單人步行荷載模型研究

謝偉平， 章 濤， 何 衛(wèi)， 馮金鵬

(1. 武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070；2. 武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430070)

隨著大跨輕柔結(jié)構(gòu)的逐步發(fā)展，人致振動問題日益凸顯。對于該類問題的研究，重點和難點在于人行荷載的模擬，國內(nèi)外學(xué)者們在該領(lǐng)域已開展了大量關(guān)于人行荷載模擬的研究工作。步行荷載模型有不考慮相互作用的時域力模型和考慮相互作用生物動力模型兩類。迄今為止，在該領(lǐng)域已經(jīng)取得了較多的成果，現(xiàn)在面臨的問題是，對于現(xiàn)有的這些模型，我們該如何選取，以便更精確的預(yù)測結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，關(guān)于這一方面的研究，國內(nèi)外尚未見文獻報道。本文基于最基礎(chǔ)的單人步行荷載，開展不同荷載模型的對比分析與實驗驗證工作，為單人步行荷載模型的選取提供參考。

人與大跨輕柔結(jié)構(gòu)之間存在不可忽略的相互作用[8]，為了研究這種相互作用，人體被簡化為不同形式的彈簧、質(zhì)量和阻尼(Spring Mass Damper, SMD)系統(tǒng)。Archblod[9]認為不考慮相互作用對于單人和人群響應(yīng)預(yù)測都會偏于保守。Kim等[10]基于生物力學(xué)領(lǐng)域的雙足行走模型(Bipedal Walking Model, BWM)，提出了具有時不變阻尼的雙足模型。秦敬偉等[11]在Kim的基礎(chǔ)上進行改進，提出了具有時變阻尼和反饋機制的新雙足模型，使得每一步的起始足底反力能從零開始并且保持人體平衡。何衛(wèi)，謝衛(wèi)平等[12-13]分析了結(jié)構(gòu)上人體對結(jié)構(gòu)動力特性的影響，并基于雙足模型分析了人-結(jié)構(gòu)相互作用對足底反力的影響。謝旭等[14]采用BWM對一人行橋的計算結(jié)果表明不考慮相互作用的計算結(jié)果明顯大于考慮相互作用的計算結(jié)果。丁陽等[15]基于靜止人體的兩自由度SMD模型[16]，構(gòu)建了考慮相互作用的隨機人行荷載模型，其認為考慮相互作用會降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)。Silva等[17]基于單自由度自激勵A(yù)SMD模型(Actuator Spring Mass Damper，ASMD)，通過實驗?zāi)B(tài)分析得到了人體行走狀態(tài)下的模型參數(shù)，簡化了人體行走模型。

對已有步行荷載模型進行評述，分析了模型各自的特點及適用范圍；在此基礎(chǔ)上，建立了包含亞諧分量自激勵的ASMD模型Ⅱ，并開展人致振動實驗對其進行了驗證。

1 步行荷載模型

不考慮相互作用的時域力模型有連續(xù)的傅里葉級數(shù)模型和單步落足“M”曲線兩種形式，SMD模型有BWM模型和ASMD模型，見表1所列。本節(jié)將對這五種步行荷載模型進行評述。

表1 人行荷載模型

1.1 不考慮相互作用的時域力模型

1.1.1 模型A1：IABSE模型

國內(nèi)外學(xué)者對動載因子(Dynamic Load Factor，DLF)取值進行了豐富的研究工作，比較有代表性為Kerr和陳雋的實驗研究工作，兩者的研究結(jié)果均表明：在正常步頻范圍內(nèi)，一階DLF的取值隨步頻的增大而增大，高階DLF與步頻相關(guān)性不明顯。

國際橋梁與結(jié)構(gòu)工程協(xié)會(IABSE)推薦使用三階傅里葉級數(shù)模型來描述步行荷載，如式(1)所示。

(1)

式中：F(t)為步行荷載；G為人體自重；fp為步頻；t為時間；ai為第i階動載因子，φi為第i階諧波初相位，α1=0.4+0.25(fs-2)，α2=α3=0.1，φ1=0，φ2=φ3=π/2。

圖1為一階DLF隨步頻的變化關(guān)系，由圖可知，IABSE模型的一階DLF取值在低頻偏大，偏于保守考慮，以IABSE模型為連續(xù)傅里葉級數(shù)模型的代表進行后續(xù)分析。

圖1 第一階動載因子 Fig.1 First order dynamic load factor

1.1.2 模型A2：單步落足曲線

單步足底反力表現(xiàn)為“M”曲線，其加載方式在空間上以步幅為增量，在每個落足點進行加載，表現(xiàn)為多點時滯激勵。聶建國和陳宇等基于Young提出的連續(xù)傅里葉級數(shù)模型，逆向構(gòu)建了包含五階頻率分量的標準單步落足“M”曲線，表達式為

(2)

式中：F(t)為單步落足力；t為時間；αi為第i階動載因子；Te為單步足底接觸時間，Te=1/0.76fp，fp為步頻。

圖2 模型A2和A3足底反力 Fig.2 Ground reaction force of model A2 and A3

如圖2所示為體重80 kg，步頻為2 Hz時的單步落足力，模型A2相對IABSE模型而言，加載方式能更加真實的反映人行走過程中的空間變化和雙腿交替的過程，且不含初始相位，簡化了模型參數(shù)。

1.2 考慮相互作用的SMD模型

1.2.1 模型A3：雙足步行模型

BWM包含人體質(zhì)量m、雙腿彈簧k、阻尼c、沖切角θ和腿長l，如圖3所示。BWM模型在行進過程中，每一步起始時刻人腿的軸向速度都不為零，Kim提出的腿部阻尼恒定假設(shè)會使得每一步的起始足底反力不為零。秦敬偉提出的具有時變阻尼和反饋機制特性的新BWM模型，使每一步的足底反力能從零開始并且保持人體平衡。

BWM與人體表觀特征相近，具有以下特點：

(1)BWM將腿部簡化為彈簧阻尼模型，通過支撐腿與隨動腿的轉(zhuǎn)換模擬人體系統(tǒng)的行走過程，產(chǎn)生的足底反力表現(xiàn)為單步落足曲線，與輕柔結(jié)構(gòu)之間的相互作用會使得腿部收縮量增大，導(dǎo)致足底反力增大，如圖2所示。

(2)BWM輸入?yún)?shù)較多，且難以觀測(如腿的支撐剛度等)；模型相對復(fù)雜，對于人群響應(yīng)的應(yīng)用難于實現(xiàn)。

雙足模型數(shù)值程序驗證工作可見文獻[13]，此處不再贅述。

圖3 雙足行走模型Fig.3 Bipedal walking model

1.2.2 模型A4：ASMD模型Ⅰ

人體行走的過程中存在自激勵現(xiàn)象，學(xué)者們在單自由度SMD的基礎(chǔ)上，用簡諧力來表示內(nèi)部自激勵，構(gòu)建了具有內(nèi)部自激勵的ASMD模型[19]來模擬運動人體，如圖4所示。圖中彈簧、質(zhì)量塊和阻尼表示人-結(jié)構(gòu)相互作用部分，A表示自激勵部分。

Sliva和Pimentel等以20名受試者為研究對象，將加速度傳感器安裝固定在其腰部，基于ASMD模型，通過實驗?zāi)B(tài)分析方法擬合得到了行走狀態(tài)下的模型參數(shù)m，c和k，見下式：

(3)

式中：mh為人體質(zhì)量；fp為步頻；m，c和k為單自由度模型的質(zhì)量、阻尼和彈簧剛度。

圖4 單自由度行走模型Fig.4 Single degree of freedom model for walking

Sliva等取Kerr的前三階傅里葉級數(shù)作為自激勵，如式(4)所示，構(gòu)建了ASMD模型Ⅰ。

(4)

式中：A1(t)為自激勵，各參數(shù)的含義與模型A1相同，fp為步頻；第二、三階動載因子分別取值為0.07和0.05；第一階動載因子表達式為

(5)

圖5為人體質(zhì)量為80 kg，步頻為2 Hz的ASMD模型和Matsumoto等[16]靜止站立模型的歸一化表觀質(zhì)量幅頻特性。從中可知，ASMD模型與靜止站立模型不同，人體行走過程中只有部分質(zhì)量參振。

圖5 圖 5人體歸一化表觀質(zhì)量幅頻曲線Fig.5 Normalized apparent mass response functions

1.2.3 模型A5：ASMD模型Ⅱ

Dey等[20]在輕型鋁橋上開展了人致振動實驗，實測響應(yīng)中出現(xiàn)了顯著的瞬態(tài)振動，包含各階亞諧分量；采用不考慮亞諧分量的數(shù)值模擬結(jié)果瞬態(tài)響應(yīng)十分微弱，不包含各階亞諧分量；其只對主諧動載因子的取值進行了修正，并沒有考慮亞諧分量。本文在輕質(zhì)人行橋上進行單人行走實驗時也發(fā)現(xiàn)，實測響應(yīng)中出現(xiàn)了顯著的亞諧頻率分量，且隨著人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的增加，亞諧分量更顯著；在亞諧共振區(qū)時，模型A1、A2和A4的計算結(jié)果與實測結(jié)果相比偏小，且存在亞諧頻率成分缺失。

Zivanovic基于頻域逆向構(gòu)建了包含多階主諧和亞諧分量隨機時域荷載模型，每次構(gòu)建單人荷載需在[0,2π]之間隨機生成400個初相位，計算結(jié)果具有一定的離散性，需要獲取統(tǒng)計結(jié)果，應(yīng)用起來比較復(fù)雜。為便于揭示上述實驗現(xiàn)象，在模型A4的基礎(chǔ)上進行改進，引入Zivanovic的亞諧分量，將模型A4中的自激勵改進為A2(t)，見式(6)，建立了ASMD模型Ⅱ。

(6)

(7)

模型A5包含了由于雙腿交替不對稱產(chǎn)生的亞諧頻率分量，更加細致的反映了步行力特征。

2 荷載模型對比分析

將模型A1～A5應(yīng)用到不同頻率的結(jié)構(gòu)上，比較各模型結(jié)果之間的差異性。人體質(zhì)量取85 kg，步頻為1.7 Hz，以模型A1為基準，只考慮二、三階倍頻共振，結(jié)構(gòu)頻率變化范圍為2.0 ～ 5.5 Hz。雙足模型參數(shù)依據(jù)謝偉平等研究取值為：質(zhì)量為85 kg，阻尼比為8%，剛度為21.25 kN/m，腿長取1.0 m，沖切角為69°，初始輸入能量為855.5 J。

定義標準加速度為：

as=apM0/mh

(8)

式中：as為標準加速度；ap為加速度峰值；M0為結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量；mh為人體質(zhì)量。

圖6為標準加速度計算結(jié)果，模型A5由于包含步頻亞諧分量，與其他模型相比存在亞諧共振區(qū)，從中可知：

(1)在亞諧共振區(qū)：除模型A3外，模型A5的計算結(jié)果與其他模型相比偏大；模型A3僅在二階亞諧共振區(qū)時，其計算結(jié)果才表現(xiàn)為偏大，在高頻區(qū)無明顯偏大現(xiàn)象，與秦敬業(yè)等的結(jié)論一致。

(2)在倍頻共振區(qū)：模型A1計算結(jié)果顯著大于A5，表明不考慮相互作用會放大結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)，這與Archbold和丁陽的結(jié)論一致；模型A5在二階步頻共振區(qū)與A3結(jié)果相當，在高頻區(qū)共振區(qū)略大于其結(jié)果；A4的自激勵動載因子偏小，所以計算結(jié)果較小。

圖6 標準加速度計算結(jié)果Fig.6 The standard acceleration calculation results

3 荷載模型實驗驗證

本節(jié)在基頻不同的兩單跨簡支人行橋上進行單人行走實驗，驗證上節(jié)的數(shù)值分析結(jié)果和ASMD模型Ⅱ的有效性。

3.1 剛度較小人行橋

3.1.1 結(jié)構(gòu)模型

人行橋全長10.5 m，兩邊簡支，計算跨度為10.3 m，寬1.0 m，該結(jié)構(gòu)有未敷設(shè)混凝土和敷設(shè)混凝土前后兩種狀態(tài)，圖7所示為未敷設(shè)混凝土狀態(tài)。對敷設(shè)前后兩種結(jié)構(gòu)進行模態(tài)測試，結(jié)構(gòu)動力特性如表2所列。

圖7 人行鋼橋(未敷設(shè)混凝土)Fig.7 Pedestrian Bridge (without deck)

3.1.2 實驗結(jié)果分析

在節(jié)拍器的引導(dǎo)下，體重為85 kg的受試者S1在上述結(jié)構(gòu)上進行了不同步頻下的單人行走實驗，實驗工況詳情及實測結(jié)果見表2所列，工況二為參考組。

表2 實驗工況與結(jié)果

圖8 工況二實測結(jié)果Fig.8 Measured result in case 2

圖9 工況二實測結(jié)果頻譜Fig.9 Measured result spectrum in case 2

圖8和9為工況二實測結(jié)構(gòu)跨中加速度響應(yīng)時程和頻譜，由圖可知，響應(yīng)頻譜中包含了多階主諧和亞諧頻率分量，亞諧貢獻突出。為了定量分析響應(yīng)中亞諧分量的影響程度及變化規(guī)律，定義亞諧幅值比例系數(shù)μ和αi為：

式中：mi和si分別為響應(yīng)頻譜在第i階主諧和亞諧頻率處的幅值。

圖10為四種工況下的比例系數(shù)μ和αi計算結(jié)果，由圖可知，四種工況中亞諧分量處所貢獻的結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值均占有較大的比重，比例系數(shù)μ高達37%～45%，其中以第二階亞諧分量(與結(jié)構(gòu)基頻相近)占主導(dǎo)。工況一中各階亞諧分量幅值都比較顯著，與工況二相比可知，隨著人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的減小，μ減小而α2增大，其余各階亞諧分量占比均減小。

以上分析表明：當人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比較大時，各階亞諧分量所貢獻的結(jié)構(gòu)響應(yīng)都會很顯著；隨著質(zhì)量比的增加，亞諧分量的影響會減弱，并逐漸以基頻亞諧分量的影響為主。

圖10 比例系數(shù)Fig.10 The coefficient of proportionality

3.1.3 荷載模型驗證

結(jié)構(gòu)M1和M2的基頻落入亞諧共振區(qū)，采用模型A1～A5對上述四種工況進行計算。受試者S1的雙足模型參數(shù)為：質(zhì)量為85 kg，阻尼比為8%，剛度為21.25 kN/m，沖切角為69°，腿長取1.0 m，工況一至四初始輸入能量為依次為：858 J、858 J、866 J和876 J。

表3為上述四種工況下各模型跨中加速度峰值計算結(jié)果，由表可知，模型A1、A2和A4忽略了亞諧分量，與實測結(jié)果相比，其計算結(jié)果明顯偏小，工況三中誤差達到最大，分別為-31.0%、-32.7%和-49.6%。模型A3計算結(jié)果整體偏大，工況一中誤差高達83.4%，這是因為結(jié)構(gòu)頻率較低，模型A3與結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了顯著的相互作用所致。模型A5的計算結(jié)果與實測相比，工況三中誤差最大，高達13.02%；這是因為人體行走過程在一定程度上具有變異性，不能完全產(chǎn)生亞諧共振；相比之下，A5與實測結(jié)果吻合較好。

為了進一步驗證A5的適用性，令體重分別為60.5 kg、64.5 kg和73.5 kg的三受試者S2、S3和S4在節(jié)拍器的控制下，在結(jié)構(gòu)“M2”上以亞諧共振步頻1.855 Hz行走。

表4為S2-S4的實測與數(shù)值結(jié)果，從中可知，A5的誤差在10% 以內(nèi)，與實測結(jié)果吻合較好，其余模型的誤差與S1的結(jié)果一致。

表3 S1的實測與數(shù)值結(jié)果

圖11為工況二的加速度時程和頻譜，模型A4與A1的頻譜特性相近，A2與A3的頻譜特性相近，故只給出了模型A1、A3和A5的頻譜。從中可知，模型A1～A4的頻譜基頻響應(yīng)貢獻偏小，模型A5的基頻響應(yīng)顯著，且包含相應(yīng)的亞諧分量，與實測結(jié)果吻合較好。

表4 S2-S4實測與數(shù)值結(jié)果

以上分析表明：當結(jié)構(gòu)基頻落入亞諧共振區(qū)時，亞諧分量影響非常顯著，忽略亞諧分量，會導(dǎo)致計算結(jié)果偏小，模型A5在時頻域均與實測結(jié)果吻合較好。

圖11 工況二模擬結(jié)果Fig.11 Simulation results in case 2

3.2 剛度較大人行橋

將結(jié)構(gòu)“M2”的跨度調(diào)整為8.4 m，經(jīng)模態(tài)測試得結(jié)構(gòu)基頻變化為4.297 Hz，記為結(jié)構(gòu)“M3”，此時結(jié)構(gòu)基頻落入二階步頻共振區(qū)，可進行倍頻共振驗證工作。使S2-S4在節(jié)拍器的引導(dǎo)下，在結(jié)構(gòu)M3上以共振步頻2.148 Hz行走。

表 5 所列為實測與數(shù)值模擬結(jié)果，S4的跨中加速度時程圖和頻譜圖如圖12所示，由圖可知，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了共振現(xiàn)象。由表可知，模型A1和A2的計算結(jié)果顯著偏大，平均高于實測結(jié)果70%以上，結(jié)果偏于保守；模型A3～A5的計算結(jié)果與A1和A2相比，與實測結(jié)果較為接近，A3的最大誤差為39.6%，A5最大誤差為34.5%，能更好的預(yù)測結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)。

以上分析結(jié)果表明：不考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的荷載模型，其共振響應(yīng)預(yù)測結(jié)果會偏于保守；考慮相互作用的SMD模型能更好的預(yù)測結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)，其中模型A5能在相對較小的偏差范圍內(nèi)預(yù)測結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)。

表5 實測與數(shù)值結(jié)果

圖12 S4的模擬結(jié)果Fig.12 Simulation results of S4

4 結(jié) 論

對荷載模型A1～A5進行對比分析與實驗驗證工作，有以下結(jié)論：

(1)當結(jié)構(gòu)基頻處于亞諧共振區(qū)時，需考慮亞諧分量的影響，其影響隨人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的增加更顯著，忽略亞諧分量會導(dǎo)致計算結(jié)果偏小；處于倍頻共振區(qū)時，不考慮相互作用的移動力模型的計算結(jié)果與SMD模型相比顯著偏大，其共振響應(yīng)預(yù)測結(jié)果偏于保守。

(2)ASMD模型Ⅱ既考慮了人-結(jié)構(gòu)相互作用，又包含亞諧分量，能更好的預(yù)測結(jié)構(gòu)人致響應(yīng)，且較BWM模型更加簡化。