北斗導(dǎo)航終端測試轉(zhuǎn)臺(tái)的非線性建模

李家斌，謝璐璐，宋丹玫

(工業(yè)和信息化部電子第五研究所質(zhì)量安全檢測中心，廣東 廣州 510610)

0 引 言

隨著北斗導(dǎo)航產(chǎn)品的應(yīng)用及普及，其性能測試的需求也愈來愈多。北斗導(dǎo)航終端測試轉(zhuǎn)臺(tái)是導(dǎo)航產(chǎn)品測試系統(tǒng)的重要組成部分，可依據(jù)不同的測試需要做方位、滾動(dòng)、俯仰旋轉(zhuǎn)，檢測北斗導(dǎo)航終端產(chǎn)品在不同方向的收發(fā)性能[1]6。北斗導(dǎo)航終端測試轉(zhuǎn)臺(tái)運(yùn)行速度較低，其低速性能直接影響導(dǎo)航終端產(chǎn)品測試結(jié)果的正確度和精密度[2]101[5]11。本文主要對實(shí)驗(yàn)室專用北斗導(dǎo)航終端測試轉(zhuǎn)臺(tái)(以下簡稱測試轉(zhuǎn)臺(tái))進(jìn)行了建模仿真分析，得出摩擦力矩是影響導(dǎo)航性能測試轉(zhuǎn)臺(tái)低速性能的主要因素。同以往的轉(zhuǎn)臺(tái)建模不同，本文對測試轉(zhuǎn)臺(tái)的非線性摩擦力矩進(jìn)行分析和補(bǔ)償，采用工程實(shí)用的Stribeck模型進(jìn)行線性化處理，轉(zhuǎn)臺(tái)建模更全面地考慮了實(shí)際非線性的影響，具有較好的工程實(shí)用意義。

1 導(dǎo)航終端測試轉(zhuǎn)臺(tái)理想建模分析

測試轉(zhuǎn)臺(tái)在低速條件下，三軸的耦合作用較小，對測試的影響可以忽略。三個(gè)軸的控制系統(tǒng)獨(dú)立而且類似，可以選擇其中一軸建模分析。本文以方位軸為例，對測試轉(zhuǎn)臺(tái)的方位軸框架進(jìn)行建模分析。在理想情況下，對其建模也就是對執(zhí)行元件——方位軸直流力矩電機(jī)的建模。

圖1 轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸直流力矩電機(jī)電樞回路電路圖

方位軸直流力矩電機(jī)的電樞回路如圖1所示。列出該電樞回路的電壓平衡方程和感應(yīng)電勢方程式如下：

(1)

Ea=CeΦn=Keω

(2)

式中:Ua為輸入的直流電壓;Ia為電樞電流;Ra為電樞電阻;La為電樞電感;Ce為反電動(dòng)勢系數(shù);Ke為反電動(dòng)勢系數(shù);Φ為勵(lì)磁磁通;ω為電機(jī)角速度;n為電機(jī)轉(zhuǎn)速;Ea為反電動(dòng)勢。

列出轉(zhuǎn)臺(tái)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩方程式如下：

TF=CTΦIa=KTIa

(3)

式中:TF為電磁轉(zhuǎn)矩;CT和KT為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

在直流力矩電機(jī)軸上，輸出有電磁轉(zhuǎn)矩、負(fù)載轉(zhuǎn)矩、慣性轉(zhuǎn)矩和電機(jī)軸本身存在的各種阻轉(zhuǎn)矩，在這里統(tǒng)稱為阻轉(zhuǎn)矩Tf，綜合電機(jī)軸上各種轉(zhuǎn)矩可以得到電機(jī)軸轉(zhuǎn)矩平衡方程如下：

TF=TL+Tf+Ti

(4)

(5)

式中:TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;Tf為綜合阻轉(zhuǎn)矩;Ti為電機(jī)軸慣性轉(zhuǎn)矩;J為電機(jī)軸上轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;β為電機(jī)角速度。

將上述各式取拉普拉斯變換，整理各式可得電機(jī)模型的狀態(tài)方程如下：

可以根據(jù)上面的狀態(tài)方程得到轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸直流力矩電機(jī)理想的模型結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸直流力矩電機(jī)理想模型框圖

圖中：θ為角速度經(jīng)過積分后的角度。

得到轉(zhuǎn)臺(tái)方位軸理想的傳遞函數(shù)如下：

(6)

2 導(dǎo)航終端測試轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦非線性分析

轉(zhuǎn)臺(tái)存在各種非線性環(huán)節(jié)，不僅僅是力矩電機(jī)，還包括驅(qū)動(dòng)元件的死區(qū)，飽和非線性，各種干擾，軸系齒輪間的齒隙，各種摩擦因素等。一般的轉(zhuǎn)臺(tái)非線性環(huán)節(jié)包括有飽和、死區(qū)、間隙、摩擦等。結(jié)合本測試轉(zhuǎn)臺(tái)低速運(yùn)行特點(diǎn)，忽略那些對轉(zhuǎn)臺(tái)建模影響較小的非線性因素，重點(diǎn)分析對轉(zhuǎn)臺(tái)低速性能影響大的因素——摩擦非線性環(huán)節(jié)。

摩擦非線性環(huán)節(jié)存在于任何具有相對運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)中，其對系統(tǒng)的性能有著嚴(yán)重的影響。在低速系統(tǒng)中，由于非線性軸承摩擦力相對較大，會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生低速爬行現(xiàn)象。低速爬行不僅對控制系統(tǒng)低速性能有著嚴(yán)重的影響，還影響了電機(jī)軸的使用壽命。摩擦力具有強(qiáng)烈的非線性，它的大小與控制系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)、輸出角速度、表面潤滑情況、軸系負(fù)載大小、運(yùn)動(dòng)情況有關(guān)，而且會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，溫濕度的變化而變化。

本文采用工程實(shí)用的Stribeck摩擦模型對測試轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦非線性進(jìn)行建模補(bǔ)償[3]577，以尋求最貼近測試轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)際的轉(zhuǎn)臺(tái)模型。

3 導(dǎo)航終端測試轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦非線性建模

在正常穩(wěn)態(tài)條件，忽略那些環(huán)境因素的影響，摩擦力與相對速度的關(guān)系呈現(xiàn)一定的函數(shù)關(guān)系，將兩者的函數(shù)關(guān)系繪制成曲線稱為Stribeck曲線。該曲線揭示了兩物體在潤滑狀態(tài)下，從接觸到發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦力的變化過程。曲線示意圖如圖3所示。

圖3 摩擦力與接觸面相對速度關(guān)系曲線

圖中a，b，c，d分別代表在潤滑狀態(tài)下，摩擦力隨著接觸面相對速度變換的四個(gè)階段，也是摩擦力隨著接觸面相對靜止到相互運(yùn)動(dòng)過程中的四個(gè)階段[4]45[5]13。

(1)接觸面彈性形變階段，它隨外力的變化而變化，屬于靜摩擦力。

(2)邊界潤滑階段，此階段對于低速爬行現(xiàn)象的產(chǎn)生有著很大關(guān)系。

(3)部分液體潤滑階段，此時(shí)接觸面情況復(fù)雜，是屬于最難建模的階段。

(4)全液體潤滑階段。

由Stribeck曲線可知，摩擦力隨相對速度變化是連續(xù)的，在克服靜摩擦力后，摩擦力在低速下隨著速度的增加而減小。Stribeck模型的數(shù)學(xué)描述[5]15如下：

(7)

Stribeck模型是按照Stribeck曲線實(shí)現(xiàn)的，實(shí)現(xiàn)了低速條件下摩擦力的連續(xù)。試驗(yàn)證明該模型能以90%的精確程度近似擬合真實(shí)的摩擦力。

圖4 轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦力矩仿真曲線

由圖4可知，仿真曲線十分接近Stribeck曲線，符合實(shí)際摩擦規(guī)律與過程，但曲線有著明顯的非線性，可以考慮對其線性化進(jìn)行分析，便于對測試轉(zhuǎn)臺(tái)的仿真補(bǔ)償。將Stribeck模型轉(zhuǎn)化為一種分段函數(shù)，實(shí)現(xiàn)摩擦曲線的線性化。該分段函數(shù)[5]16-17如下：

(8)

利用該線性模型，得到摩擦力矩線性仿真曲線如圖5所示。

圖5 轉(zhuǎn)臺(tái)線性摩擦力矩仿真曲線

圖5曲線中，曲線1是利用Stribeck模型繪制出的非線性摩擦力矩曲線，曲線2是利用Stribeck模型轉(zhuǎn)化來的分段函數(shù)模型繪制出的線性摩擦力矩曲線。由曲線可知，該線性化曲線較好地體現(xiàn)了Stribeck摩擦力矩模型的大致走勢與規(guī)律，可以代替Stribeck模型曲線來進(jìn)行建模分析。

將分段線性模型作如下變換：

(9)

(10)

將該線性摩擦模型代入測試轉(zhuǎn)臺(tái)理想模型，得到模型框圖如圖6所示。

圖6 帶摩擦補(bǔ)償?shù)霓D(zhuǎn)臺(tái)電機(jī)模型框圖

由該模型可以得到加入摩擦環(huán)節(jié)后的轉(zhuǎn)臺(tái)直流力矩電機(jī)傳遞函數(shù)，如下式：

(11)

4 建模仿真結(jié)果分析

(12)

取輸入信號(hào)為階躍信號(hào)，幅值為5 V，沒有摩擦環(huán)節(jié)，即Tm與f均為0，得到階躍響應(yīng)曲線如圖7、圖8所示。

圖7 無摩擦的電機(jī)角速度階躍響應(yīng)圖

圖8 無摩擦的電機(jī)角度階躍響應(yīng)圖

階躍信號(hào)輸入幅值5 V，代入摩擦環(huán)節(jié)(Tm=1，f=-1.5)，其階躍響應(yīng)曲線如圖9、圖10所示。

圖9 帶摩擦的電機(jī)角速度階躍響應(yīng)圖

圖10 帶摩擦的電機(jī)角度階躍響應(yīng)圖

比較圖7和圖9，當(dāng)系統(tǒng)加入摩擦模型后，角速度階躍響應(yīng)由穩(wěn)定失去穩(wěn)定；比較圖8和圖10，系統(tǒng)加入摩擦模型后，角度階躍響應(yīng)由線性變?yōu)榉蔷€性，而且出現(xiàn)了明顯的死區(qū)，反應(yīng)時(shí)間變長?？偨Y(jié)可知，摩擦力對轉(zhuǎn)臺(tái)性能有很大的影響，特別是低速性能，會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生死區(qū)，增大調(diào)節(jié)時(shí)間，加大穩(wěn)態(tài)誤差甚至使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。

5 結(jié)束語

本文對北斗導(dǎo)航終端測試轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行了非線性分析建模，綜合考慮了各類非線性因素的影響，并對摩擦模型進(jìn)行了建模補(bǔ)償。加入摩擦補(bǔ)償后，轉(zhuǎn)臺(tái)模型仿真結(jié)果證明了摩擦力矩對轉(zhuǎn)臺(tái)低速性能有較大的影響，會(huì)造成死區(qū)，使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。該轉(zhuǎn)臺(tái)非線性模型對接下來研究北斗導(dǎo)航終端測試轉(zhuǎn)臺(tái)高精度的控制策略有較好的實(shí)際意義。