檢波器評估系統(tǒng)
——一致性函數(shù),相關(guān)運算以及傳遞函數(shù)分析

俞度立,Bernard MAECHLER,王之洋

(1.北京化工大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,北京100029;2.ION Geophysical Corporation,Houston 77042)

近年來,采取何種方法比較地震勘探以及監(jiān)測中的常規(guī)檢波器和加速度計檢波器的性能越來越成為國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的焦點和研究的熱點[1-4]。YU等[1]從理論上討論了兩種檢波器的傳遞函數(shù)并在頻率域比較了兩種檢波器的性能。HAUER等[2]用實驗方法驗證了YU等[1]給出的理論,他們設(shè)計了一種實驗裝置,使用掃描激光振動計(SLV)精確地測量兩種檢波器的輸入信號,并分別記錄它們的輸出信號,結(jié)果發(fā)現(xiàn),無論是普通檢波器還是加速度計檢波器,其輸入、輸出都與其理論模型一致。YU等[3]在時間域比較了兩種檢波器的性能,與YU等[1]在頻率域的研究有相同的結(jié)果。KIMURA等[4]比較了不同類型的加速度計檢波器的性能，發(fā)現(xiàn)針對相同的信號輸入，不同類型的加速度計檢波器之間記錄的輸出信號具有很高的相似性，這證明加速度計檢波器具有很好的穩(wěn)定性。

地震檢波器是一種將地面振動轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘柕膫鞲衅?或者說地震檢波器是將機(jī)械振動轉(zhuǎn)化為電信號的機(jī)械裝置。每個地震檢波器都是由機(jī)械部分和與其相連的具有電負(fù)載的機(jī)電轉(zhuǎn)換器組成,輸出與速度成比例的稱之為速度檢波器,與加速度成比例的為加速度計檢波器,與位移成比例的為位移檢波器。理論上來說,當(dāng)輸入相同時,這3種檢波器的輸出不會存在差異,但是對這3種檢波器進(jìn)行更深入的研究發(fā)現(xiàn),其輸出結(jié)果不同。主要原因就取決于輸入信號的特征,比如信號對應(yīng)的帶寬和干擾噪聲的類型;另外,還在于檢波器的制造公差以及環(huán)境參數(shù)(溫度,濕度)的影響。當(dāng)要比較這3種檢波器的性能并判斷哪一種類型的檢波器性能更好時，通常存在以下3種情況：①這3種檢波器測量的是位移、速度和加速度3種不同的物理量，無法以同一個標(biāo)準(zhǔn)比較它們的性能;②如果不存在噪聲，這3種檢波器測量的物理量就存在著完美微分轉(zhuǎn)化關(guān)系;③反褶積可以解決檢波器傳遞函數(shù)不完美的問題。

在數(shù)學(xué)上,可以使用多種方法來評估檢波器的性能,其中較常用的方法是傳遞函數(shù)法。傳遞函數(shù)法基于檢波器的頻響特性曲線評估檢波器的性能。傳遞函數(shù)是一個復(fù)值函數(shù),同時考慮了檢波器的幅頻曲線和相頻曲線。其中,針對不同檢波器相頻曲線的研究表明,不同檢波器性能上最大的差異體現(xiàn)在對應(yīng)的非線性相頻響應(yīng)的差異上。

我們研究的目的是揭示常規(guī)檢波器和加速度計檢波器固有的性能特性,描述兩種檢波器的性能差異以及這些性能差異對信號/成像質(zhì)量的影響。建立一個統(tǒng)一的檢波器性能評估體系,適用于所有種類的檢波器,并可與理想檢波器的性能作比較。

在前人[1-3]詳細(xì)的理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上,分析、總結(jié)了相關(guān)運算以及傳遞函數(shù)分析兩種用于檢波器性能評估的方法原理及優(yōu)缺點,提出一種基于一致性函數(shù)的檢波器性能評估方法,對不同類型的檢波器的性能進(jìn)行綜合評估。一致性函數(shù)可以統(tǒng)一分析可能影響檢波器性能的因素,比如制造公差、環(huán)境參數(shù)(溫度、濕度)影響等,將振幅失真、相位失真、后處理調(diào)制以及影響信噪比的噪聲等多個待分析變量統(tǒng)一為一個確定的量化值,即一致性函數(shù)值(取值范圍為0到1),直觀、簡明、全面地評估檢波器的性能。

1 早期的兩種檢波器性能評估方法

1.1 傳遞函數(shù)分析法

首先介紹傳遞函數(shù)分析法對不同檢波器的性能進(jìn)行評估的方法原理。

顯而易見,如果一個檢波器的傳遞函數(shù)近似于理想檢波器的傳遞函數(shù),那么這個檢波器的性能就非常優(yōu)秀。在時間域,理想檢波器的傳遞函數(shù)具有零延遲或者有一個固定時延的特性,同時尺度因子為常數(shù)A0。相應(yīng)地,在頻率域,理想檢波器的傳遞函數(shù)具有如下特性:在幅頻響應(yīng)中,其幅度在目標(biāo)頻段ωc里是常數(shù);在相頻響應(yīng)中,其相位φ(ω)的變化是線性的。

式中:X(t),Y(t)分別代表輸入信號和輸出信號;τ0為時間延遲;ω為頻率;H(ω)為頻率域的檢波器傳遞函數(shù);φ(ω)為傳遞函數(shù)相頻響應(yīng)中的相位函數(shù)。

以油氣地震勘探中的信號采集為例,闡述傳遞函數(shù)分析法對檢波器性能進(jìn)行評估的方法原理。

油氣勘探的地震信號帶寬范圍通常是1～200Hz,在這個帶寬范圍內(nèi),加速度計檢波器的開環(huán)傳遞函數(shù)是理想檢波器傳遞函數(shù)的高度近似,因此,加速度計檢波器有較好的性能。

圖1為加速度計檢波器和常規(guī)檢波器的傳遞函數(shù)曲線。在油氣勘探的地震信號帶寬內(nèi),加速度計檢波器的傳遞函數(shù)的振幅和相位響應(yīng)都是非常平的,而常規(guī)檢波器的振幅和相位響應(yīng)卻有兩個零點與兩個極點,與理想檢波器的傳遞函數(shù)存在差異。另外,在低頻段,常規(guī)檢波器的相頻響應(yīng)曲線存在著一個-40dB/10Hz 的衰減,這將極大地降低檢波器對信號低頻成分的動態(tài)范圍,暗示著信號能量的損失。從圖1 的常規(guī)檢波器的傳遞函數(shù)的頻響特征曲線可知,頻帶過窄,需要對常規(guī)檢波器進(jìn)行反褶積處理以拓寬頻帶。理想的狀況是:反褶積之后,時間域的傳遞函數(shù)是沖激函數(shù)δ(t)。

圖1 傳遞函數(shù)曲線

因為檢波器的傳遞函數(shù)是已知的,因此確定性反褶積算子可以應(yīng)用于檢波器的傳遞函數(shù)。由于噪聲對信號的干擾以及反演算子的穩(wěn)定性問題,確定性算子比統(tǒng)計算子的效果更好。我們在檢波器上應(yīng)用反褶積算子來說明反褶積算子的局限性、展示常規(guī)檢波器和加速度計檢波器的性能差異。

案例:阻尼系數(shù)有百分比值偏差的影響。

由于制造公差(對應(yīng)每個檢波器的阻尼系數(shù)有±2.5%的誤差)以及環(huán)境因素(溫度、濕度、整個檢波器組的溫差變化,線路內(nèi)電阻和材料疲勞等)的不同,檢波器實際的阻尼系數(shù)與標(biāo)稱的阻尼系數(shù)不同。那么,檢波器阻尼系數(shù)的偏差對檢波器性能造成什么影響呢？假設(shè)檢波器的實際阻尼系數(shù)相較于標(biāo)稱阻尼系數(shù)有個百分比值的偏差,觀察這個百分比值的偏差對檢波器性能的影響。我們對檢波器應(yīng)用反褶積算子,得到其反褶積之后的傳遞函數(shù),記為HS2。

設(shè)計兩個不同的檢波器以討論檢波器阻尼系數(shù)的偏差對檢波器性能造成的影響,首先設(shè)計一個加速度計檢波器,典型的設(shè)計參數(shù)為:諧振頻率f=1000Hz,角頻率ωn=2π·1000,阻尼系數(shù)為ζ=0.025。當(dāng)加速度計檢波器的阻尼系數(shù)有1%的偏差時,可以發(fā)現(xiàn)加速度計檢波器的幅頻響應(yīng)中,幅值的最大不同出現(xiàn)在200Hz處,只有10-6數(shù)量級的偏差。在其相頻響應(yīng)中,相位的最大差異出現(xiàn)在1000Hz處,有小于0.285°的偏差。

其次,設(shè)計一個常規(guī)檢波器,其典型的設(shè)計參數(shù)為諧振頻率f=10Hz,角頻率ωn=2π·10,阻尼系數(shù)ζ=0.7。當(dāng)常規(guī)檢波器的阻尼系數(shù)有1%的偏差時,可以發(fā)現(xiàn)在常規(guī)檢波器的幅頻響應(yīng)中,其幅值在頻段范圍1～100Hz內(nèi)都有偏差,如圖2所示,同時,在其相頻響應(yīng)中,在頻段范圍1～100Hz內(nèi),其相位有±0.285°的偏差。

不同檢波器最大的不同來自于非線性相頻響應(yīng)的差異,因此研究相位的差異可以反映檢波器性能的差異,為了更直觀地理解相位失真的概念,我們將群延遲和相延遲理論應(yīng)用于檢波器的傳遞函數(shù)HS2中。群延遲和相延遲分別為:

以常規(guī)檢波器為例,圖2給出了常規(guī)檢波器在不同頻段的群延遲和相延遲曲線。從圖2可以看出,當(dāng)常規(guī)檢波器的阻尼系數(shù)有1%的偏差時,在0～200Hz的頻段范圍內(nèi),最大群延遲為±12ms。但在相同假設(shè)下,加速度計檢波器的最大群延遲只有0.09μs(圖中未顯示)。

圖2 常規(guī)檢波器在不同頻段的群延遲和相延遲曲線

1.2 最大時延相關(guān)法

最大時延相關(guān)法是一種統(tǒng)計學(xué)方法,相比于傳遞函數(shù)分析法,該方法可以處理噪聲信號。同時,時間延遲也與信號源的空間位置一一對應(yīng),獲取時延就可以通過計算得到信號源的空間位置。

假設(shè)時延為i,可以得到時延互相關(guān)函數(shù)為:

(5)

式中:x,y分別為輸入信號和輸出信號。

如果要研究兩個信號之間的時間延遲,互相關(guān)函數(shù)是一個非常有用工具。基于公式(5),假設(shè)有兩個信號,分別記為x和y(x和檢波器脈沖響應(yīng)褶積就得到y(tǒng),即y是檢波器接收信號x的輸出結(jié)果),當(dāng)時間延遲量i=0時,兩個信號之間沒有時延,記兩個信號的互相關(guān)結(jié)果為Corr0。當(dāng)時間延遲量i=1(即代表一個數(shù)字采樣間隔Δt)時,記兩個信號的互相關(guān)結(jié)果為Corr1。不斷增加時間延遲量i的值,直到遍歷信號所有采樣點,獲得兩個信號的最大互相關(guān)值,此時i對應(yīng)的與數(shù)字采樣間隔Δt相乘的結(jié)果記為系統(tǒng)最大時延。系統(tǒng)最大時延反映的是檢波器輸入信號和輸出信號的最大時間延遲程度,可以利用最大時延量評估檢波器的性能。因此,設(shè)計以下8種不同參數(shù)以及不同種類的檢波器,討論如何利用系統(tǒng)最大時延來評估檢波器的性能。

a)ζ=0.025,ωn=2π·1000;

b)ζ=0.025/2,ωn=2π·900;

c) 理想反褶積,沒有參數(shù)漂移,預(yù)白系數(shù)α=0.1%;

d)ζ=0.7·(1-0.025),ωn=2π·10,預(yù)白系數(shù)α=0.1%;

e)ζ=0.7,ωn=2π·10·(1-0.025),預(yù)白系數(shù)α=0.1%;

f)ζ=0.7·(1-0.025),ωn=2π·10·(1-0.025),預(yù)白系數(shù)α=0.1%;

g)ζ=0.7·(1-0.025),ωn=2π·10·(1-0.025),高噪聲,預(yù)白系數(shù)α=0.1%;

h)ζ=0.7·(1-0.025),ωn=2π·10·(1-0.025),預(yù)白系數(shù)α=1.0%。

檢波器a和檢波器b是加速度計檢波器,檢波器c到檢波器h是常規(guī)檢波器。其中,檢波器a是典型的加速度計檢波器,檢波器b改變了檢波器a的兩個參數(shù),作為對照組。對加速度計檢波器進(jìn)行測試后得到以下結(jié)論:在正常的加速度計檢波器操作環(huán)境以及時間周期內(nèi),不同設(shè)計參數(shù)的加速度計檢波器輸出信號之間的時延差異遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于加速度計檢波器參數(shù)的改變,因此,加速度計檢波器非常穩(wěn)定,性能很好。常規(guī)檢波器c是一個理想檢波器。檢波器d到檢波器h分別考慮了檢波器制造和操作環(huán)境等因素,設(shè)定了不同的參數(shù),觀察不同參數(shù)下檢波器的系統(tǒng)最大時延,并評估檢波器的性能。本文中信號的采樣間隔Δt=25μs,延遲是一個基于所有數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學(xué)概念,因此,有12.5μs的不確定性。

我們使用Ricker子波作為輸入信號,加速度計檢波器和常規(guī)檢波器的輸出結(jié)果如圖3所示。由圖3 可以觀察到不同檢波器的系統(tǒng)時延。

圖3 Ricker子波通過不同檢波器的輸出結(jié)果

對于檢波器a,b和c,Ricker子波的檢波器輸出信號出現(xiàn)零延遲,證明檢波器a,b,c性能非常優(yōu)秀,其中常規(guī)檢波器c是一種理想檢波器,因此,可以證明加速度計檢波器的性能要優(yōu)于常規(guī)檢波器;常規(guī)檢波器d和e的Ricker子波輸出信號相較于輸入信號,出現(xiàn)了較大的系統(tǒng)時延,而常規(guī)檢波器f,g和h的Ricker子波輸出信號相較于輸入信號,更是出現(xiàn)了較大的系統(tǒng)時延,表明常規(guī)檢波器的系統(tǒng)時延取決于許多因素,比如制造公差、野外測量條件以及噪聲水平等。如果對常規(guī)檢波器應(yīng)用反褶積,可以降低常規(guī)檢波器的系統(tǒng)時延,提高其性能。

與在頻率域群延遲和相延遲的傳遞函數(shù)分析法相比,在時間域分析評估檢波器性能的最大時延相關(guān)法對檢波器性能差異的敏感度稍弱,這是因為群延遲在頻譜范圍內(nèi)是非線性變化的,某種程度上抵消了其自身的影響。但這種抵消并不是理想的抵消,因為這種抵消在很大程度上依賴于信號的頻譜特征。比較前述的8個檢波器的輸入、輸出最大延遲可知,常規(guī)檢波器對輸入信號的失真是可見的,且其系統(tǒng)時延的范圍為50～100μs。這與HAUER等[2]的基于傳遞函數(shù)分析法的結(jié)論類似,值得一提的是,對于地震采集系統(tǒng),儀器允許的最大時延一般是10μs。

2 基于一致性函數(shù)的檢波器性能評估方法

首先給出一致性函數(shù)的公式:

(6)

式中:Sxy(ω)是輸入信號x和輸出信號y的交叉譜密度(反映兩個不同的隨機(jī)序列在頻率域變化上的相互關(guān)系),可以對信號x,y的互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行離散時間傅里葉變換(DFT)來求得,Sxy(ω)既包含相位信息,也包含振幅信息;Sx(ω),Sy(ω)分別是信號x,y的譜密度,只包含振幅信息,不包含相位信息。

我們定義檢波器的信噪比(RSN)為:

(7)

下面討論如何利用一致性函數(shù)來評估檢波器的性能。圖4a和圖4b分別為加速度計檢波器a和常規(guī)檢波器f的一致性函數(shù)曲線和基于一致性函數(shù)的信噪比曲線。以Ricker子波為輸入,記為x,經(jīng)過檢波器a和f的輸出結(jié)果分別記為ya,yf,構(gòu)建一致性函數(shù),評估兩種檢波器即常規(guī)檢波器和加速度計檢波器的性能。

從圖4可以看到,因為常規(guī)檢波器f存在共振現(xiàn)象,其一致性函數(shù)值一直低于加速度計檢波器a的一致性函數(shù)值,直到頻率為150Hz處。在頻率為150Hz左右處,噪聲較大,觀察信噪比曲線,可以發(fā)現(xiàn)噪聲量級與輸入有效信號Ricker子波的量級基本相同;在低頻部分,特別是在頻率為1Hz以上,常規(guī)檢波器f的一致性函數(shù)值存在一個尖銳的下降;在中部的頻率范圍內(nèi),常規(guī)檢波器f的一致性函數(shù)值要明顯低于加速度計檢波器a的一致性函數(shù)值;而在頻率為150Hz以上,噪聲占據(jù)主導(dǎo)地位,兩種類型的檢波器的一致性函數(shù)值基本重合,代表其性能并沒有什么不同。

圖4 檢波器a和f的一致性函數(shù)曲線(a)和信噪比曲線(b)

進(jìn)一步研究基于一致性函數(shù)的檢波器性能評估方法,我們選取常規(guī)檢波器c作為評估對象,已知常規(guī)檢波器c為理想檢波器,沒有參數(shù)漂移,這在現(xiàn)實中基本不存在,但可以基于一致性函數(shù),比較這種理想常規(guī)檢波器和加速度計檢波器的性能。圖5a和圖5b 分別展示了加速度計檢波器a和理想常規(guī)檢波器c的一致性函數(shù)曲線及其信噪比曲線。

從圖5可以看到,在低頻1Hz以上的頻率范圍內(nèi),理想常規(guī)檢波器c的一致性函數(shù)值要高于加速度計檢波器a的一致性函數(shù)值,證明在這個頻率范圍內(nèi),理想常規(guī)檢波器c的性能要優(yōu)于加速度計檢波器a,這歸功于反褶積算子對常規(guī)檢波器的處理,但是值得注意的是,我們并沒有對加速度計檢波器應(yīng)用反褶積算子。本文中,我們設(shè)置預(yù)白系數(shù)α=0.1%(通常α=1.0%),應(yīng)用一致性函數(shù)方法分別評估檢波器a到檢波器h等8個不同參數(shù)不同種類的檢波器的性能,評估結(jié)果與應(yīng)用傳遞函數(shù)分析法和最大時延相關(guān)法的評估結(jié)果相同,因此,基于一致性函數(shù)的檢波器性能評估方法是有效的。

通過以上的分析,我們可以知道常規(guī)檢波器和加速度計檢波器的本質(zhì)區(qū)別是常規(guī)檢波器在油氣勘探的地震信號帶寬范圍內(nèi)存在共振現(xiàn)象,導(dǎo)致了輸出信號存在非線性的相位改變,而加速度計檢波器的共振頻率遠(yuǎn)高于油氣勘探的地震信號帶寬范圍,因此加速度計檢波器輸出信號的相位改變是極小的和線性的。

圖5 理想常規(guī)檢波器c和加速度計檢波器a的一致性函數(shù)曲線(a)和信噪比曲線(b)

3 結(jié)論

基于一致性函數(shù)的檢波器性能評估方法可以統(tǒng)一分析可能影響檢波器性能的因素,比如制造公差、環(huán)境參數(shù)(溫度、濕度)影響等,將振幅失真、相位失真、后處理調(diào)制以及影響信噪比的噪聲等多個待分析變量統(tǒng)一為一個變量,即一致性函數(shù)值,繪制一致性函數(shù)曲線,直觀、簡明、全面地評估檢波器的性能。該方法可與傳遞函數(shù)分析法以及最大時延相關(guān)法相結(jié)合,即先綜合評價檢波器性能,再利用傳遞函數(shù)分析法以及最大時延相關(guān)法得到對檢波器性能差異的精確描述,實現(xiàn)對檢波器性能全面、準(zhǔn)確的評估。

致謝:首先感謝ION Geophysical Corporation和 Colibrys Incorporated允許此論文的發(fā)表,其次要感謝Phil Behn,Arjun Selvakumar,Howard Goldberg,Kedu Han和James Hereford在撰寫論文期間的鼓勵與支持。