一種新弱化緩沖算子的構(gòu)造

韓然

(中國傳媒大學(xué)理工學(xué)部，北京100024)

1 引言

灰色系統(tǒng)的特色是研究“小樣本”與“貧信息”等不確定性問題.因此充分開發(fā)利用已占有的信息來挖掘系統(tǒng)本身固有的規(guī)律是灰色系統(tǒng)理論的基本準(zhǔn)則.我們可以通過社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)來尋求因素之間或自身的變化規(guī)律.灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀系統(tǒng)的表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂.但它們總有自身的整體功能，必然蘊(yùn)藏某種內(nèi)在的規(guī)律.關(guān)鍵是如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉硗诰蚝屠盟?在文獻(xiàn)[1，4，5，7]中，劉思峰等教授提出了沖擊擾動(dòng)緩沖算子的概念，并構(gòu)造出一種得到較廣泛應(yīng)用的弱化緩沖算子.本文在他們的工作的基礎(chǔ)上，又構(gòu)造出二類新弱化緩沖算子.從而推廣了緩沖算子的類型.

2 基本概念

定義2.1 設(shè)系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，如

(1)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)>0，則稱X為單調(diào)增長序列.

(2)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)<0，則稱X為單調(diào)衰減序列.

(3)若有k1，k2∈{2，3，…，n}，有x(k1)-x(k1-1)>0，x(k2)-x(k2-1)<0，

則稱X為振蕩序列.其中

M=max1≤k≤nx(k)，m=min1≤k≤nx(k)，稱M-m為振蕩序列X的振幅.

定義2.2 設(shè)X為系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得到序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則稱D為序列算子.

對(duì)序列連續(xù)作用，可得二階算子，一直可以作用到階算子，分別記為XD2，…，XDr.

公理2.1[4](不動(dòng)點(diǎn)公理)設(shè)X為系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則有x(n)d=x(n).

公理2.2[4](信息充分利用公理)系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù)x(k)(k=1，2，…，n)，都應(yīng)充分地參與算子作用的整個(gè)過程.

公理2.3[4](解析化與規(guī)范化公理)任意的x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一個(gè)統(tǒng)一的x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表達(dá)式表達(dá).

滿足上述三公理的序列算子稱為緩沖算子.XD稱為緩沖序列.

定義2.3[5]設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，當(dāng)X當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列，緩沖序列XD比行為數(shù)據(jù)序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減小，則稱緩沖算子D為弱化緩沖算子.

定理1[5]

(1)設(shè)X為單調(diào)增長序列，XD為緩沖序列，則

D為弱化緩沖算子?x(k)≤x(k)d.(k=1，2，…，n)

(2)設(shè)X為單調(diào)衰減序列，XD為緩沖序列，則

D為弱化緩沖算子?x(k)≥x(k)d.(k=1，2，…，n)

(3)設(shè)X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為弱化緩沖算子，則

max1≤k≤nx(k)≥max1≤k≤n{x(k)d}，

min1≤k≤nx(k)≤min1≤k≤n{x(k)d}

由定理2.1可知，單調(diào)增長序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹；單調(diào)衰減序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮.

3 弱化緩沖算子的構(gòu)造

劉思峰，黨耀國等教授在其專著[2]中構(gòu)造了下列弱化緩沖算子，設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令XDi=(x(1)di，…，x(n)di)，i=1，2

(1)

(2)

(k=1，2，…，n)，

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D1，D2皆為弱化緩沖算子.

在此，我們?cè)谌趸彌_算子D1，D2基礎(chǔ)上，利用插值函數(shù)理論構(gòu)建新的弱化緩沖算子.

定理2設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，且D為弱化緩沖算子. 將

(x(1)，x(1)d)，(x(2)，x(2)d)，…，(x(n)，x(n)d)

看成是n組數(shù)據(jù)，構(gòu)造插值函數(shù)f，使得

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

若f是單調(diào)遞增函數(shù). 若E為任一弱化緩沖算子.

(3)

令XG=(x(1)g，…x(n)g)

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，G為弱化緩沖算子.

證明：容易驗(yàn)證

x(n)g

=f(x(n)e)=f(x(n))

=x(n)d=x(n)，，

即G滿足緩沖算子公理一.

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而G為緩沖算子.

下證當(dāng)：

(1)X為單調(diào)增長序列時(shí)，因?yàn)?/p>

0

E為弱化緩沖算子，

x(k)≤x(k)e；

又f是單調(diào)遞增函數(shù)，

f(x(k))≤f(x(k)e)；

得

由于

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

且D為弱化緩沖算子，則x(k)≤x(k)d

x(k)≤

即x(k)≤x(k)g；

所以G為弱化緩沖算子.

(2)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，因?yàn)?/p>

x(k)≥…≥x(n)>0，，

E為弱化緩沖算子，

x(k)≥x(k)e；

又f是單調(diào)遞增函數(shù)，

f(x(k))≥f(x(k)e)；

得

由于

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

且D為弱化緩沖算子，則x(k)≥x(k)d

x(k)≥

即x(k)≥x(k)g；

所以G為弱化緩沖算子.

(3)當(dāng)X為振蕩序列時(shí)，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(h)=min1≤i≤nx(i)，

對(duì)任意的i∈{1，2，…，n}，有

x(k)≥x(i)，…，x(n)；x(h)≤x(i)，…，x(n)，

由于E為弱化緩沖算子，則

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)e}，x(h)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)e}

又f是單調(diào)遞增函數(shù)，

x(k)d=f(x(k))

x(h)d=f(x(h))

又D為弱化緩沖算子，則

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)d}≥x(k)d，x(h)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)d}≤x(h)d

故

x(k)≥x(k)d=f(x(k))≥

x(h)≤x(h)d=f(x(h))

則

max1≤i≤nx(i)=x(k)≥max1≤i≤n{x(i)g}，min1≤i≤nx(i)=x(h)≤min1≤i≤n{x(i)g}

故G為弱化緩沖算子.

定理3設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列，且D為弱化緩沖算子. 將

(x(1)，x(1)d)，(x(2)，x(2)d)，…，(x(n)，x(n)d)

看成是n組數(shù)據(jù)，構(gòu)造插值函數(shù)f，使得

f(x(1))=x(1)d，…，f(x(n))=x(n)d=x(n)，

若f是單調(diào)遞增函數(shù)，且f>0.

若E為任一弱化緩沖算子.

wi>0，.權(quán)重向量為w=(w1，…，wn)，. 其中

x(k)h=[fwk(x(k)e)×…

令XH=(x(1)h，…x(n)h)

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，H為弱化緩沖算子

證明：容易驗(yàn)證

=f(x(n)e)=f(x(n))

=x(n)d=x(n)，

即H滿足緩沖算子公理一.

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而H為緩沖算子.

下證當(dāng)：

(1)X為單調(diào)增長序列時(shí)，因?yàn)?

E為弱化緩沖算子，

x(k)≤x(k)e；

又f是單調(diào)遞增函數(shù)，

0

得

0<

又D為弱化緩沖算子，則0≤x(k)≤x(k)d

0

所以H為弱化緩沖算子.

(2)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，因?yàn)閤(k)≥…≥x(n)>0，，得

E為弱化緩沖算子，

x(k)≥x(k)e≥0；

又f是單調(diào)遞增函數(shù)，

0

得

>0

又D為弱化緩沖算子，則x(k)≥x(k)d≥0

x(k)≥

≥0

所以H為弱化緩沖算子.

所以H為弱化緩沖算子.

(3)當(dāng)X為振蕩序列時(shí)，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(l)=min1≤i≤nx(i)，

對(duì)任意的i∈{1，2，…，n}，有

x(k)≥x(i)，…，x(n)；x(l)≤x(i)，…，x(n)，

由于E為弱化緩沖算子，則

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)e}，x(l)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)e}

又f是單調(diào)遞增函數(shù)，

x(k)d=f(x(k))

x(l)d=f(x(l))

又D為弱化緩沖算子，則

x(k)=max1≤i≤nx(i)≥max1≤i≤n{x(i)d}≥x(k)d，x(l)=min1≤i≤nx(i)≤min1≤i≤n{x(i)d}≤x(l)d

故

x(k)≥x(k)d=f(x(k))

x(l)≤x(l)d=f(x(l))

則

max1≤i≤nx(i)=x(k)≥max1≤i≤n{x(i)h}，min1≤i≤nx(i)=x(h)≤min1≤i≤n{x(i)h}

故H為弱化緩沖算子.

4 結(jié)語

在緩沖算子的構(gòu)造過程中，以前都是一個(gè)一個(gè)去構(gòu)造.而我們是首次將緩沖算子的構(gòu)造與插值函數(shù)聯(lián)系起來，一次構(gòu)造一大類緩沖算子.為解決擾動(dòng)數(shù)據(jù)序列的建模提供了多種選擇.開辟了如何利用插值函數(shù)來構(gòu)造緩沖算子的新方向，進(jìn)一步研究正在進(jìn)行中.