基于壓縮感知的地震數(shù)據(jù)重建

舒國(guó)旭,呂公河,呂 堯,石太昆,邸志欣,霍守東

(1.油氣資源研究院重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所,北京100029;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京100049;3.中國(guó)科學(xué)院地球科學(xué)研究院,北京100029;4.中石化石油工程地球物理有限公司,北京100020;5.中石化石油工程地球物理有限公司研發(fā)中心,北京100020)

傳統(tǒng)的地震數(shù)據(jù)采集遵循Shannon-Nyquist采樣定理,即:若要使采集到的數(shù)據(jù)能不失真地保持原信號(hào)中的信息,采樣頻率必須是原信號(hào)頻帶寬度的兩倍以上。隨著地震勘探目標(biāo)日趨復(fù)雜,對(duì)于地震成像的精度要求越來(lái)越高,需要采集更高質(zhì)量的地震數(shù)據(jù)。“兩寬一高”地震數(shù)據(jù)采集技術(shù)在提高地震資料品質(zhì),改善復(fù)雜構(gòu)造區(qū)成像質(zhì)量方面有著明顯的技術(shù)優(yōu)勢(shì)。然而,在應(yīng)用該技術(shù)的同時(shí)也意味著激發(fā)點(diǎn)以及采集道數(shù)的急劇增加,在采集時(shí)間大大增加的同時(shí)也使得采集成本急劇增加。此外,由于勘探工區(qū)地表環(huán)境的影響,比如河流、村莊和道路等,使得我們往往無(wú)法根據(jù)設(shè)計(jì)的觀測(cè)系統(tǒng)布置炮點(diǎn)及檢波點(diǎn),也就無(wú)法采集到完整的地震數(shù)據(jù),進(jìn)而影響后續(xù)的地震成像及解釋。因此,“兩寬一高”地震采集技術(shù)雖然是高精度成像的重要保證,但是要實(shí)現(xiàn)該技術(shù)的工業(yè)化應(yīng)用,還面臨著巨大的挑戰(zhàn)。

近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的壓縮感知理論[1-2],為“兩寬一高”采集技術(shù)的工業(yè)化應(yīng)用難題提供了解決思路。壓縮感知理論指出,在信號(hào)是可壓縮的或者在某個(gè)變換域是稀疏的前提下,可采用隨機(jī)非規(guī)則采樣的方式將信號(hào)由高維空間投影至低維空間,之后通過(guò)求解一個(gè)稀疏約束的優(yōu)化問(wèn)題重構(gòu)原始信號(hào)。在壓縮感知理論中,核心思想是將信號(hào)的采樣以及壓縮同時(shí)進(jìn)行,信號(hào)采集時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)小于Nyquist定理所要求的采樣點(diǎn)數(shù),因而使得采樣成本大大降低。在地震勘探中,可通過(guò)設(shè)計(jì)隨機(jī)非規(guī)則觀測(cè)系統(tǒng)(炮點(diǎn)及檢波點(diǎn)均少于Nyquist定理所要求的數(shù)量)有效地避開(kāi)河流、村莊等障礙物,而后通過(guò)重建算法恢復(fù)完整的地震波場(chǎng)。因此將壓縮感知理論運(yùn)用到地震勘探中,可有效解決“兩寬一高”采集技術(shù)所面臨的難題,具有廣闊的應(yīng)用前景。

目前,壓縮感知理論在地震數(shù)據(jù)去噪、地震數(shù)據(jù)重建以及反演等方面都有廣泛的應(yīng)用[3-8],但是將其應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)采集方面還處于初步研究階段。HENNENFENT等[9]提出將抖動(dòng)隨機(jī)采樣應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)采集。不同于完全隨機(jī)采樣,抖動(dòng)隨機(jī)采樣在保持隨機(jī)采樣性質(zhì)的同時(shí),能夠使采樣點(diǎn)更加均勻分布,并且有利于控制采樣點(diǎn)之間的距離,從而為后續(xù)的地震數(shù)據(jù)重建算法提供更有利的條件。MILTON[10]討論了隨機(jī)采樣思想在地震觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用,指出隨機(jī)采樣可以有效提高地震數(shù)據(jù)采集效率以及降低采集成本。MOSHER等[11-12]分別于2012年和2014年提出并完善了一種在觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中基于約束條件的更優(yōu)選擇激發(fā)點(diǎn)和接收點(diǎn)位置的非均勻采樣方法。

基于壓縮感知的地震采集技術(shù),獲得的數(shù)據(jù)需要利用一定的技術(shù)進(jìn)行重建[13-14]。HENNENFENT等[9]于2008年提出通過(guò)抖動(dòng)欠采樣進(jìn)行地震數(shù)據(jù)采集,并基于曲波變換進(jìn)行數(shù)據(jù)重建;LI等[15]于2012年提出基于插值壓縮感知(interpolated compressive sensing)的數(shù)據(jù)重建方法,設(shè)計(jì)了非均勻優(yōu)化采樣觀測(cè)系統(tǒng)(non-uniform optimal sampling,NUOS),并進(jìn)行了地震數(shù)據(jù)重建,分別在海上和陸上獲得了良好的試驗(yàn)效果;國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于基于壓縮感知的地震數(shù)據(jù)重建也進(jìn)行了一系列的研究?？愒频萚16]討論了壓縮感知理論在地震數(shù)據(jù)重建中的應(yīng)用,并指出曲波變換相較于傅里葉變換更具有優(yōu)勢(shì)。ZHANG等[17]在傅里葉域中利用迭代凸集投影算法(POCS)進(jìn)行缺失地震數(shù)據(jù)重建。本文通過(guò)降低感知矩陣的最大互相關(guān)值,進(jìn)行非規(guī)則觀測(cè)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì),然后通過(guò)L0正則化和L1正則化混合迭代的方法進(jìn)行欠定采樣矩陣的求解,完成地震數(shù)據(jù)的重建。

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知的基本思想是當(dāng)信號(hào)是稀疏的或者具有稀疏表達(dá)時(shí),可以利用遠(yuǎn)少于Nyquist所要求的采樣數(shù)量的線性、非自適應(yīng)的測(cè)量值無(wú)失真的重建。壓縮感知理論的核心思想是將壓縮與采樣合并進(jìn)行,其優(yōu)點(diǎn)是信號(hào)的投影測(cè)量數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于基于Nyquist定理的傳統(tǒng)采樣方法所獲得的測(cè)量數(shù)據(jù)量,從而在數(shù)據(jù)采集時(shí)節(jié)省大量成本。但與此同時(shí),必須采用適當(dāng)?shù)闹貥?gòu)算法恢復(fù)原始信號(hào)。

已知一個(gè)測(cè)量矩陣Φ∈RM×N(M?N)以及某未知信號(hào)x∈RN在該測(cè)量矩陣下的線性測(cè)量值y∈RM:

(1)

現(xiàn)在需考慮由測(cè)量值y重構(gòu)恢復(fù)原始信號(hào)x。由于M?N,因此問(wèn)題是一個(gè)欠定問(wèn)題,有無(wú)窮多個(gè)解,即很難進(jìn)行原始信號(hào)的重構(gòu)恢復(fù)。但是如果信號(hào)x是稀疏的,即x=Ψθ,通過(guò)求解原始信號(hào)的稀疏系數(shù)進(jìn)而重構(gòu)恢復(fù)原始信號(hào)。測(cè)量過(guò)程可寫為:

(2)

其中,A=ΦΨ為M×N的矩陣,稱為感知矩陣。此時(shí),如果矩陣A滿足約束等距性質(zhì),可以首先通過(guò)求解L0范數(shù)約束優(yōu)化問(wèn)題:

(3)

(4)

然而求解L0范數(shù)約束最優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)NP-hard問(wèn)題,幾乎不可能求解。CANDES等[2]通過(guò)證明指出在一定條件下L0范數(shù)約束優(yōu)化問(wèn)題與L1范數(shù)約束優(yōu)化問(wèn)題是等價(jià)的,此處的條件就是有限等距性(RIP)條件以及零空間性質(zhì)。因此,L0范數(shù)約束優(yōu)化問(wèn)題可由下述L1范數(shù)約束優(yōu)化問(wèn)題代替,即:

(5)

2 基于壓縮感知的重建方法

優(yōu)化問(wèn)題可通過(guò)硬閾值迭代算法進(jìn)行求解,但是收斂速度慢且不穩(wěn)定,并且需要信號(hào)的稀疏度信息?？紤]到軟閾值算法能快速確定解的支撐集,本文在進(jìn)行硬閾值迭代算法之前,首先利用軟閾值迭代獲取信號(hào)的稀疏度信息,并為下一步迭代獲取好的迭代初值,而后再進(jìn)行硬閾值迭代算法求解優(yōu)化問(wèn)題。具體算法流程如下。

1) 初始化:x=0,k=1。

2) 執(zhí)行軟閾值迭代算法,獲取信號(hào)的稀疏度信息,并為下一步迭代提供初值,即:

(6)

其中,Hs為軟閾值函數(shù),即:

(7)

3) 執(zhí)行硬閾值迭代算法:

(8)

其中,HM為保留xn+1中最大的M項(xiàng)。

4) 滿足迭代停止條件則停止迭代,否則k=k+1,返回第3)步。

3 模型數(shù)據(jù)測(cè)試

本文采用Marmousi模型驗(yàn)證上述重構(gòu)算法的有效性。首先利用基于壓縮感知的非均勻觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法指導(dǎo)數(shù)據(jù)采集,而后進(jìn)行數(shù)據(jù)的重建恢復(fù)。圖1為Marmousi的速度模型,從圖中可以看出,該模型中間有著非常復(fù)雜的高陡構(gòu)造。

圖2a為原始單炮數(shù)據(jù),總道數(shù)為1181道,道間距為10m;圖2b為利用65%的道數(shù)進(jìn)行非規(guī)則設(shè)計(jì)后獲取的不完整地震記錄,圖2c為使用本文算法恢復(fù)的地震記錄。對(duì)比重構(gòu)地震記錄(圖2c)與原始記錄(圖2a)可以看出,兩者同相軸清晰,連續(xù)性好,振幅一致性準(zhǔn)確,重構(gòu)誤差小。

圖1 Marmousi速度模型

圖2 理論模型地震記錄重建結(jié)果的對(duì)比a 原始地震記錄; b 隨機(jī)缺失的地震記錄; c 重建結(jié)果

圖3是該測(cè)試數(shù)據(jù)記錄響應(yīng)的頻譜。原始地震數(shù)據(jù)頻譜(圖3a)和重構(gòu)地震數(shù)據(jù)頻譜(圖3c)可以看出,兩者之間的頻譜非常相近,誤差很小,進(jìn)一步表明了本文算法的數(shù)據(jù)重構(gòu)的良好效果。以上均表明,通過(guò)基于壓縮感知理論的重構(gòu)模型,缺失的地震數(shù)據(jù)可以得到很好的恢復(fù)。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證重建效果,本文將原始數(shù)據(jù)與重建數(shù)據(jù)進(jìn)行偏移成像,圖4為對(duì)原始所有炮數(shù)據(jù)進(jìn)行偏移而得到偏移剖面,圖5為重建之后的數(shù)據(jù)進(jìn)行偏移得到的偏移剖面?？梢钥闯?經(jīng)過(guò)重建之后,獲得了高質(zhì)量的偏移剖面。相較于原始數(shù)據(jù)偏移剖面,兩者之間幾乎沒(méi)有差異,因此可以證明本文提出的算法具有良好的重建效果。

圖3 與圖1對(duì)應(yīng)的地震記錄的頻率-波數(shù)譜a 來(lái)自原始地震記錄; b 來(lái)自隨機(jī)缺失的地震記錄; c 來(lái)自重建結(jié)果

圖4 原始數(shù)據(jù)偏移剖面

圖5 重建數(shù)據(jù)偏移剖面

4 實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用

為了驗(yàn)證壓縮感知理論在實(shí)際地震勘探中的效果。在TFT地區(qū)進(jìn)行了基于壓縮感知的非規(guī)則觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)(如圖6所示),所選工區(qū)范圍為14km×8km,檢波點(diǎn)布設(shè)到整個(gè)工區(qū)范圍,炮點(diǎn)區(qū)域?yàn)?0km×2km。實(shí)際采集共部署炮點(diǎn)1760個(gè),鋪設(shè)33條常規(guī)檢波器線,每條檢波線365道。為了便于參照,增加了一條單點(diǎn)高密度檢波線,2880道接收,道距5m。數(shù)據(jù)采集完成后,首先對(duì)非規(guī)則采集數(shù)據(jù)進(jìn)行重建,重建的目標(biāo)網(wǎng)格為42條接收線,線距180m,每條線465道,道間距15m。重建完成后,將本區(qū)域常規(guī)采集數(shù)據(jù)、基于壓縮感知采集重建數(shù)據(jù)和高密度采集數(shù)據(jù)進(jìn)行偏移成像的對(duì)比。圖7a為常規(guī)采集數(shù)據(jù)偏移剖面,圖7b為基于壓縮感知采集數(shù)據(jù)偏移剖面,圖7c為高密度采集數(shù)據(jù)偏移剖面,從圖中可以看出,通過(guò)重建可使壓縮感知采集數(shù)據(jù)達(dá)到了高密度采集數(shù)據(jù)的效果,比常規(guī)采集數(shù)據(jù)偏移剖面在分辨率和信噪比上都有很大的優(yōu)勢(shì),且偏移剖面細(xì)節(jié)更加豐富。在小規(guī)模的測(cè)試試驗(yàn)中,本文的方法就節(jié)約了大量的固定投入和采集施工成本。

圖6 優(yōu)化設(shè)計(jì)的非規(guī)則觀測(cè)系統(tǒng)(圖中紅點(diǎn)表示炮點(diǎn)位置,藍(lán)點(diǎn)表示檢波點(diǎn)位置)

圖7 偏移剖面對(duì)比a 常規(guī)采集偏移剖面; b 壓縮感知采集偏移剖面; c 高密度采集偏移剖面

具體而言,綜合采集成本可降低60%,而采集效率可提高6倍。在這樣小的成本下,基于壓縮感知的地震勘探方法還取得了更好的效果,所以該方法意義重大。

5 結(jié)論

基于壓縮感知理論,本文提出利用軟硬閾值混合迭代的方法進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的重建,獲得了良好的效果。通過(guò)對(duì)實(shí)際工區(qū)基于壓縮感知采集數(shù)據(jù)重建,獲得了高質(zhì)量的偏移剖面,信噪比與分辨率與高密度采樣數(shù)據(jù)偏移剖面大致相同,明顯優(yōu)于常規(guī)采集數(shù)據(jù)偏移剖面。目前隨著地震勘探開(kāi)發(fā)的不斷深入,勘探目標(biāo)逐步由簡(jiǎn)單構(gòu)造油氣藏轉(zhuǎn)變?yōu)閹r性油氣藏、斷塊油氣藏以及火成巖油氣藏等復(fù)雜構(gòu)造油氣藏,因而對(duì)地震勘探精度的要求不斷提高?！皟蓪捯桓摺?寬方位、寬頻帶、高密度)采集技術(shù)應(yīng)用越來(lái)越廣泛,該技術(shù)的應(yīng)用可得到更加完整、更高精度的地震波場(chǎng)信息,在解決復(fù)雜構(gòu)造成像、精細(xì)刻畫油氣藏以及各向異性研究等方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。但“兩寬一高”采集時(shí)間及采集成本急劇提升?；趬嚎s感知的地震資料采集可以在較低的平均采樣率下通過(guò)重建算法獲得高精度的地震數(shù)據(jù),從而有效降低地震數(shù)據(jù)采集的成本。對(duì)“兩寬一高”地震勘探具有重要意義。