含模型不確定性的上三角非線性系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定

查雯婷 ，翟軍勇，梁營玉

(1.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)機電與信息工程學(xué)院，北京 100083;2.東南大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇南京 210096)

1 引言

在實際中，由于外部干擾的存在，往往不能建立準確的系統(tǒng)模型，如控制參數(shù)未知、非線性函數(shù)未知、狀態(tài)測量函數(shù)未知以及系統(tǒng)冪指數(shù)未知等.隨著控制理論的發(fā)展，自適應(yīng)控制被驗證為處理不確定系統(tǒng)強有力的工具.針對系統(tǒng)控制參數(shù)未知的情況，文獻[1]將反步法與自適應(yīng)技術(shù)相結(jié)合，給出了全局狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制律的設(shè)計方法.在某些物理系統(tǒng)中控制方向難以確定，如無標定視覺伺服系統(tǒng)[2].文獻[3]利用Nussbaum-type增益方法[4]提出了一種針對三角型不確定非線性系統(tǒng)的重復(fù)學(xué)習(xí)控制策略，然而系統(tǒng)中的非線性函數(shù)要求已知.關(guān)于未知的非線性函數(shù)，通常假設(shè)其滿足線性增長條件或局部Lipschitz條件.當線性增長率未知時，文獻[5]構(gòu)造了一個通用的自適應(yīng)輸出反饋控制器，使得系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)至原點，該結(jié)果被進一步推廣至更一般的非線性時滯系統(tǒng)[6-7]和隨機系統(tǒng)[8]中.由于傳感器測量噪聲的存在或者傳感器本身的結(jié)構(gòu)特性，系統(tǒng)狀態(tài)不能被準確測量，從而對控制器的設(shè)計帶來很大困難.文獻[9]基于依次遞減齊次度的概念和增加冪積分方法，解決了高階不確定非線性系統(tǒng)的量測反饋魯棒控制問題.文獻[10]中指出由于外部環(huán)境的影響，實際系統(tǒng)模型中的冪指數(shù)往往無法確定.通過將未知冪指數(shù)漂移量限定在適當范圍內(nèi)，利用區(qū)域齊次度的概念構(gòu)造出一個全局狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器.針對冪指數(shù)是時變函數(shù)的情況，文獻[11]利用系統(tǒng)冪指數(shù)的上下界設(shè)計出一個光滑的狀態(tài)反饋控制器.

然而，針對模型不確定性的全局控制結(jié)果大多集中于下三角系統(tǒng)或嚴格反饋系統(tǒng).實際中的物理系統(tǒng)，如球-棍系統(tǒng)和倒立擺系統(tǒng)等，常常被描述成上三角系統(tǒng)或前饋系統(tǒng).系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的特殊性決定了反步法和增加冪積分等方法不再適用于控制器的設(shè)計，因此上三角非線性系統(tǒng)的全局控制問題吸引了越來越多控制學(xué)者的關(guān)注，尤其是高階上三角非線性系統(tǒng)，即至少一個系統(tǒng)冪指數(shù)大于1.嵌套飽和函數(shù)方法[12]和forwarding方法[13]是常用的兩種控制器設(shè)計方法.通過對非線性函數(shù)施加適當假設(shè)，文獻[14]給出了高階上三角非線性系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定飽和控制器設(shè)計方法.為了放寬對系統(tǒng)非線性項的約束，文獻[15]將嵌套飽和函數(shù)和增加冪積分方法相結(jié)合，解決了控制參數(shù)未知的高階上三角系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定問題.在此基礎(chǔ)上，該結(jié)果被進一步推廣至一類不確定大規(guī)模高階上三角非線性系統(tǒng)中[16].上述嵌套飽和函數(shù)方法是基于“由上至下”的原則設(shè)計控制器，然后將飽和函數(shù)作用于所設(shè)計的控制，基于“由下至上”的步驟恰當選取飽和度，使得系統(tǒng)全局鎮(zhèn)定.與之不同，基于Lyapunov直接方法的forwarding方法采用的是從下至上的設(shè)計思路.文獻[17]將擾動觀測器與forwarding方法結(jié)合，解決了不確定非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題.文獻[18-19]將forwarding方法與廣義齊次度的概念相結(jié)合，給出了高階上三角非線性系統(tǒng)的光滑和非光滑控制器設(shè)計方法.在上述已有的結(jié)果中，控制器的設(shè)計都用到了系統(tǒng)的冪指數(shù).若冪指數(shù)未知，該設(shè)計方法將不再適用.

為了研究更一般的上三角系統(tǒng)，本文綜合考慮系統(tǒng)冪指數(shù)、控制參數(shù)和非線性函數(shù)均不確定的情況，通過將不確定Lyapunov函數(shù)與嵌套飽和函數(shù)相結(jié)合，解決了一類上三角不確定系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定問題.本文的難點體現(xiàn)在:1)由于系統(tǒng)冪指數(shù)未知，不能利用文獻[15]中傳統(tǒng)的嵌套飽和函數(shù)方法來設(shè)計全局鎮(zhèn)定控制器;2)文獻[10]中針對簡單非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計方法不適用于本文考慮的上三角結(jié)構(gòu)的系統(tǒng);3)系統(tǒng)綜合考慮各種模型不確定性，給控制器的設(shè)計過程帶來更多的困難.

2 問題描述及假設(shè)

本文研究如下非線性系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定問題:

其中:x=(x1··· xn)T∈?n，u ∈?分別為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入.對于i=1，···，n－1，未知冪指數(shù)pi，q是兩個奇數(shù)之比}，并且滿足1 ≤ai≤pi≤bi，其中ai和bi均已知.不確定非線性函數(shù)di(·)′s和φi(·)′s是C1的，且滿足φi(0)=0和di(·)＞0.為了設(shè)計一個全局狀態(tài)反饋控制器，系統(tǒng)(1)需滿足如下假設(shè)條件:

假設(shè)1對于i=1，···，n－2，ai≥bi+1成立.

假設(shè)2存在正常數(shù)滿足

其中:i=1，···，n，xi+1=u.

假設(shè)3對于i=1，···，n，存在正常數(shù)ρ和qi滿足

其中qi＞bi.

注1文獻[15]中的假設(shè)2.1給出了系統(tǒng)非線性函數(shù)所滿足的條件，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了齊次飽和控制器來鎮(zhèn)定一類更廣泛的上三角非線性系統(tǒng).本文所設(shè)計的線性結(jié)構(gòu)控制器是齊次控制器的一種特殊情況，在系統(tǒng)冪指數(shù)已知時，上述假設(shè)與文獻[15]中假設(shè)2.1相一致，從而說明了假設(shè)的合理性.

下面給出控制器設(shè)計過程中會用到兩個的引理.

引理1[20]對于任意的，x∈?和y ∈?，以下不等式成立:

其中c是一個正常數(shù).

引 理2[20]對于任意的正實數(shù)c，d 和實函數(shù)γ(x，y)＞0，如下不等式成立:

3 局部鎮(zhèn)定控制器設(shè)計

本節(jié)針對系統(tǒng)(1)設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)達到局部穩(wěn)定.首先，考慮如下標稱系統(tǒng):

并基于Lyapunov理論[21]迭代地設(shè)計局部狀態(tài)反饋控制器.

步驟1選取Lyapunov函數(shù)，可得V1關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)為

針對Lyapunov函數(shù)V1，定義集合

其中N是一個正常數(shù).通過設(shè)計線性虛擬控制器

可得

步驟k假設(shè)在第k－1步，存在一個關(guān)于x1，···，xk-1正定且徑向無界的Lyapunov函數(shù)Vk-1:?k-1→?和一系列虛擬控制器，

其中定義集合Ωj?{x ∈?n|Vj(x1，···，xj)≤N}，j=2，···，k－1滿足Ωk-1?···?Ω1.

接下來證明式(8)在第k步仍然成立.為了簡便，利用一個通用的常數(shù)c來表示任意有限的正常數(shù)，且具體的數(shù)值隨著位置的不同而改變.選取如下Lyapunov函數(shù):

和相應(yīng)的集合Ωk={x ∈?n|Vk(x1，···，xk)≤N}.由定義可知，Ωk?Ωk-1成立.

根據(jù)ξk的定義，由引理1-2可得

其中κk是與ai和bi有關(guān)的正常數(shù)，i=1，···，k－1.

由假設(shè)1可知，p1≥···≥pk成立.因此，根據(jù)引理1-2可得

其中hk，1(·)≥0是一個只和上下界有關(guān)的連續(xù)函數(shù)，.

將式(11)-(12)代入式(10)中，可得

由p1≥···≥pk知，Vk是一個關(guān)于x1，···，xk正定且徑向無界的函數(shù)，從而x1，···，xk在Ωk上有界.由于hk，1(·)關(guān)于x1，···，xk連續(xù)，則hk，1(·)在Ωk上有界，即是一個常數(shù).

歸納部分證明完畢.

步驟n根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，式(14)在k=n時仍然成立.故存在一個線性控制器

其中:Lyapunov函數(shù)

集合Ωn?{x ∈?n|Vn(x1，···，xn)≤N}滿足Ωn?···?Ω1.因此，由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知閉環(huán)系統(tǒng)(5)-(15)在集合Ωn上是局部漸近穩(wěn)定的.

綜合考慮系統(tǒng)(1)和標稱系統(tǒng)(5)的關(guān)系，可得在控制器(15)作用下，Lyapunov函數(shù)Vn關(guān)于系統(tǒng)(1)的導(dǎo)數(shù)為

由假設(shè)1-3可知qi＞pi≥pi+1≥···≥pn，則不等式(17)中的非線性項可估計為

其中R(·)≥0是關(guān)于x1，···，xn的連續(xù)函數(shù).

由于Lyapunov函數(shù)Vn關(guān)于x1，···，xn是正定且徑向無界的，因此通過恰當選取N，使得?x ∈Ωn，R(·)成立.結(jié)合式(17)可知

進而可得閉環(huán)系統(tǒng)(1)-(15)在集合Ωn上是局部漸近穩(wěn)定的.

4 全局飽和控制器設(shè)計

本節(jié)將進一步考慮非線性系統(tǒng)(1)的全局漸近鎮(zhèn)定問題.將設(shè)計的控制器(15)與飽和函數(shù)

相結(jié)合，得到如下飽和控制器:

首先引入下列引理，該引理的證明將在附錄中給出.

引理3對于閉環(huán)系統(tǒng)(1)-(20)，若系統(tǒng)狀態(tài)滿足，j=i+1，···，n，則存在式(21)中定義的αi(β1，···，βi)和0 ＜?1＜1，使得對于任意的0 ＜? ≤?1，如下不等式成立:?i=1，···，n，

在引理3的基礎(chǔ)上，如下定理給出了本文的主要結(jié)論.

定理1在假設(shè)1-3的條件下，存在充分小的? ∈(0，?1]，使得飽和控制器(20)能夠全局鎮(zhèn)定非線性系統(tǒng)(1).

證上一節(jié)給出了系統(tǒng)(1)在集合Ωn中局部鎮(zhèn)定的結(jié)論.如果能夠證明在飽和控制器(20)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過一段時間后能夠進入并永遠停留在集合Ωn中，則系統(tǒng)(1)全局穩(wěn)定的結(jié)論自然成立.因此，該定理的證明分為如下兩步:

首先，利用歸納法證明當βi滿足式(21)時，飽和控制器(20)能夠使得系統(tǒng)狀態(tài)依次收斂到一個由?決定的小區(qū)域內(nèi).

步驟1證明存在時刻t1＞0，使得?t ≥t1，

成立.為了得到這個結(jié)論，首先利用反證法證明存在時刻t1＞0，使得

由un-1的定義可知，從而?t ＞0，

當時間趨近于無窮大時，上式中的xn(0)－μn?t將會趨近于負無窮大，式(26)導(dǎo)致矛盾.從而，

不成立.類似可得負的情形也不成立，因此?t1＞0，使得式(23)成立.

接下來同樣利用反證法證明?t ≥t1，

從而由引理3可知

結(jié)合式(29)-(31)可知

根據(jù)式(21)中βn可得μn－?pn-1-1αn-1(·)＞0，從而矛盾.因此，式(27)中正的情形不成立.利用類似的方法可以證明，式(27)中負的情形也不成立.故存在一個時刻t1＞0，對于任意的t ≥t1，有|xn(t)－un-1(t)|＜?，即

Xn(t)∈Qn={Xn(t):|xn(t)－un-1(t)|＜?}.

步驟i假設(shè)存在時刻0 ≤t1≤···≤ti-1，使得?t ≥ti-1，有

現(xiàn)要證明上式在j=n－i+1時仍成立.按照步驟1中的證明過程，首先證明?ti≥ti-1，使得

利用反證法，假設(shè)上式不成立，則?t ≥ti-1有

為了證明的完整性，這里考慮式(33)中負的情況，即

根據(jù)引理1，給出如下估計:

其中cn-i+1=bn-i+1(2bn-i+1-2+1).

將式(37)代入式(36)中，可知?t ≥ti-1，

根據(jù)式(21)中βi's的取值可知μn-i+1＞0.因此，由式(38)可得?t ≥ti-1，

其中?t ≥ti-1.類似于式(26)，當時間t趨近于無窮大時，上述不等式變成，矛盾.因此，式(35)不成立.對于正的情形，可參照第1步的證明過程.故必然存在時刻ti使得式(33)成立.

接下來，同樣利用反證法證明?t ≥ti，有

因此，根據(jù)引理3得

結(jié)合式(41)-(42)以及式(44)，可知

由式(21)中βi's的取值可得μn-i+1－αn-i(·)＞0，從而矛盾.故式(41)中負的情形不成立，同理可證明正的情形不成立.

綜上可知，存在一個時刻ti≥ti-1，使得?t ≥ti，|xj(t)－uj-1(t)|≤?成立，j=n－i+1，···，n.

步驟n根據(jù)上述證明過程，由數(shù)學(xué)歸納法可知，存在時刻tn-1≥···≥t1≥0，使得?t ≥tn-1，

由引理3可知|φ1(·)|≤?p1，?t≥tn-1.此外，由引理1-2可得

其中c1=b1(2b1-2+1).

則對于任意的t ≥tn-1，系統(tǒng)狀態(tài)x1不可能恒小于.

綜合上述兩種情況可知，存在一個時刻tn≥tn-1使得當?t ≥tn時，.因此，在時刻tn之后，系統(tǒng)狀態(tài)Xn(t)將會進入并一直停留在區(qū)域Q中，

從Q的定義可知，區(qū)域Q的大小由飽和度?決定.此外，由第2節(jié)可知閉環(huán)系統(tǒng)(5)-(15)在區(qū)域Ωn上局部漸近穩(wěn)定.故通過恰當選取參數(shù)?滿足集合Q?Ωn，可得在tn時間之后，系統(tǒng)狀態(tài)停留在集合Q中，并且飽和控制器(20)將退變成非飽和控制器(15).同時，在控制器(15)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到原點.因此，閉環(huán)系統(tǒng)(5)-(20)是全局漸近穩(wěn)定的. 證畢.

5 數(shù)值仿真

本節(jié)將利用一個數(shù)值仿真例子來驗證定理1中所設(shè)計控制算法的有效性.

例1考慮如下非線性系統(tǒng):

其中p1是未知的冪指數(shù)并且滿足p1∈[1，2].通過計算可知，0 ＜0.5 ≤0.5+sin2x1≤1.5，從而滿足假設(shè)2.同理可驗證假設(shè)1和假設(shè)3均成立.因此根據(jù)定理1，利用未知冪指數(shù)p1的上下界可以設(shè)計出如下線性飽和控制器

取β1=2，β2=12，，飽和函數(shù)的飽和度?=0.2.初始狀態(tài)為(x1(0)，x2(0))=(0.5，－0.5).狀態(tài)響應(yīng)曲線和控制曲線仿真結(jié)果如圖1-2所示.

圖1 p1=時閉環(huán)系統(tǒng)(46)-(47)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State trajectories of the closed-loop systems (46)-(47)with p1=

圖2 p1=時閉環(huán)系統(tǒng)(46)-(47)的控制曲線Fig.2 Control trajectory of the closed-loop systems(46)-(47)with p1=

此外，從控制器設(shè)計過程中可知，只要冪指數(shù)p1在[1，2]中取值，所設(shè)計的控制器u均可全局鎮(zhèn)定系統(tǒng)(46).為了驗證控制器的魯棒性，選取得到如圖3-4所示的仿真結(jié)果.在同樣的控制器(47)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂至原點，這與理論分析的結(jié)果相一致.

圖3 p1=時閉環(huán)系統(tǒng)(46)-(47)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 State trajectories of the closed-loop systems (46)-(47)with p1=

圖4 p1=時閉環(huán)系統(tǒng)(46)-(47)的控制曲線Fig.4 Control trajectory of the closed-loop systems(46)-(47)with p1=

6 結(jié)論

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了一種嵌套飽和控制器的設(shè)計方法.只要系統(tǒng)不確定性能夠限定在指定范圍內(nèi)，該控制器能夠全局鎮(zhèn)定一類上三角非線性系統(tǒng).與現(xiàn)有結(jié)果對比，本文的創(chuàng)新點體現(xiàn)在:1)考慮由于建模不確定性引發(fā)的系統(tǒng)冪指數(shù)未知的情況，只利用已知的上下界設(shè)計出全局鎮(zhèn)定控制器，同時具有一定的魯棒性;2)除此之外，系統(tǒng)中含有更多的不確定非線性函數(shù)，從而能夠涵蓋一類更廣的非線性系統(tǒng);3)與已有的齊次控制器[15]相比，設(shè)計的線性控制器具有更簡單的結(jié)構(gòu)，便于在實際工程中的應(yīng)用.

附錄 引理3的證明