大射電望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)輸出滯后補償方法*

章丹丹，保 宏，尉勝騰，許 謙

(1. 西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室， 陜西 西安 710071；2. 中國科學(xué)院新疆天文臺, 新疆 烏魯木齊 830011)

引 言

大口徑、高頻段是射電望遠(yuǎn)鏡的發(fā)展趨勢。然而大口徑導(dǎo)致射電望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)固有頻率降低和柔性增加，高頻段要求射電望遠(yuǎn)鏡具有更高的指向精度，這勢必為大口徑高頻段射電望遠(yuǎn)鏡伺服指向控制系統(tǒng)的設(shè)計和實現(xiàn)帶來巨大的挑戰(zhàn)。因此，高精度伺服指向控制成為當(dāng)前射電望遠(yuǎn)鏡的關(guān)鍵技術(shù)。

為了滿足大口徑射電望遠(yuǎn)鏡伺服指向控制系統(tǒng)高精度的要求，先后有眾多學(xué)者對此進行了研究，并且提出了一系列方法。在口徑較小的天線中，傳統(tǒng)的比例積分(PI)控制算法就可以取得很好的控制效果[1]。而PI控制器在調(diào)節(jié)的過程中會出現(xiàn)積分飽和現(xiàn)象，只單純的調(diào)節(jié)PI增益會導(dǎo)致系統(tǒng)的高頻不確定性，進而使大口徑射電望遠(yuǎn)鏡的諧振情況無法估計，從而難以保證其高精度指向要求[2]。為了提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，減小結(jié)構(gòu)諧振對伺服控制性能的影響，有學(xué)者將凹口濾波器和PI控制器結(jié)合用于伺服系統(tǒng)的設(shè)計中。但是由于大射電望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)柔性增大導(dǎo)致固有頻率密集存在著不確定性且在不同仰角下基頻會發(fā)生變化，在實際工程中凹口濾波器并不能精確抑制大射電望遠(yuǎn)鏡的諧振現(xiàn)象[3]。文獻[4]提出了線性二次型高斯(LQG)控制方法，構(gòu)造高頻諧振估計器，有效抑制大射電望遠(yuǎn)鏡的高頻諧振。然而LQG控制器是基于數(shù)學(xué)模型設(shè)計的，大口徑天線的模型不易推導(dǎo)，故文獻[5]提出了基于輸入輸出的子空間建模方法，但是該方法未反映出系統(tǒng)的物理意義。為了解決由外界擾動以及模型攝動存在導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定問題，文獻[6]提出了H∞控制方法，可以保障系統(tǒng)的魯棒性[7-9]，但是其不確定性函數(shù)在工程實踐中難以獲得。大口徑射電望遠(yuǎn)鏡的工作環(huán)境使得擾動等隨機誤差成為影響高控制精度的因素，文獻[10]將自抗擾控制技術(shù)運用于大口徑射電望遠(yuǎn)鏡的伺服控制，雖然該技術(shù)可以有效的抵抗外界擾動，但是對于射電望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)的柔性卻不能處理。上述文獻均未考慮到大口徑天線的輸出滯后問題，滯后的存在使得系統(tǒng)動態(tài)性能下降，指向精度降低，容易引起超調(diào)和振蕩。尤其對于大型柔性結(jié)構(gòu)來說，一旦受到擾動的作用，其振動將會持續(xù)很長時間，如不及時抑制，不僅會影響裝置的精度，甚至可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的損壞。

本文針對大口徑天線的輸出滯后問題，提出了一種輸出滯后魯棒控制器設(shè)計方法，該方法的優(yōu)點是可以在系統(tǒng)不確定性以及擾動的作用下維持自身的穩(wěn)定性以及動態(tài)性能。本文章節(jié)內(nèi)容如下：第1節(jié)簡要介紹將時間滯后等價成擾動問題，第2節(jié)設(shè)計輸出滯后魯棒控制器，第3節(jié)通過半實物仿真平臺實驗驗證了該方法的可靠性，最后對本文進行了總結(jié)。

1 提出問題

大口徑天線的第i階模態(tài)的狀態(tài)空間方程[11]可以表示為

(1)

其中，

(2)

(3)

式中：Ami、Bmi、Cmi分別表示第i階模態(tài)對應(yīng)的狀態(tài)矩陣，輸入矩陣和輸出矩陣，i=1對應(yīng)的是剛性模態(tài)，i=2,3,…,n對應(yīng)的是柔性模態(tài)。由于大口徑天線剛性的存在，其大慣量會帶來輸出滯后問題。輸出滯后的存在使得被控量不能及時的反應(yīng)系統(tǒng)所承受的擾動，這對系統(tǒng)的工作非常不利，尤其是在大口徑射電望遠(yuǎn)鏡對指向精度要求較高的情況下。

根據(jù)天線模型式(1)可以得出其傳遞函數(shù)，即G(s)=Cmi(sI-Ami)-1Bmi，如果只關(guān)注輸入和輸出滯后，可將具有輸出滯后的天線系統(tǒng)簡化為如圖1所示。

圖1 具有輸出滯后的天線系統(tǒng)

將輸出滯后等效成擾動即Dnet(s)：

Dnet(s)=U(s)-U(s)e-Ts

(4)

B(s)=U(s)-[U(s)-U(s)e-Ts]=U(s)e-Ts

(5)

式中：T表示滯后時間。

那么圖1可轉(zhuǎn)化為圖2所示的系統(tǒng)。

圖2 等效成擾動后的系統(tǒng)

此時系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如式(6)所示：

(6)

式中：A、b、c分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣；x(t)、y(t)分別代表系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸出。

因此，圖1所示的系統(tǒng)中輸出滯后可以等效為圖2中的外部擾動，同時摩擦和間隙也會導(dǎo)致系統(tǒng)輸出滯后，使系統(tǒng)的精度降低，動態(tài)品質(zhì)下降。

2 輸出滯后魯棒控制器設(shè)計

2.1 確定擾動的邊界

通常在進行魯棒控制器設(shè)計時需要知道不確定性邊界，在這里采用基于魯棒階躍響應(yīng)辨識方法[13]確定擾動的邊界，其基本思想如下：加入階躍響應(yīng)信號來引起系統(tǒng)明顯的動態(tài)響應(yīng)，然后在系統(tǒng)響應(yīng)近似進入穩(wěn)定狀態(tài)后移除該信號，最后通過采集到的數(shù)據(jù)進行參數(shù)辨識。

已知天線的模型式(1)可以用如下的一般式表示，即：

(7)

考慮到輸出滯后時，相應(yīng)的時域響應(yīng)為

any(n)(t)+…+a1y(t)+a0y(t)=bmu(m)(t-τ)+

…+b0u(t-τ)+l(t)

(8)

式中：y(t)表示系統(tǒng)輸出；u(t)表示系統(tǒng)輸入；l(t)表示由于負(fù)載干擾而形成的系統(tǒng)輸出的偏差；τ表示系統(tǒng)的滯后時間；b0/a0為系統(tǒng)的增益。

對式(8)兩邊分別進行n+1次積分，然后重新整理得到參數(shù)估計的最小二乘式：

Ψ(t)=φT(t)γ+ε(t)

(9)

式中：Ψ(t)表示對y(t)的積分；γ表示估計參數(shù)矢量；ε(t)表示殘留誤差；φ(t)表示對u(t-τ)的積分。通過求解式(9)，可以得到式(8)中的所有常數(shù)項即b0,b1,…,bm,a0,a1,…,an和τ，從而確定擾動的邊界。

2.2 輸出滯后魯棒控制器設(shè)計

大射電望遠(yuǎn)鏡伺服控制系統(tǒng)中摩擦、間隙和大慣量造成的滯后對系統(tǒng)影響較大，并且在第一部分中已經(jīng)把輸出滯后部分等效成了擾動。擾動的存在使得系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生不規(guī)律的振動，同時射電望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)柔性使得其在跟蹤過程中產(chǎn)生柔性振動，兩種振動疊加在一起對系統(tǒng)的性能造成了損害。考慮擾動和不確定性后，該伺服系統(tǒng)的控制框圖可用如圖3所示的形式表示，圖中r為參考輸入；d為擾動輸入；yd為控制輸出；u為控制器輸入；e為控制誤差；Pr表示實際系統(tǒng)；Pn為被控系統(tǒng)標(biāo)稱模型；Δs為模型不確定性。

圖3 伺服系統(tǒng)控制框圖

伺服控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)Ln(ω)為

Ln(ω)=Pr(ω)K(ejωτ)

(10)

則系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)為

(11)

補靈敏度函數(shù)為

(12)

在尋找控制器時，應(yīng)選擇一個權(quán)重函數(shù)Wp(ω)對靈敏度函數(shù)進行加權(quán)，Wp(ω)的值可以根據(jù)式(4)確定。選擇權(quán)重函數(shù)Wu(ω)對補靈敏度函數(shù)進行加權(quán)，Wu(ω)可表示為

(13)

權(quán)重函數(shù)Wp和Wu確定后，系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)和補靈敏度函數(shù)也能確定，魯棒控制器K的傳遞函數(shù)就得到了。把伺服系統(tǒng)與LQG柔性控制器看成一個總的被控系統(tǒng)。在PI+LQG傳統(tǒng)控制方法的基礎(chǔ)上針對擾動設(shè)計輸出滯后魯棒控制器，把這兩者相乘結(jié)合，可以得到一個理想的魯棒控制器，如圖4所示：K代表魯棒控制器；r是參考信號；e是誤差信號；d是擾動信號；y是負(fù)載轉(zhuǎn)角。

圖4 魯棒控制器結(jié)構(gòu)圖

3 實驗算例

將本文中的方法應(yīng)用到半實物仿真平臺中檢驗該輸出滯后魯棒控制器的應(yīng)用效果。實驗裝置包括主機、IMDU驅(qū)動平臺、皮帶、負(fù)載配重(銅塊)、功率放大器和Q8板卡。該實驗平臺可以使用Matlab直接編譯，操作簡單?？刂茖ο笫荌MDU系統(tǒng)，主要包括4根軸，2根電機軸和2根負(fù)載軸。每根軸在模塊內(nèi)部都裝有編碼器用來測量軸的轉(zhuǎn)動角度，由線性電流放大器來驅(qū)動每個直流電機。首先，把IMDU模塊中的一根電機軸與一根負(fù)載軸用皮帶連接起來；然后，將儀器的輸入輸出接口與Q8板卡相接，這樣儀器、板卡和主機就構(gòu)成了一個閉環(huán)回路，在連接好系統(tǒng)之后，利用Matlab語言和Simulink構(gòu)建控制框圖。接著把控制框圖編譯成代碼并下載到主機相應(yīng)的目錄中；最后，打開所有硬件開關(guān)，在Simulink中運行控制框圖，在顯示器上就能看到物理量的大小和變化情況。最終的實驗?zāi)繕?biāo)是使系統(tǒng)在擾動和時間滯后存在的條件下依然能快速穩(wěn)定的跟蹤參考信號。

利用階躍響應(yīng)辨識方法，對兩慣量半實物系統(tǒng)進行辨識，其中負(fù)載軸上安裝了4個銅塊作為負(fù)載。給系統(tǒng)施加一定的電壓與滯后時間，采集負(fù)載軸的角速度信號，然后對其進行程序運算處理，辨識得到系統(tǒng)速度環(huán)傳遞函數(shù)，進而求得各個參數(shù)。

從力矩到負(fù)載軸角速度的傳遞函數(shù)為

G(s)=

(14)

式中：B1表示電機粘性阻尼；B2表示負(fù)載粘性阻尼；J1表示電機的轉(zhuǎn)動慣量；J2表示負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量；Ks表示扭轉(zhuǎn)剛度；τ表示滯后時間。

具體實驗步驟為：先施加給系統(tǒng)6.285 A的電流，此時電機的輸出力矩為0.39 N·m，待負(fù)載軸轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，增大電流至7.854 A，此時電機的輸出力矩為0.48 N·m，開始采集負(fù)載軸角速度數(shù)據(jù)，當(dāng)負(fù)載軸角速度再次趨于穩(wěn)定時，減少電流至6.285 A，繼續(xù)采集數(shù)據(jù)至轉(zhuǎn)速穩(wěn)定。最終對采集得到的數(shù)據(jù)進行處理，得到辨識結(jié)果為

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)，得到B1、B2、Ks、J1、J2和τ，與理論值對比見表1。

表1 辨識結(jié)果對比

根據(jù)式(4)，性能權(quán)重函數(shù)取為

(16)

不確定性權(quán)重函數(shù)Wu(ω)按照參數(shù)辨識的誤差及經(jīng)驗，取為

(17)

魯棒控制器傳遞函數(shù)為

(18)

實驗分為4種情況：1)無滯后系統(tǒng)，采用圖4所示的傳統(tǒng)控制方法；2)含滯后系統(tǒng)仍采用傳統(tǒng)控制方法，其中滯后時間τ=0.1 s；3)無滯后系統(tǒng)，采用圖4所示本文提出的控制方法；4)含滯后時間系統(tǒng)，采用本文提出的控制方法，滯后時間τ=0.1 s。將這4種情況的實驗結(jié)果進行對比。實驗框圖如圖5所示。

圖5 實驗框圖

系統(tǒng)參考信號為25°階躍信號，實驗得到的對比圖如圖6所示。

圖6 4種情況對比圖

由圖6可知：無滯后系統(tǒng)，采用如圖4所示的傳統(tǒng)控制方法，系統(tǒng)在1.2 s 時到達(dá)穩(wěn)定；含滯后系統(tǒng)，仍采用傳統(tǒng)控制方法，此時系統(tǒng)出現(xiàn)了明顯的超調(diào)量和連續(xù)的振蕩，其中最大振蕩時超調(diào)量為52%，需要較長時間才能到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，控制效果較差；采用本文的控制方法后，在無滯后系統(tǒng)和含滯后系統(tǒng)中，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時間為3 s，與無滯后系統(tǒng)采用傳統(tǒng)方法相比時間變長，但相比于有滯后系統(tǒng)采用傳統(tǒng)控制方法來說，超調(diào)量顯著下降40%，且在3 s時就穩(wěn)定。

從實驗結(jié)果對比圖可知：加入魯棒控制器后，含滯后系統(tǒng)的性能得到了明顯的改善和提高，充分發(fā)揮了魯棒控制器可以減少外界擾動對系統(tǒng)的影響，保證一定指向精度的作用。

4 結(jié)束語

本文針對大口徑射電望遠(yuǎn)鏡存在的輸出滯后問題，提出了一種新的基于魯棒控制的方法。通過大量的仿真并在IMDU兩慣量系統(tǒng)上進行了實驗，得到了如下結(jié)論：

1)本文提出的方法可以有效地抵抗擾動；

2)僅在傳統(tǒng)控制方法的基礎(chǔ)上加上一個魯棒控制器，操作簡單，易于實現(xiàn)，針對同一實驗?zāi)Ｐ筒捎?種控制方法進行對比，發(fā)現(xiàn)加入輸出滯后魯棒控制器后，系統(tǒng)的性能得到了提高和明顯的改善；

3)本文中滯后時間是定值，尚未考慮到其在一定范圍內(nèi)變化時的情況，后續(xù)將會在這一方面繼續(xù)研究。