從一道高考題的思考看功能關(guān)系

北京 張祖志 張耀丹

功是能量轉(zhuǎn)化的量度。不同力做功會(huì)引起不同形式能量的轉(zhuǎn)化，如重力做功引起重力勢(shì)能的變化；彈簧彈力做功引起彈簧彈性勢(shì)能的變化；除重力和彈簧彈力外其他力做功引起機(jī)械能的變化；合外力做功引起動(dòng)能的變化；電場(chǎng)力做功引起電勢(shì)能的變化等。

在從能量角度解決物理問題過程中，我們一般按照下列步驟操作:

1．確定研究對(duì)象及其運(yùn)動(dòng)過程；

2．明確在研究過程中發(fā)生了哪些能量的轉(zhuǎn)化；

3．確定在研究過程中有哪些力做功及做功多少。

下面我們就通過事例探討功和能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

【題目】(2017·全國卷Ⅰ第24題)一質(zhì)量為8.00×104kg的太空飛船從其飛行軌道返回地面。飛船在離地面高度1.60×105m處以7.5×103m/s的速度進(jìn)入大氣層，逐漸減慢至速度為100 m/s時(shí)下落到地面。取地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)，在飛船下落過程中，重力加速度可視為常量，大小取為9.8 m/s2。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

(1)分別求出該飛船著地前瞬間的機(jī)械能和它進(jìn)入大氣層時(shí)的機(jī)械能；

(2)求飛船從離地面高度600 m處至著地前瞬間的過程中克服阻力所做的功，已知飛船在該處的速度大小是其進(jìn)入大氣層時(shí)速度大小的2.0%。

由①式和題給數(shù)據(jù)得Ek=4.0×108J ②

由③式和題給數(shù)據(jù)得Eh=2.4×1012J ④。

(2)飛船在高度h′=600 m處的機(jī)械能為

由功能關(guān)系得W=Eh′-Ek⑥ (式中W是飛船從高度600 m處至著地瞬間的過程中克服阻力所做的功)

由②⑤⑥式和題給數(shù)據(jù)得W=9.7×108J ⑦。

【爭(zhēng)鳴】飛船在剛進(jìn)入大氣層的位置處，其距離地面很遠(yuǎn),重力加速度是否還能取9.8 m/s2？我們根據(jù)萬有引力知識(shí)證明一下。

如果想得到一個(gè)相對(duì)來說更準(zhǔn)確的數(shù)值，那么需要知道地球的質(zhì)量M=6×1024kg，地球半徑R=6.4×106m，萬有引力常量G≈6.67×10-11N·m2/kg2。

現(xiàn)有一質(zhì)量為m的太空飛船從其飛行軌道返回地面。飛船在離地面高度h處以v0進(jìn)入大氣層，之后速度逐漸減慢，最終以0.02v0的速度下落到地面。太空飛船下降過程中重力加速度的變化不能忽略不計(jì)，取地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)，地面附近的加速度大小取為g。

(1)求出該飛船著地前瞬間的機(jī)械能；

(2)求飛船從進(jìn)入大氣層至著地前瞬間的過程中克服阻力所做的功；

(3)點(diǎn)電荷間庫侖力的表達(dá)式在形式上和萬有引力的數(shù)學(xué)表達(dá)式相同。如圖所示，一個(gè)質(zhì)子轟擊α 粒子的情境圖，質(zhì)量為m質(zhì)子在距離α 粒子r0的A處速度大小為v0，那么當(dāng)它距離α 粒子r的B處時(shí)速度是多大？

【解析】(1)因?yàn)橐?guī)定地面的重力勢(shì)能為零，所以飛船到達(dá)地面時(shí)所具有的機(jī)械能就是著地時(shí)的動(dòng)能，即為

(2)由題中信息可以知道飛船從距離地面h處至到達(dá)地面過程中萬有引力做的功為

這一過程中利用動(dòng)能定理可得WG+Wf=ΔEk

該過程中阻力做的功為

飛船克服阻力做的功為

(3)質(zhì)子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過程中，電場(chǎng)力所做的功為

因?yàn)镼=4e，q=e，所以電場(chǎng)力做功為