基于有向點(diǎn)集的多面多孔式裝配偏差分析與協(xié)調(diào)

崔志卓，杜福洲,*，熊濤

1. 北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100083 2. 中國(guó)空間技術(shù)研究院 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094

在大型機(jī)械產(chǎn)品的裝配中，隨著基于模型定義技術(shù)和光學(xué)測(cè)量定位技術(shù)[1-3]的廣泛應(yīng)用，測(cè)量輔助裝配技術(shù)[4-5](Measurement-Assisted Assembly, MAA)在航空、航天、船舶等行業(yè)內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用。

在大尺寸產(chǎn)品裝配對(duì)接與位姿調(diào)整方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者分別對(duì)數(shù)字化測(cè)量工藝模型、轉(zhuǎn)站公共基準(zhǔn)點(diǎn)布設(shè)、最佳裝配位姿的計(jì)算、工程應(yīng)用等分別進(jìn)行了研究與闡述[6-10]。上述研究以位姿調(diào)整為目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了大型機(jī)械產(chǎn)品的對(duì)接，但對(duì)配合關(guān)系考慮的不夠充分。在實(shí)際裝配中，產(chǎn)品的配合質(zhì)量影響產(chǎn)品的物理性能，是協(xié)調(diào)的重點(diǎn)要素。而由于制造誤差、應(yīng)力釋放、熱膨脹、重力變形和工裝安裝誤差等因素導(dǎo)致裝配對(duì)接部分產(chǎn)生間隙或階差，通過分離并精加工/調(diào)整的方式改進(jìn)產(chǎn)品配合質(zhì)量，或者強(qiáng)行裝配影響產(chǎn)品的物理性能并帶來不必要的隱患。因此，諸多學(xué)者對(duì)此類問題進(jìn)行了研究。部分學(xué)者基于檢測(cè)數(shù)據(jù)研究裝配過程的產(chǎn)品偏差傳遞機(jī)理和裝配精度預(yù)測(cè)[11-15]從而提前發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)行調(diào)整，部分學(xué)者通過數(shù)字化測(cè)量和柔性工裝改善因工裝定位偏差和產(chǎn)品變形引起的裝配偏差[16-18]。

在大型機(jī)械產(chǎn)品裝配中，通過對(duì)不同空間位置的軸孔進(jìn)行緊固連接是裝配連接的主要形式之一，如基于叉耳結(jié)構(gòu)的飛機(jī)翼身裝配、航天器的多緊固連接、風(fēng)電塔的大型法蘭連接等。而軸孔的配合質(zhì)量影響著產(chǎn)品的連接性能[19]，費(fèi)燕瓊等對(duì)電機(jī)套筒多軸孔多面約束的裝配進(jìn)行了裝配關(guān)系的分析，并采用導(dǎo)桿的方式完成裝配[20]，趙東平等針對(duì)間隙連接件采用多維矢量沿偏差傳遞路徑建立了多維矢量環(huán)，完成了裝配偏差的預(yù)測(cè)[21]，Luo等采用力/剛度補(bǔ)償?shù)姆绞酵瓿闪烁呔榷噍S孔的裝配[22]，郭崇潁等對(duì)紅外線線列電荷耦合元件的拼接中拼接精度問題，基于蟻群算法對(duì)解算的裝配偏差進(jìn)行優(yōu)化，指導(dǎo)工裝調(diào)整并完成裝配[23]。通過數(shù)字化測(cè)量手段獲取軸孔的空間位姿，分析軸孔裝配偏差并進(jìn)行協(xié)調(diào)的相關(guān)文獻(xiàn)還未見報(bào)道。

針對(duì)裝配過程中大型機(jī)械產(chǎn)品多面多孔裝配中裝配偏差難以預(yù)測(cè)，裝配過程協(xié)調(diào)難度大的問題，分析多面多孔裝配關(guān)系，采用“有向點(diǎn)”表征軸/孔的空間位姿，構(gòu)建多面多孔式裝配的數(shù)學(xué)模型，采用奇異值分解(SVD)分解法[24]對(duì)有向點(diǎn)集進(jìn)行最優(yōu)匹配，并對(duì)軸孔配合的裝配偏差進(jìn)行解算，在裝配前預(yù)測(cè)裝配偏差指導(dǎo)調(diào)配。最后通過多面多孔式裝配協(xié)調(diào)試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果表明基于測(cè)量數(shù)據(jù)的裝配偏差分析與輔助調(diào)配方法可行，可提高裝配的效率和裝配一次成功率。

1 研究概述

在具有多面多孔的大型零部件裝配對(duì)接中，通過軸孔配合進(jìn)行緊固連接?；鶞?zhǔn)裝配體(Datum Component)安裝于固定工裝，對(duì)接裝配體(Align Component)安裝于可移動(dòng)工裝，其裝配示意圖如圖1所示。受制造精度、溫度、重力、工裝夾緊等因素影響，裝配時(shí)軸孔配合產(chǎn)生縫隙、偏移、偏向，降低裝配質(zhì)量。通過數(shù)字化測(cè)量手段對(duì)面-面配合、孔-軸-孔配合狀態(tài)進(jìn)行分析，預(yù)估對(duì)接狀態(tài)下的偏差，在裝配前進(jìn)行補(bǔ)償，提高裝配質(zhì)量。如圖1所示，考慮多面多孔式裝配中三類軸孔裝配協(xié)調(diào)問題。

偏移(Axis Position Deviation)：如圖1中右上所示，由于裝配體的剛性，當(dāng)其中一部分裝配孔配合準(zhǔn)確時(shí)，引起孔上下配合處在配合面上產(chǎn)生了偏移，銷釘無法插入或扭曲，d為孔在配合面上產(chǎn)生的偏移量。

偏向(Axis Orientation Deviation)：如圖1中右中所示，由于裝配體的剛性，當(dāng)其中一部分孔同軸度配合較好時(shí)，個(gè)別孔的軸線配合出現(xiàn)問題，銷釘插入時(shí)無法通過，θ為孔軸線之間的夾角。

縫隙(Plane Position Deviation)：如圖1中右下所示，由于裝配體的剛性，當(dāng)其中一部分孔在配合面緊密貼合時(shí)，其他孔配合存在縫隙，如果縫隙超差時(shí)強(qiáng)行裝配，引起裝配體變形，降低裝配質(zhì)量，h為兩孔配合面沿軸線的投影距離。

上述3個(gè)問題耦合而影響了裝配的質(zhì)量，導(dǎo)致無法一次裝配，而是需要分離裝配體，對(duì)不協(xié)調(diào)的軸/孔逐個(gè)進(jìn)行調(diào)整以完成裝配，降低了裝配效率。

因此，采用數(shù)字化測(cè)量表達(dá)軸/孔的空間位姿，并對(duì)多軸/孔進(jìn)行裝配偏差的預(yù)測(cè)和分析，在實(shí)際裝配前找出超差的軸/孔，加以調(diào)配，改善裝配精度。

2 基于有向點(diǎn)集的裝配偏差分析

2.1 基于有向點(diǎn)的軸/孔位姿表達(dá)

廣義的裝配關(guān)系是指基準(zhǔn)、裝配工裝以及零部件三者之間的相互位置關(guān)系和配合關(guān)系。其中，裝配零部件之間的裝配連接與形位關(guān)系，影響了裝配體的幾何質(zhì)量，也一定程度影響著裝配應(yīng)力。多面多孔式裝配可以看做孔-軸配合關(guān)系、面-面配合關(guān)系以及整體的相對(duì)位姿配合關(guān)系，因此其裝配關(guān)系可以表達(dá)如圖2所示。其中，軸-孔的配合情況影響著兩個(gè)裝配體的配合質(zhì)量。

考慮軸/孔的體積較小，受力引起的局部變形一般很小，可以近似看成剛性體。在剛性假設(shè)條件下，軸/孔可以用一個(gè)點(diǎn)代表位置，一個(gè)矢量代表方向，而繞軸旋轉(zhuǎn)不會(huì)影響軸-孔的配合。

因此，定義有向點(diǎn)(Orientation Point，OP)，有向點(diǎn)是軸/孔在空間的位姿簡(jiǎn)化描述，可以表示為

(1)

有向點(diǎn)的配合通常是一一對(duì)應(yīng)，因此進(jìn)行配合關(guān)系分析時(shí)，也是按對(duì)分析，定義具有相互配合關(guān)系的兩個(gè)有向點(diǎn)為有向點(diǎn)對(duì)。

對(duì)一個(gè)裝配體的多個(gè)軸/孔對(duì)應(yīng)的多個(gè)有向點(diǎn)共同組成了有向點(diǎn)集，多面多孔式裝配可以看做兩組對(duì)應(yīng)的有向點(diǎn)集的配合，將這兩組有向點(diǎn)集稱作有向點(diǎn)集對(duì)。

有向點(diǎn)可通過輔助工裝進(jìn)行測(cè)量，輔助工裝設(shè)計(jì)及測(cè)量方式如圖4所示。

通過計(jì)算4個(gè)測(cè)量點(diǎn)中心，并通過對(duì)角矢量叉乘，獲得位置參數(shù)和方向參數(shù)：

(2)

式中：c1、c2、c3、c4為輔助工裝上每個(gè)定位孔坐標(biāo)；l為輔助工裝以及靶球半徑合成的厚度。

2.2 基于有向點(diǎn)對(duì)的軸孔裝配偏差表達(dá)

裝配準(zhǔn)確度要求由尺寸精度、相互位置精度組成，其中尺寸精度由公差配合、接觸精度等組成，由制造過程保證其公差配合。相互位置精度包括同軸度、位置度等，是數(shù)字化調(diào)節(jié)的主要目標(biāo)。對(duì)于兩個(gè)裝配體的配合關(guān)系，可以通過式(3)進(jìn)行表示：

Φ(ω1,ω2)={ω1,ω2|f1(ω1,ω2)∈Ψ1,

f2(ω1,ω2)∈Ψ2,…,fn(ω1,ω2)∈Ψn}

(3)

式中：Ψ1、Ψ2、Ψn為裝配準(zhǔn)確度包含的區(qū)間；ω1、ω2為物體在空間的位置和姿態(tài)，在本文中為有向點(diǎn)；f1、f2、fn為從位姿參數(shù)到裝配準(zhǔn)確度的映射。

多個(gè)對(duì)象進(jìn)行配合時(shí)，每個(gè)對(duì)象應(yīng)滿足式(3)的要求，即可滿足裝配準(zhǔn)確度的要求。配合關(guān)系可描述為

(4)

式中：上標(biāo)A和B分別為基準(zhǔn)裝配體和對(duì)接裝配體，ΩA和ΩB分別為基準(zhǔn)裝配體和對(duì)接裝配體上相配合特征的位置和姿態(tài)參數(shù)的集合，在本文中為有向點(diǎn)集。

(5)

式中：qn為某一項(xiàng)裝配準(zhǔn)確度的指標(biāo)最優(yōu)值。

而軸孔類配合可以看做2個(gè)有向點(diǎn)之間進(jìn)行相互配合，如圖5所示，其由同軸度和位置度轉(zhuǎn)化而來的分析的值主要由偏移、偏向、縫隙決定。因此，二者的夾角(偏向)可以表示為

(6)

(7)

(8)

2.3 基于SVD分解的有向點(diǎn)集對(duì)裝配偏差解算

如圖6所示，裝配體進(jìn)行裝配時(shí)，可以等效為有向點(diǎn)集對(duì)中的有向點(diǎn)對(duì)一一配合，同時(shí)還需考慮有向點(diǎn)集自身的拓?fù)潢P(guān)系。即一個(gè)裝配體上的所有軸或孔構(gòu)成一個(gè)整體，因此需要對(duì)有向點(diǎn)集對(duì)的配合進(jìn)行整體評(píng)估，在最優(yōu)配合下，對(duì)有向點(diǎn)對(duì)的裝配偏差逐個(gè)進(jìn)行求解。

設(shè)基準(zhǔn)裝配體測(cè)量所得有向點(diǎn)集為

(9)

(10)

ΩBm可以轉(zhuǎn)化為位置參數(shù)矩陣PBm和方向參數(shù)矩陣OBm:

(11)

B的參數(shù)矩陣為ΩB，其位置和姿態(tài)參數(shù)矩陣分別為PB和OB，Bm和B兩組點(diǎn)集ΩB和ΩBm存在關(guān)系：

(12)

式中：R為旋轉(zhuǎn)矩陣；T為平移矩陣；EP為位置偏差矩陣；EO為方向偏差矩陣。

令

(13)

則式(12)可以轉(zhuǎn)化為

(14)

采用SVD分解法對(duì)式(14)進(jìn)行求解：

(15)

等價(jià)于

(16)

計(jì)算ΩVm及ΩV的重心坐標(biāo)：

(17)

令

(18)

則式(16)可以轉(zhuǎn)化為

(19)

等價(jià)于

(20)

此時(shí)

(21)

對(duì)H進(jìn)行SVD分解：H=UDVT，則

(22)

將R、T代入式(14)，有

(23)

則PBm′為對(duì)接裝配體B調(diào)整目標(biāo)位置下的有向點(diǎn)位置參數(shù)矩陣，此時(shí)PBm′與理想位置參數(shù)矩陣PBm仍有EP的差距。同理，OBm′與理想方向參數(shù)矩陣OBm有EO的差距。將PBm′與PBm、OBm′與OBm代入式(6)～式(8)中計(jì)算偏移、偏向、縫隙，并與裝配準(zhǔn)確度進(jìn)行比較，如果不滿足裝配準(zhǔn)確度要求，則需要進(jìn)行調(diào)配等優(yōu)化。

3 面向調(diào)配的協(xié)調(diào)量求解

孔類調(diào)配多通過對(duì)零部件上另一位置的調(diào)整間接傳遞。對(duì)空間任一點(diǎn)協(xié)調(diào)量的計(jì)算可通過羅德里格旋轉(zhuǎn)公式(Rodrigues’ Rotation Formula)進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，加上位置補(bǔ)償完成。

(24)

式中：Ralign為矢量變換的旋轉(zhuǎn)矩陣，通過羅德里格旋轉(zhuǎn)公式求解：

Ralign=-(Icosθ+(1-cosθ)rrT+

(25)

式中：θ可通過式(6)求解；r為旋轉(zhuǎn)軸；根據(jù)式(26)解得。

(26)

設(shè)調(diào)整點(diǎn)坐標(biāo)為P，則該點(diǎn)的調(diào)整目標(biāo)解算方法為

P′=RalignP

(27)

此時(shí)，平移補(bǔ)償量由ePi給出。平移量可分解為軸向平移和沿配合面平移，分別解算為縫隙補(bǔ)償和偏移補(bǔ)償。

(28)

式中：eh為縫隙補(bǔ)償矢量；ed為偏移補(bǔ)償矢量。

如果計(jì)算縫隙調(diào)整量為負(fù)值，說明該孔位在其他孔位配合正常后有擠壓，選出負(fù)值絕對(duì)值最大的一個(gè)，將該絕對(duì)值補(bǔ)償?shù)剿械目孜簧?，并進(jìn)行調(diào)整以消除影響。

4 試驗(yàn)與分析

4.1 試驗(yàn)過程與數(shù)據(jù)分析

結(jié)合某航天器多面多孔式裝配過程，建立試驗(yàn)流程如圖8所示。

1)建立如圖9(a)所示試驗(yàn)場(chǎng)景，3個(gè)孔類零件(a、b、c)分布固定板上作為試驗(yàn)組A，安裝測(cè)量輔具后用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)測(cè)量輔具的孔及上表面進(jìn)行測(cè)量，將孔投影到上表面所在平面為該測(cè)量孔在上表面的測(cè)量值，測(cè)量數(shù)據(jù)如表1所示。

2)如圖9(b)使用鋁塊將試驗(yàn)組A的固定板傾斜約15°，松開每個(gè)孔類零件并在與固定板的連接處插入不等量的墊片，使其相對(duì)姿態(tài)發(fā)生變化，擰緊，作為B組試驗(yàn)體，測(cè)量方式參考步驟1)，測(cè)量數(shù)據(jù)如表2所示(未轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系至A所在坐標(biāo)系)。

3)對(duì)試驗(yàn)組A與B進(jìn)行分析，計(jì)算試驗(yàn)組B需要補(bǔ)償?shù)膲|片以復(fù)原至A的狀態(tài)，松開孔類零件的緊固孔，并進(jìn)行墊片補(bǔ)償，在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的輔助下完成平移運(yùn)動(dòng)，調(diào)整完成后重新測(cè)量測(cè)量輔具作為試驗(yàn)組C，協(xié)調(diào)量(墊片補(bǔ)償及平移量，墊片序號(hào)與圖9中測(cè)量輔具標(biāo)注序號(hào)一致)如表3所示，有向點(diǎn)的方向?yàn)閦軸正方向，因此dz近似為0，墊片補(bǔ)償包括了縫隙以及偏向兩部分，試驗(yàn)組C測(cè)量數(shù)據(jù)(未轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系至試驗(yàn)組A所在坐標(biāo)系)如表4所示。

連接件測(cè)量點(diǎn)x/mmy/mmz/mm115.908347.840-80.594a267.929346.742-80.802366.817294.751-80.686414.804295.900-80.478181.161218.937-74.581b2132.616226.205-74.0303139.910174.713-74.032488.441167.405-74.5831187.626303.415-83.820c2233.913327.103-83.8353257.601280.779-83.8494211.308257.117-83.834

表2 試驗(yàn)組B測(cè)量數(shù)據(jù)Table 2 Measure data of Set B

表3 試驗(yàn)組B協(xié)調(diào)量Table 3 Adjustments of Set B

表4 試驗(yàn)組C測(cè)量數(shù)據(jù)Table 4 Measure data of Set C

4)計(jì)算試驗(yàn)組C與試驗(yàn)組A的裝配偏差，試驗(yàn)組B與試驗(yàn)組A的裝配偏差，如果試驗(yàn)組C與試驗(yàn)組A較試驗(yàn)組B與試驗(yàn)組A的裝配偏差有減少，則驗(yàn)證本文的方法的有效性，解算結(jié)果如表5所示。

表5數(shù)據(jù)顯示，縫隙、偏移、偏向均有明顯減少，從而說明在本方法的指導(dǎo)下能夠通過測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)裝配偏差進(jìn)行分析并輔助調(diào)配。

表5 裝配偏差比較Table 5 Comparison of assembly deviation

4.2 誤差分析

試驗(yàn)中解算出的協(xié)調(diào)量的不確定度受測(cè)量不確定度以及算法本身精度影響，縫隙、偏移、偏向的不確定度可根據(jù)式(29)進(jìn)行粗略估計(jì):

(29)

式中：Δh為縫隙補(bǔ)償量的不確定度;Δp1、Δp2為有向點(diǎn)位置參數(shù)的測(cè)量不確定度;Δm為算法在計(jì)算機(jī)運(yùn)行中舍入精度引起的誤差，在多次仿真試驗(yàn)中，該數(shù)值優(yōu)于0.002 mm;Δd為偏移補(bǔ)償量的不確定度;Δθ為偏向補(bǔ)償量的不確定度;Δo1、Δo2為有向點(diǎn)方向參數(shù)的測(cè)量不確定度。

其中三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)型號(hào)為PEARL-755，其基準(zhǔn)測(cè)量不確定度參數(shù)為3 μm，線性測(cè)量不確定度參數(shù)為3 μm/m。試驗(yàn)中均為點(diǎn)測(cè)量，測(cè)量范圍較小，估計(jì)測(cè)量不確定度為3 μm。

根據(jù)式(2)，有向點(diǎn)的位置測(cè)量不確定度為6.2×10-3mm，有向點(diǎn)的方向測(cè)量不確定度估計(jì)為4.7×10-3(°)，縫隙的測(cè)量不確定度估計(jì)為9.0×10-3mm，偏移的測(cè)量不確定度估計(jì)為9.0×10-3mm，偏向的測(cè)量不確定度估計(jì)為6.6×10-3(°)。

在試驗(yàn)中，協(xié)調(diào)的偏差還受工藝因素的影響，縫隙調(diào)整與偏向調(diào)整中墊片厚度名義值與實(shí)際值的偏差、墊片墊入深度、螺釘擰緊力等因素對(duì)調(diào)整結(jié)果均有影響，偏移調(diào)整中人為操作偏差、軸孔配合偏差影響了調(diào)整精度。

5 結(jié) 論

1) 提出基于有向點(diǎn)的軸/孔位姿表達(dá)方法，構(gòu)建多面多孔式裝配偏差的數(shù)學(xué)表達(dá)模型，對(duì)有向點(diǎn)集對(duì)的協(xié)調(diào)過程進(jìn)行分析；針對(duì)軸或孔的調(diào)整裝配，給出協(xié)調(diào)量計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)多面多孔式裝配的裝前評(píng)估與協(xié)調(diào)。

2) 針對(duì)有向點(diǎn)集對(duì)協(xié)調(diào)的問題，構(gòu)建了有向點(diǎn)集對(duì)配合的數(shù)學(xué)模型，采用SVD分解法進(jìn)行最佳擬合；針對(duì)有向點(diǎn)表征的孔或軸的調(diào)整裝配，通過羅德里格旋轉(zhuǎn)公式和平移補(bǔ)償計(jì)算調(diào)整量。

3) 進(jìn)行了多面多孔式裝配協(xié)調(diào)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明，通過對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的分析和對(duì)軸/孔的調(diào)整，縫隙、偏移、偏向均有明顯降低，驗(yàn)證了本文方法能夠基于測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)裝配偏差分析并輔助調(diào)配。

4) 本方法還可擴(kuò)展應(yīng)用于柔性工裝裝調(diào)等。