輕薄陣列天線陣面形狀調(diào)整的作動器布局優(yōu)化*

劉雙榮，周金柱，唐寶富，徐文華

(1. 西安電子科技大學， 陜西 西安 710071； 2. 南京電子技術(shù)研究所, 江蘇 南京 210039)

引 言

隨著通信、國防需求、空間科學的不斷發(fā)展和變化，對高集成、大口徑、輕薄陣列天線的需求越來越迫切。超大口徑輕型陣列天線不僅可以收集更多的能量、降低天線重量，同時可以實現(xiàn)多目標探測、跟蹤與識別[1]。但大口徑、輕型化會導致陣列天線的剛度降低，尤其是天線的服役環(huán)境復(fù)雜、多變時，天線陣面受到隨機、時變的動態(tài)載荷的作用而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，同時太陽輻射、濕度等也會引起陣面結(jié)構(gòu)材料參數(shù)的變化，導致天線陣面變形，使天線服役時可靠性降低[2-3]。為保障陣列天線在復(fù)雜、多變環(huán)境下工作的可靠性，很多學者將智能結(jié)構(gòu)引入天線陣面的結(jié)構(gòu)設(shè)計當中[4-5]。

目前，利用智能結(jié)構(gòu)控制天線陣面形狀已受到廣泛關(guān)注[6-9]。智能結(jié)構(gòu)控制陣面形狀主要完成有限量作動器或傳感器的布局和作動器調(diào)整量的確定。在陣面形狀控制中，作動器的位置至關(guān)重要，恰當?shù)淖鲃悠鞑贾貌粌H可以實現(xiàn)陣面形狀可控，而且所消耗的能量也最少[10]?，F(xiàn)階段已有部分文獻對結(jié)構(gòu)控制中作動器的布局進行了研究。文獻[11]分析總結(jié)了結(jié)構(gòu)控制中作動器優(yōu)化配置的準則，并結(jié)合典型的數(shù)值仿真案例進行了分析；文獻[12]基于懸臂板模型的最優(yōu)二次型建立目標函數(shù)，利用遺傳算法求解黎卡提代數(shù)矩陣方程，保證解P的跡最小，以P跡的最小值給出了作動器的最優(yōu)布局；文獻[13]從被控系統(tǒng)的可控性和可觀性角度出發(fā)，考慮模態(tài)截斷引起的誤差或溢出效應(yīng)，基于最小控制力建立作動器配置的目標函數(shù)，并利用遺傳算法給出了最佳作動器配置；文獻[10]基于參考輸入的特征函數(shù)展開，在模態(tài)坐標系下依次刪除互不相關(guān)的模態(tài)，選擇不同的作動器位置以保證模型可控矩陣的奇異值最大；文獻[14]基于模型最小存儲能量和最小控制力建立了作動器優(yōu)化的目標函數(shù)，通過混沌粒子群算法給出了最優(yōu)作動器配置；文獻[15]考慮了模型參數(shù)的不確定性，通過保證模型的格拉姆矩陣可控的最大化來進行作動器布局優(yōu)化，并利用遺傳算法進行作動器的優(yōu)化配置；文獻[16]通過虛功原理推導了反射面天線變形的均方根誤差與作動器輸入電壓的關(guān)系，保證反射面天線變形的均方根誤差最小，以此優(yōu)化配置作動器；文獻[17]以輸入能量吸收率為優(yōu)化目標函數(shù)，給出了壓電作動器抑制結(jié)構(gòu)振動時的最佳作動器配置。通過以上分析可知，已有文獻對作動器的優(yōu)化配置僅單方面考慮模型可控的最大化或精度最小，并未考慮模型可控時作動器布局方式能否滿足精度需求，或滿足模型期望精度時作動器布局方式是否可以保證模型可控。

1 形狀控制的原理

利用智能結(jié)構(gòu)控制輕薄陣列天線陣面形狀的原理如圖1所示。天線陣面受到復(fù)雜、惡劣環(huán)境載荷的影響，導致陣面變形，首先，通過分布在陣面上的傳感器來監(jiān)測陣面結(jié)構(gòu)變形；然后，經(jīng)基于控制算法的控制器產(chǎn)生驅(qū)動信號，進而控制作動器補償陣面結(jié)構(gòu)形狀，間接保障天線電性能。

圖1 輕薄陣列天線陣面形狀補償原理

利用有限元分析軟件對被控輕薄陣列天線的陣面模型進行網(wǎng)格劃分，如圖2所示。假設(shè)作動器布置在陣面有限元模型的第j節(jié)點處，可得到作動器在第j節(jié)點處施加某一作用力時第i節(jié)點的位移[18]：

(1)

圖2 節(jié)點間位移關(guān)系示意圖

用天線陣面有限元模型上所有節(jié)點的位移的均方根值來表示陣面變形誤差：

(2)

式中：m表示節(jié)點數(shù)。

令w=Δδ2，知w取最小值時存在：

(3)

由式(1)～式(3)可得：

F=(MN)-1(MG)

(4)

式中：

F=[f1f2…fn]T

當天線陣面作動器位置已知時，可通過式(4)給出保證陣面變形均方根誤差最小的任一作動器的輸出力大小。由于壓電類力矩作動器的輸出位移較小，處于微米級，因此，本文主要考慮輕型力作動器，作動器與陣面的連接關(guān)系示意見圖3。接下來討論作動器位置的確定方式。

2 作動器布局優(yōu)化準則

對于連續(xù)輕薄陣列天線陣面系統(tǒng)，有下式成立：

(5)

式中：M∈m×m、C∈m×m、K∈m×m分別表示系統(tǒng)的總質(zhì)量陣、總阻尼陣、總剛度陣；m×1分別為節(jié)點位移、速度、加速度列向量；F(t)∈m×1表示節(jié)點所受外載荷列向量；T(X)∈m×n、u(t)∈n×1分別為作動器的位置矩陣、輸出力向量；X為作動器的位置變量，這里用天線陣面有限元模型的單元節(jié)點編號表示作動器位置；n為作動器數(shù)目；m為節(jié)點數(shù)。

對矩陣T(X)作如下定義：

T(X)=[T1(X1)T2(X2) …Tn(Xn)]m×n

(6)

式中：Xi表示第i作動器的節(jié)點編號；Ti(Xi)∈m×1表示第i作動器所在位置列向量。

Ti(Xi)=[T1i(Xi)T2i(Xi) …Tji(Xi)]T

(7)

式中：i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

(8)

式中：1表示布置作動器；0表示無作動器。

假設(shè)天線陣面系統(tǒng)無阻尼，利用經(jīng)典模態(tài)分析方法，天線陣面的固有頻率ωi(i=1,2,…,m)和振型矩陣Φ∈m×k(k表示截斷模態(tài)數(shù))可以很方便地獲得。通常，存在ΦTMΦ=I∈m×m，ΦTKΦ=Λ∈m×m，其中，同時，根據(jù)模態(tài)疊加原理，將式(5)用狀態(tài)空間方程表示為：

(9)

為保證作動器補償后陣面變形均方根誤差最小，同時作動器輸出能量最小，則對于連續(xù)天線陣面系統(tǒng)有：

(10)

式中：Q、R分別表示輸出權(quán)系數(shù)對稱矩陣和控制權(quán)系數(shù)對稱矩陣，且Q為半正定矩陣，R為正定矩陣；t0、tf分別表示有限時間控制器的時間上、下界。

公式(10)的最優(yōu)解為：

(11)

式中：x0表示狀態(tài)向量x(t)的初始值；P、δ、φ見式(12)～式(14)。

(12)

(13)

(14)

式(11)～式(14)中P為正定對稱矩陣的充分條件為：Q=Im×m且(A,B)完全能控。

根據(jù)式(9)可知，變量X≠0時，總有矩陣M滿秩，這里選取Q=Im×m，證明如下：

∵M= [BAB…A2k-1B]=

而元素ΦTT(X)和-ΛΦTT(X)都非零，因此rank(M)=2k，即矩陣M滿秩，(A,B)完全能控。

▽J*(x0)=Px0-δ=0

(15)

時，J*最小。解得x0=P-1δ。

因此公式(10)的最優(yōu)解為：

(16)

其中：

在形狀控制中，作動器的位置是保證被控系統(tǒng)在控制力的作用下獲得最佳精度或性能的關(guān)鍵，而如何布置作動器的位置是一類組合優(yōu)化問題。根據(jù)上述分析，可得如下的作動器布置的優(yōu)化模型：

Findh=(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)

(17)

3 遺傳算法

遺傳算法是1975年美國密歇根大學的Holland教授提出的一種仿生算法，即模擬生物進化的算法。它是從一個初始種群出發(fā)，不斷重復(fù)執(zhí)行選擇、交叉和變異的過程，使種群變化越來越接近某一目標。此類算法可以有效地解決0-1組合優(yōu)化問題，因此本文選取遺傳算法來確定作動器的布置，以公式(17)中的目標函數(shù)作為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)。本優(yōu)化模型的設(shè)計變量為離散整數(shù)變量，優(yōu)化時將其視為連續(xù)變量產(chǎn)生種群，然后對種群內(nèi)各個體進行取整運算，再映射至附近的節(jié)點，最后進行適應(yīng)度評估。

4 數(shù)值仿真

為了驗證本文優(yōu)化準則的適用性和有效性，證明該方法可以有效地實現(xiàn)系統(tǒng)的靜態(tài)形狀控制和作動器位置布局，將其應(yīng)用到懸臂式陣列天線和圓形孔徑陣列天線。

4.1 懸臂式陣列天線

目前，機翼天線和星載天線多為懸臂式，此類型天線具有陣面輕薄、服役中易產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形等缺點，且在翼根處表現(xiàn)為小變形，翼尖處表現(xiàn)為大變形。因此本文采用如圖4所示的懸臂式天線有限元模型進行應(yīng)用驗證，天線安裝方式為懸臂式安裝。選取此有限元模型為shell63單元，模型約束方式可根據(jù)文獻[12]確定。對懸臂式陣列天線有限元模型施加重力載荷和-10 N的部分節(jié)點載荷(圖4中用紅色圓點表示)，產(chǎn)生初始形變量，其中彈性模量為21×1010N/m2，泊松比為0.3，密度為7 810 kg/m3，長寬高分別為500 mm、500 mm、2 mm。選取截斷模態(tài)數(shù)k= 6。與文獻[12]中的振型頻率作對比，如表1所示。

圖4 懸臂式陣列天線有限元模型

模態(tài)數(shù)對比模型/Hz本模型/Hz17.1906.936 9217.90017.045 0343.68242.625 0455.64454.381 0564.57162.125 06109.220108.770 0

通過文中所給的作動器位置優(yōu)化準則，給定作動器個數(shù)n= 6，利用遺傳算法進行布局優(yōu)化，設(shè)置作動器間距的最小值d0= 50 mm，遺傳算法各參數(shù)設(shè)置見表2，得到圖5所示的結(jié)果(黑色實心圓圈代表作動器位置)。根據(jù)作動器力計算公式(4)得到調(diào)整前后天線陣面變形圖，如圖6所示。

圖5 優(yōu)化后的作動器位置

種群大小交叉概率變異概率遺傳代數(shù)1000.880.01200

圖6 作動器調(diào)整前后陣面變形對比圖

通過以上數(shù)值分析可知，數(shù)學模型(17)確定的懸臂式陣列天線模型的作動器布局合理且有效。在此作動器布局下，天線陣面的變形得到調(diào)整，且精度提高了85%以上。

4.2 圓形孔徑陣列天線

在發(fā)射等幅輸出情況下，圓形孔徑陣列天線的發(fā)射最大副瓣低于矩形孔徑陣列天線，因此將圓形孔徑的陣列天線作為能量傳輸?shù)陌l(fā)射天線尤為合適，如空間太陽能電站的發(fā)射天線。但太空中環(huán)境復(fù)雜多變，圓形孔徑陣列天線不可避免會產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，導致波束指向發(fā)生偏移，因此，需要有效地控制天線陣面變形。

考慮如圖7所示的圓形孔徑陣列天線的陣面模型，天線輻射單元為貼片單元，陣面背部安裝力作動器。支撐方式采用三點支撐，支撐半徑參考文獻[19]。陣面口徑為600 mm，陣面厚度為2 mm，陣面其余參數(shù)見表3。

圖7 圓形孔徑陣列天線陣面有限元模型

彈性模量/(N·m-2)泊松比密度/(kg·m-3)21×10100.37 810

分別取作動器個數(shù)n= 8和n= 12進行仿真驗證，優(yōu)化模型見公式(17)，遺傳算法各參數(shù)設(shè)置同前例，仿真驗證結(jié)果見圖8和圖9。為方便表示，圖中作動器位置統(tǒng)一用紅色實心點表示，作動器間距最小值d0= 50 mm。

圖8 作動器(n=8)位置示意圖

圖9 作動器(n=12)位置示意圖

圓形孔徑陣列天線陣面作動器位置確定后，經(jīng)陣面形狀控制方程(式(4))計算得到陣面變形補償前后陣面位移云圖，如圖10所示。分析可知，天線陣面在重力作用下的陣面變形均方根誤差為0.098 8 mm，經(jīng)作動器補償后陣面變形均方根誤差減小了80%以上，尤其是當作動器個數(shù)n= 12時，陣面變形均方根誤差減小了90%以上。

圖10 作動器補償前后位移云圖

5 結(jié)束語

現(xiàn)階段，對陣列天線的陣面或反射面天線的面板的主動調(diào)控越來越重要，而作動器的布局在天線陣面主動形狀控制中占據(jù)關(guān)鍵位置，不恰當?shù)淖鲃悠魑恢脮е玛嚸嫦到y(tǒng)不可控等不確定情況。本文在考慮天線陣面系統(tǒng)可控的基礎(chǔ)上，以作動器補償后陣面變形均方根誤差最小，同時所消耗的控制能量最小為目標，給出了作動器布局優(yōu)化準則。分析結(jié)果表明，在該準則下確定的作動器布局可保證輕型陣列天線陣面的變形誤差減小80%以上，同時確定了遺傳算法對于給定數(shù)量的作動器可以有效得到其最佳位置。