不同的考生 相同的錯(cuò)誤
——幾個(gè)臨界問(wèn)題拾零

重慶 楊天才(特級(jí)教師，研究員)

時(shí)隔幾年后，關(guān)于臨界問(wèn)題，高考又出現(xiàn)了同類型的題目，但眾多學(xué)生還是犯了相同的錯(cuò)誤，如物體的速度為零，一定處于平衡狀態(tài)；物體在最高點(diǎn)，速度一定為零；物體速度最大，加速度一定為零等。正確的觀點(diǎn)如下表。

狀態(tài)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)正確觀點(diǎn)備注物體的速度為零一定處于平衡狀態(tài)若合力為零,則處于平衡狀態(tài)若合力不為零,物體處于非平衡狀態(tài)物體在最高點(diǎn)速度一定為零豎直方向速度為零,水平方向速度仍存在在豎直上拋運(yùn)動(dòng)中,最高點(diǎn)速度為零物體速度最大加速度一定為零切向加速度為零,法向合力提供向心力在直線運(yùn)動(dòng)中,可理解為加速度為零

【例1】(1997·全國(guó)卷第24題)在方向水平的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一不可伸長(zhǎng)的不導(dǎo)電細(xì)線的一端連著一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球，另一端固定于O點(diǎn)。把小球拉起直至細(xì)線與場(chǎng)強(qiáng)平行，然后無(wú)初速釋放。已知小球擺到最低點(diǎn)的另一側(cè)，線與豎直方向的最大夾角為θ(如圖1所示)。求小球經(jīng)過(guò)

最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線對(duì)小球的拉力。

圖1

【錯(cuò)解】線與豎直方向的最大夾角為θ，即小球的速度為零，小球處于平衡狀態(tài)，對(duì)小球受力分析，由力的平衡條件得：qE=mgtanθ。

【分析】小球的速度為零時(shí)，未處于平衡狀態(tài)，而是立即掉頭進(jìn)行往復(fù)運(yùn)動(dòng)(類似單擺的最高點(diǎn))，由動(dòng)能定理知：mglcosθ-qEl(1+sinθ)=0成立。

【解析】設(shè)細(xì)線長(zhǎng)為l，球的電量為q，場(chǎng)強(qiáng)為E。若電量q為正，則場(chǎng)強(qiáng)方向在圖1中向右，反之向左。從釋放點(diǎn)到左側(cè)最高點(diǎn)，重力勢(shì)能的減少量等于電勢(shì)能的增加量，有：

mglcosθ=qEl(1+sinθ)

【例2】(2005·全國(guó)卷Ⅰ第24題)如圖2所示，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開(kāi)始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段沿豎直方向。現(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為(m1+m3)的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少(已知重力加速度為g)。

圖2

【錯(cuò)解】掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，它恰好能使B離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升。說(shuō)明此時(shí)C的速度為零，C也處于平衡狀態(tài)，有：(m1+m2)g=m3g。

【分析】其實(shí)C的速度為零時(shí)并未處于平衡狀態(tài)，(m1+m2)g=m3g不成立，從掛上物體C到其最低點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：ΔE彈=m3gh-m1gh成立。

【解析】開(kāi)始時(shí)，B靜止平衡，設(shè)彈簧的壓縮量為x1，有：kx1=m1g，掛C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，A向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B剛要離開(kāi)地面時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為x2，有：kx2=m2g。此時(shí)，A和C速度均為零。從掛C到其最低點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，彈簧彈性勢(shì)能的改變量為：

ΔE=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2)

將C換成D后，有：

【例3】(2016·全國(guó)卷Ⅱ第25題)輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為l，現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長(zhǎng)度為5l的水平軌道，B端與半徑l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖3所示，物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度l，然后放開(kāi)，P開(kāi)始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度的大小，以及它離開(kāi)圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離。

圖3

【錯(cuò)解】當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，質(zhì)量為5m的物體處于平衡狀態(tài)，由力的平衡條件，有：5mg=kl

【分析】當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧兩端物體的速度相等，物體速度為零。但不滿足平衡狀態(tài)，此過(guò)程用能量守恒得：5mgl=Ep。

【解析】彈簧在地面上有重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，即5mgl=Ep，此時(shí)彈簧長(zhǎng)度為l，A→B由能量守恒有：

B→D由動(dòng)能定理有：

此后物體做平拋運(yùn)動(dòng)，滿足：

【例4】(2015·福建卷第22題)如圖4所示，絕緣粗糙的豎直平面MN左側(cè)同時(shí)存在相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向水平向右，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小滑塊從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿MN下滑，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)離開(kāi)MN做曲線運(yùn)動(dòng)。A、C兩點(diǎn)間距離為h，重力加速度為g。

圖4

(1)求小滑塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小vC；

(2)求小滑塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦力做的功Wf；

(3)若D點(diǎn)為小滑塊在電場(chǎng)力、洛倫茲力及重力作用下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度最大的位置，當(dāng)小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)撤去磁場(chǎng)，此后小滑塊繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到水平地面上的P點(diǎn)。已知小滑塊在D點(diǎn)時(shí)的速度大小為vD，從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間為t，求小滑塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)速度的大小vP。

【解析】(1)小滑塊沿MN運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，水平方向受力滿足：

qvB+N=qE

圖5

【點(diǎn)評(píng)】第(3)問(wèn)學(xué)生得分率較低，學(xué)生誤以為速度最大的位置加速度為零，得出洛倫茲力與電場(chǎng)力、重力的合力相等的結(jié)論，其實(shí)，此時(shí)滑塊做曲線運(yùn)動(dòng)，切向加速度為零，徑向合力提供向心力。

圖6

(1)如果導(dǎo)軌是光滑的，求圓環(huán)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，彈性輕繩的彈力F的大小以及圓環(huán)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度v的大??；

(2)如果導(dǎo)軌是粗糙的，且圓環(huán)與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，已知圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)恰好達(dá)到最大速度，求圓環(huán)由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過(guò)程中克服摩擦力做的功Wf。

【解析】(1)在D點(diǎn)處彈性輕繩的伸長(zhǎng)量為：

(2)圓環(huán)在D處速度最大，即切向合力為零，由μN(yùn)+F·cos60°=F·sin60°得：

法向方向，由牛頓第二定律有：

圓環(huán)由C到D由動(dòng)能定理有：

【點(diǎn)評(píng)】與上題類似，學(xué)生誤以為圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)恰好達(dá)最大速度，加速度為零，得出錯(cuò)誤結(jié)論。其實(shí)，此時(shí)滑塊做變速圓周運(yùn)動(dòng)，徑向合力仍然提供向心力，而切向加速度為零。