衛(wèi)星鐘差解算及其星間單差模糊度固定

阮仁桂，魏子卿，馮來(lái)平

1. 信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450052； 2. 地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710054； 3. 西安測(cè)繪研究所，陜西 西安 710054

整數(shù)模糊度解算是利用GNSS載波相位進(jìn)行精密定位等各類應(yīng)用的性能倍增器。因?yàn)椴罘帜軌蛳邮諜C(jī)或衛(wèi)星端公共的非整數(shù)偏差項(xiàng)，在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，人們一度只能對(duì)雙差模糊度進(jìn)行固定。在過(guò)去的10余年里，針對(duì)單臺(tái)接收機(jī)的整數(shù)模糊度解算，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種方法，以期提高精密單點(diǎn)定位(precise point positioning,PPP)的精度、穩(wěn)定性和縮短收斂時(shí)間。概括起來(lái)可以分為以下3種[1]：①提供衛(wèi)星端的非整數(shù)偏差改正數(shù)，即小數(shù)周偏差(fractional cycle bias,FCB[1-2])(在不同文獻(xiàn)中，盡管名詞不同，如fractional phase offset[3]，uncalibrated phase delay[4]，uncalibrated fractional offsets[5-6]等，但其內(nèi)涵均相同)；②提供基于非差整數(shù)模糊度固定得到的衛(wèi)星鐘差[1]，包括“整數(shù)”鐘差[7-8](integer clock)和解耦鐘差[9-10](decoupled clock)；③提供網(wǎng)解時(shí)的寬巷和消電離層組合模糊度列表(wide-lane phase bias list,WLPBLIST)[11]。文獻(xiàn)[1]通過(guò)公式推導(dǎo)和數(shù)值試驗(yàn)證明了途徑①和途徑②在理論上和應(yīng)用效果上都是等效的。已有文獻(xiàn)表明，不同條件下的FCB解算及PPP應(yīng)用研究已取得不少成果[2,5-6,12-17]，而“整數(shù)”鐘差(包括解耦鐘差)的解算似乎還沒(méi)有得到廣泛關(guān)注。其中原因大概與下述情況不無(wú)關(guān)系，即現(xiàn)有文獻(xiàn)詳盡地給出了FCB解算的關(guān)鍵算法，且其所需要的觀測(cè)量——寬巷和消電離層組合非差模糊度——可以方便地通過(guò)PPP處理得到；而“整數(shù)”鐘差解算采用的觀測(cè)模型在形式上與傳統(tǒng)鐘差解算算法截然不同，且其關(guān)鍵技術(shù)——非差模糊度基準(zhǔn)[9]或參考模糊度[8]的固定——在現(xiàn)有文獻(xiàn)卻少見(jiàn)清晰的描述。衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品，除了支持單臺(tái)接收機(jī)的精密定位之外，在時(shí)間頻率傳遞、衛(wèi)星鐘性能評(píng)估方面也有重要意義[18]。有鑒于此，筆者對(duì)衛(wèi)星鐘差解算進(jìn)行了較深入的研究，提出通過(guò)星間單差模糊度固定恢復(fù)出衛(wèi)星鐘差的方法。

基于上述研究背景，本文第1節(jié)從消除秩虧的角度分析傳統(tǒng)鐘差解算方法與“整數(shù)”鐘差解算方法的區(qū)別，指出“整數(shù)”鐘差解算的關(guān)鍵在于建立整數(shù)模糊度基準(zhǔn)。第2節(jié)闡述實(shí)現(xiàn)“整數(shù)”衛(wèi)星鐘差解算的關(guān)鍵過(guò)程——星間單差模糊度固定。第3節(jié)采用IGS測(cè)站數(shù)據(jù)進(jìn)行GPS衛(wèi)星鐘差解算試驗(yàn)，證明獲得的衛(wèi)星鐘差及寬巷FCB產(chǎn)品具備分離出單臺(tái)接收機(jī)的星間單差整數(shù)模糊度的能力，并通過(guò)試驗(yàn)展示進(jìn)行模擬動(dòng)態(tài)PPP定位的效果。

1 觀測(cè)模型

(1)

(2)

(3)

在式(2)中，接收機(jī)鐘差與衛(wèi)星鐘差無(wú)法分離，鐘差參數(shù)與模糊度參數(shù)也不可分離。這導(dǎo)致在沒(méi)有其他約束的情況下得到的法方程是奇異的。對(duì)于前者導(dǎo)致的秩虧問(wèn)題，在網(wǎng)解中可以通過(guò)選擇一臺(tái)接收機(jī)或一顆衛(wèi)星的時(shí)鐘作為基準(zhǔn)鐘得以解決[8,9]；在僅用單站數(shù)據(jù)的(精密)單點(diǎn)定位中，則可以通過(guò)固定衛(wèi)星鐘差而消除。由于設(shè)備時(shí)延通常是長(zhǎng)期穩(wěn)定的，對(duì)于后一原因?qū)е碌闹忍潌?wèn)題，可以采用以下兩種方法進(jìn)行處理。

方法1：也是最傳統(tǒng)的方法，利用偽距鐘差對(duì)相位鐘差進(jìn)行約束，將式(2)改寫為

(4)

式中

(5)

方法2：通過(guò)對(duì)模糊度參數(shù)進(jìn)行先驗(yàn)約束或者確定S基準(zhǔn)[20]消除模糊度參數(shù)引起的秩虧。特別地，為了獲得整數(shù)鐘差或解耦鐘差[1]，文獻(xiàn)[8—9]通過(guò)選擇和固定非差模糊度基準(zhǔn)(reference ambiguity[8]或ambiguity datum[9])，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)非差寬巷和窄巷模糊度固定，得到基于非差模糊度固定解的鐘差產(chǎn)品。當(dāng)然，二者在細(xì)節(jié)上還是有明顯區(qū)別的，前者單獨(dú)解算的偽距鐘差被后者忽略；前者將寬巷小數(shù)偏差作為時(shí)變參數(shù)處理，而后者將其作為分段常數(shù)處理。它們所采用的觀測(cè)方程也與式(2)或式(4)有明顯的差異，前者在式(2)兩個(gè)觀測(cè)量的基礎(chǔ)上還加入了MW組合觀測(cè)量，后者先利用MW組合解算出非差寬巷整數(shù)模糊度，然后將式(2)的載波觀測(cè)方程表示為僅含窄巷模糊度的無(wú)電離層組合相位。

由平差理論可知，求解觀測(cè)方程式(2)是個(gè)秩虧自由網(wǎng)平差問(wèn)題[21]。不論是方法1還是方法2，本質(zhì)上只是提供了平差的必要基準(zhǔn)以達(dá)到消除秩虧的目的。在方法1中，偽距鐘差為相位鐘差和非差模糊度提供了平差基準(zhǔn)，也使得非差整數(shù)模糊度參數(shù)受到設(shè)備時(shí)延的“污染”而失去整數(shù)性質(zhì)。文獻(xiàn)[8—9]的特別和關(guān)鍵之處是通過(guò)選擇并固定非差模糊度基準(zhǔn)，建立其余非差模糊度參數(shù)的整數(shù)性質(zhì)。由此可知，模糊度參數(shù)或其線性組合是否具有整數(shù)性質(zhì)，取決于平差解算時(shí)被選作用于消除秩虧的基準(zhǔn)。

由于載波相位的測(cè)量精度通常是偽碼測(cè)量精度的100倍甚至更高，在以式(4)為觀測(cè)方程的傳統(tǒng)鐘差解算方法中，偽距與相位的權(quán)比通常是1∶10 000，甚至更低，因此偽距只是為模糊度參數(shù)提供了松弛的基準(zhǔn)。如果能夠像文獻(xiàn)[8—9]那樣選出并固定模糊度基準(zhǔn)(更強(qiáng)的基準(zhǔn))，則同樣有望恢復(fù)出模糊度參數(shù)的整數(shù)性質(zhì)。考慮到PPP用戶只需要衛(wèi)星的鐘差，因此可以通過(guò)星間單差消除包含在模糊度參數(shù)中的接收機(jī)端的非整數(shù)偏差，然后通過(guò)星間單差模糊度固定將衛(wèi)星鐘差與具有整數(shù)性質(zhì)的星間單差模糊度組合(下文簡(jiǎn)稱為單差模糊度)分離，其中模糊度基準(zhǔn)的選擇與固定是這一過(guò)程的關(guān)鍵。

2 星間單差模糊度固定

星間單差模糊度固定是在獲得非差模糊度實(shí)數(shù)解的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。由于消電離層組合模糊度的波長(zhǎng)通常很短，例如對(duì)于GPS，L1和L2的消電離層組合的波長(zhǎng)約為6 mm，直接固定消電離層模糊度非常困難[9]。一種有效的方法是將其分解為寬巷模糊度和窄巷模糊度，然后分別進(jìn)行寬巷和窄巷模糊度固定[22-24]。與雙差模糊度不同，單差模糊度并不天然地具有整數(shù)性質(zhì)，因此固定單差模糊度的方法也與固定雙差模糊度有很大區(qū)別：需要分離出衛(wèi)星端的小數(shù)偏差和選擇模糊度基準(zhǔn)。本文通過(guò)以下3個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)單差模糊度固定：

(6)

然后，按照式(7)計(jì)算寬巷的固定成功概率。

(7)

(3) 消電離層組合單差模糊度固定。消電離層組合單差模糊度固定按照以下3個(gè)步驟進(jìn)行：

(8)

(9)

② 單差模糊度基準(zhǔn)選擇和固定。為了固定單差窄巷模糊度，需要為每個(gè)衛(wèi)星鐘差選擇一個(gè)單差模糊度基準(zhǔn)，并將其固定到最近的整數(shù)。需要強(qiáng)調(diào)的是，單差模糊度基準(zhǔn)的選擇非常關(guān)鍵，因?yàn)樗鼈優(yōu)槠溆嗟膯尾钅：忍峁┱麛?shù)基準(zhǔn)，是后續(xù)單差模糊度固定的基礎(chǔ)。為了選出可靠的單差模糊度基準(zhǔn)，本文先從每一對(duì)衛(wèi)星中選出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差最小的作為候選單差模糊度基準(zhǔn)，然后將它們按照標(biāo)準(zhǔn)差的升序進(jìn)行排列，采用最小生成樹算法(如Kruskal算法)選出所有獨(dú)立的衛(wèi)星對(duì)(以GPS星座為例，衛(wèi)星數(shù)為32顆，獨(dú)立的衛(wèi)星對(duì)有31對(duì))，將所對(duì)應(yīng)的候選窄巷單差模糊度固定到最近的整數(shù)，進(jìn)而對(duì)消電離層組合單差模糊度進(jìn)行固定。

③ 獨(dú)立單差模糊度固定。在完成了單差模糊度基準(zhǔn)的選擇與固定之后，剩余的單差模糊度就恢復(fù)了整數(shù)性質(zhì)，就可以采用類似于雙差模糊度固定的方法進(jìn)行獨(dú)立單差模糊度的序貫固定：基于已有的單差模糊度固定解對(duì)所有候選的未固定的單差模糊度按照式(7)重新計(jì)算其窄巷的固定成功概率，每次固定綜合成功率最大的且與已固定的單差模糊度相互獨(dú)立的消電離層組合單差模糊度，直到?jīng)]有可固定的獨(dú)立的單差模糊度為止。這一過(guò)程中采用Kruskal算法進(jìn)行獨(dú)立性判斷。

(10)

這樣，本文進(jìn)行衛(wèi)星鐘差解算的觀測(cè)方程可等效地表示如下

(11)

式中，p*為3類(虛擬)觀測(cè)量的權(quán)，一般地，pL3/pP3≈104，而pb?pL3。

3 驗(yàn) 證

本文提出的“整數(shù)”衛(wèi)星鐘差解算方法所采用的觀測(cè)模型與傳統(tǒng)的GNSS非差數(shù)據(jù)處理完全一致，數(shù)據(jù)處理時(shí)只需要在獲得非差消電離層組合模糊度的實(shí)數(shù)解之后，增加星間單差模糊度固定過(guò)程。以上方法已經(jīng)很方便地應(yīng)用于西安測(cè)繪研究所研制的多功能GNSS數(shù)據(jù)處理軟件SPODS[25]當(dāng)中。

為了驗(yàn)證本文方法，筆者收集2015年DOY 243—261期間的IGS監(jiān)測(cè)站的GPS數(shù)據(jù)進(jìn)行鐘差解算試驗(yàn)。測(cè)站分布如圖1所示，測(cè)站總數(shù)約為450個(gè)，其中66個(gè)測(cè)站(紅色方形)用于解算鐘差。在進(jìn)行鐘差解算時(shí)，將測(cè)站坐標(biāo)和GPS衛(wèi)星軌道固定到IGS最終軌道和站坐標(biāo)產(chǎn)品，EOP參數(shù)采用IERS提供的最終產(chǎn)品；衛(wèi)星和接收機(jī)的天線相位中心改正信息來(lái)自igs08.atx，測(cè)站的潮汐形變采用IERS2003協(xié)議，日月歷表采用JPL DE405，對(duì)流層天頂延遲先驗(yàn)值采用Saastamoinen模型計(jì)算，映射函數(shù)采用GMF模型計(jì)算[26]，天頂延遲采用分段常數(shù)模型模擬，每2 h解算一個(gè)參數(shù)，每24 h估計(jì)一組水平梯度參數(shù)。GPS衛(wèi)星的姿態(tài)模型采用文獻(xiàn)[27]提出的簡(jiǎn)化模型。數(shù)據(jù)處理弧長(zhǎng)為24 h，數(shù)據(jù)采樣間隔為300 s，采用文獻(xiàn)[28]的方法將鐘差加密到30 s。消電離組合偽距和相位的先驗(yàn)精度設(shè)為2 m和2 cm，并根據(jù)高度角e按照函數(shù)sin2e進(jìn)行降權(quán)。在星間單差模糊度固定過(guò)程中，僅對(duì)固定成功概率大于99%且小數(shù)部分絕對(duì)值小于0.15周的單差模糊度進(jìn)行固定，約束權(quán)pb取1010。

圖1 IGS測(cè)站分布Fig.1 Distribution of IGS stations

圖2繪出了各顆衛(wèi)星的寬巷FCB(相對(duì)于PRN01)序列。可以看出，F(xiàn)CB的估值相當(dāng)?shù)胤€(wěn)定，統(tǒng)計(jì)表明重復(fù)精度在0.009周(PRN02)～0.031周(PRN04)之間。

圖2 GPS衛(wèi)星星端寬巷FCB序列Fig.2 Estimated wide-lane FCBs for GPS satellites

圖3按天統(tǒng)計(jì)了單差模糊度成功固定的比例及解算得到的衛(wèi)星鐘差與IGS最終鐘差之差的RMS和STD?？梢钥闯?，模糊度固定的成功率穩(wěn)定在70%～75%，平均固定成功率為73%。鐘差的RMS為0.13～0.2 ns，STD都小于0.014 ns，平均的RMS和STD分別為0.17 ns和0.012 ns。

圖3 單差模糊度固定的比例和衛(wèi)星鐘差的精度Fig.3 Percentage of fixed BSSD ambiguities and the RMS and STD difference between the estimated satellite clocks and the IGS final clocks

為了證明本文的鐘差(和寬巷FCB)具備恢復(fù)出單臺(tái)接收機(jī)的單差整數(shù)模糊度的能力，筆者利用所獲得的DOY 250的寬巷FCB和衛(wèi)星鐘差對(duì)當(dāng)天所有IGS測(cè)站(共448個(gè))的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行PPP處理，得到非差消電離層組合模糊度的實(shí)數(shù)解之后，構(gòu)造出所有可能的單差模糊度并進(jìn)行寬巷FCB改正，而后進(jìn)行寬巷單差模糊度固定，輸出所有寬巷和固定了寬巷的窄巷單差模糊度，總個(gè)數(shù)分別為228 958和174 894，圖4統(tǒng)計(jì)了它們小數(shù)部分的分布?？梢钥闯觯瑢捪锖驼锏男?shù)部分均呈現(xiàn)出以0為均值的近似正態(tài)分布，其中，寬巷的小數(shù)部分絕對(duì)值小于0.2周的比例達(dá)到了85.8%，窄巷的這一比例達(dá)到了94.6%。這可說(shuō)明寬巷和窄巷單差模糊度數(shù)學(xué)期望是整數(shù)，因此可以采用已有的模糊度固定方法對(duì)單差模糊度進(jìn)行固定。

圖4 448個(gè)IGS測(cè)站寬巷和窄巷單差模糊度小數(shù)部分的分布Fig.4 Distribution of the fractional parts of wide-/narrow-lane BSSD ambiguities from 448 IGS stations

為了展示利用本文的鐘差(和寬巷FCB)進(jìn)行PPP定位模糊度固定的效果。采用DOY 250共20個(gè)測(cè)站(圖1中圓圈表示的點(diǎn))的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬動(dòng)態(tài)PPP試驗(yàn)。將每個(gè)測(cè)站的24 h rinex數(shù)據(jù)文件切分為12個(gè)2 h弧長(zhǎng)的獨(dú)立文件分別進(jìn)行處理。衛(wèi)星軌道固定到IGS最終軌道，采用不同的鐘差產(chǎn)品或模糊度解算策略進(jìn)行以下3組試驗(yàn)：

(1) 試驗(yàn)1(EXP1):采用IGS最終鐘差產(chǎn)品，模糊度采用浮點(diǎn)解；

(2) 試驗(yàn)2(EXP2):采用本文的鐘差產(chǎn)品，模糊度采用浮點(diǎn)解；

(3) 試驗(yàn)3(EXP3):采用本文的鐘差產(chǎn)品并進(jìn)行單差模糊度固定。模糊度固定采用序貫取整方法，具體方法見(jiàn)文獻(xiàn)[22],同樣僅對(duì)固定成功概率大于99%且小數(shù)部分的絕對(duì)值小于0.15周的單差模糊度進(jìn)行固定。

將定位結(jié)果與IGS天解的站坐標(biāo)進(jìn)行比較評(píng)估定位精度。圖5統(tǒng)計(jì)了3組PPP試驗(yàn)各測(cè)站N、E、U方向和三維位置(3D)誤差的RMS?？梢钥闯?，試驗(yàn)2和試驗(yàn)1的結(jié)果在不同測(cè)站的RMS統(tǒng)計(jì)中互有優(yōu)劣，但都相差不大；試驗(yàn)3各測(cè)站各方向坐標(biāo)誤差的RMS普遍地較試驗(yàn)1和試驗(yàn)2有明顯減小，其中在E方向的改進(jìn)尤為明顯。統(tǒng)計(jì)表明，相比于試驗(yàn)1，試驗(yàn)3各測(cè)站N方向的改善幅度在14%～63%；E方向的改善幅度在10%～86%；U方向的改善幅度在4%～48%；3D定位精度的改善幅度在18%～60%。表1給出了20個(gè)測(cè)站定位結(jié)果的平均RMS統(tǒng)計(jì)值?？梢钥闯?，相比于試驗(yàn)1，試驗(yàn)2的結(jié)果在毫米量級(jí)上沒(méi)有差異；而試驗(yàn)3則在3個(gè)方向都有明顯的提高，N、E、U和3D誤差的RMS分別達(dá)到了0.009、0.010、0.023和0.027 m，比試驗(yàn)1分別提高了30.8%、61.5%、23.3%和37.2%。這說(shuō)明模糊度固定有效提高了PPP的定位精度，再次證明了本文解算的鐘差具有支持PPP模糊度固定的能力。需要說(shuō)明的是，以上PPP試驗(yàn)僅是為了驗(yàn)證本文的整數(shù)鐘差產(chǎn)品，所用的模糊度固定方法仍有改進(jìn)余地。

圖5 3組試驗(yàn)各測(cè)站動(dòng)態(tài)PPP定位誤差的RMSFig.5 RMS of the kinematic PPP for each station

表1 動(dòng)態(tài)PPP定位誤差的平均RMS

4 總 結(jié)

本文提出一種基于星間單差模糊度固定的衛(wèi)星鐘差解算方法，所得到的衛(wèi)星鐘差能夠支持PPP用戶進(jìn)行整數(shù)模糊度解算。為了驗(yàn)證本文方法，采用IGS測(cè)站的GPS數(shù)據(jù)進(jìn)行了鐘差解算試驗(yàn)，結(jié)果表明星間單差模糊度固定的成功率約為73%，得到的衛(wèi)星鐘差與IGS最終鐘差產(chǎn)品相比，平均的RMS差和STD分別為0.17 ns和0.012 ns。分析448個(gè)IGS測(cè)站的星間單差模糊度小數(shù)部分的分布表明，本文得到的衛(wèi)星鐘差和寬巷FCB產(chǎn)品能夠恢復(fù)出單臺(tái)接收機(jī)星間單差模糊度的整數(shù)性質(zhì)。20個(gè)測(cè)站的模擬動(dòng)態(tài)PPP定位結(jié)果表明，模糊度固定后，N、E、U和3D誤差的RMS分別達(dá)到了0.009、0.010、0.023和0.027 m，相比于不固定模糊度或采用IGS最終鐘差產(chǎn)品的結(jié)果，改進(jìn)幅度分別為30.8%、61.5%、23.3%和37.2%，有力證明了本文方法的正確性和有效性。

本文實(shí)現(xiàn)星間單差模糊度解算固定的核心思想是通過(guò)選擇和固定模糊度基準(zhǔn)，恢復(fù)星間單差模糊度的整數(shù)性質(zhì)，這一思想也可以應(yīng)用于Galileo、BDS等其他GNSS系統(tǒng)的“整數(shù)”衛(wèi)星鐘差解算。