率可能是不同的，并且由于函數(shù)的不同，其各種值的概率都是可能的，具體概率值的多少是由函數(shù)的性質(zhì)決定的[4]。

3.伯特蘭悖論存在概念混淆的邏輯錯誤。其中，混淆了變量本身的概率和變量相應(yīng)的函數(shù)的概率。

4.邏輯分析有助于厘清概念、明確判斷，并進(jìn)而分析推理結(jié)構(gòu)、消解悖論。