基于Kameda模型的爆炸地震動時變功率譜擬合

陳輝國，宋 浩，鐘 庭，劉國粹，王苗碩

(1. 陸軍勤務(wù)學(xué)院 軍事設(shè)施系，重慶 401331; 2. 69056部隊，新疆 烏魯木齊 830000)

0 引 言

在工程中，為了研究爆炸震動對結(jié)構(gòu)的影響，需要將其震動記錄作為結(jié)構(gòu)的動力輸入來進(jìn)行計算分析。但由于真實(shí)記錄的有限以及不能很好的符合所需場地特性，常常需要人工合成爆炸地震波。由于人們對于天然地震波已經(jīng)有了比較充分的研究，因而根據(jù)天然地震波與爆炸地震波之間的聯(lián)系，可以參照人工合成地震波的方法來研究爆炸地震波的模擬。目前在人工地震波合成領(lǐng)域常用的方法主要有兩類[1]：一類是地震學(xué)方法，即基于震源過程分析和格林函數(shù)計算兩個部分進(jìn)行地面運(yùn)動研究，考慮斷層破裂產(chǎn)生的條件、過程以及非均勻介質(zhì)的吸收對傳播造成的影響；另一類是工程方法，即基于地震動參數(shù)統(tǒng)計關(guān)系和隨機(jī)過程理論，注重實(shí)際地震動參數(shù)諸如幅值、持時、頻譜等，使用數(shù)學(xué)方法對加速度時程的細(xì)節(jié)進(jìn)行刻畫，其中應(yīng)用最為廣泛的是隨機(jī)過程方法，通常分為平穩(wěn)隨機(jī)過程、強(qiáng)度非平穩(wěn)的隨機(jī)過程以及強(qiáng)度和頻率都非平穩(wěn)的隨機(jī)過程。對于爆炸地震動擬合，目前研究人員提出的非平穩(wěn)隨機(jī)過程主要是強(qiáng)度非平穩(wěn)模型，最為常用的是由一個零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程與幅值包絡(luò)線函數(shù)的乘積來實(shí)現(xiàn)其強(qiáng)度非平穩(wěn)，如曾德斌等[2]經(jīng)過研究改進(jìn)M. SHINOZUKA等[3]得出的雙指數(shù)包絡(luò)函數(shù)后應(yīng)用于爆炸地震波的模擬，國勝兵等[4]指出林大超基于阻尼半空間爆炸點(diǎn)源加載模型改進(jìn)幅值包絡(luò)和功率譜函數(shù)式進(jìn)而模擬能夠考慮裝藥量和爆距影響的爆炸地震波時程，這些方法雖然在一定程度上體現(xiàn)了爆炸震動的強(qiáng)度非平穩(wěn)特性，但是頻率非平穩(wěn)特性并沒有得以體現(xiàn)。林大超等[5]研究表明，爆炸震動的時頻非平穩(wěn)特性是其一個重要屬性，在自然地震研究方面，已有大量學(xué)者對地震動的時頻非平穩(wěn)模擬進(jìn)行了研究，主要有短時傅立葉變換，小波變換，HHT等，其中 H. KAMEDA，M. SUGITO等[6-8]提出采用時變功率譜和隨機(jī)相位譜來實(shí)現(xiàn)地震動的時頻非平穩(wěn)，該方法簡便，具有很好的工程適用性，但由于其是基于日本強(qiáng)震記錄得出的公式、衰減規(guī)律，故需要進(jìn)一步研究其是否適用于爆炸震動的模擬。筆者根據(jù)爆炸地震動時變功率譜的特性變化規(guī)律，在H. KAMEDA，M. SUGITO等研究的基礎(chǔ)上，采用Kameda時變功率譜進(jìn)行爆炸地震動擬合，并選取實(shí)際爆炸震動記錄進(jìn)行了驗(yàn)證分析，從而通過時變功率譜模型實(shí)現(xiàn)時頻非平穩(wěn)爆炸地震動的擬合。

1 Kameda時變功率譜模型

1.1 多重濾波技術(shù)計算時變功率譜

Kameda提出采用多重濾波技術(shù)計算強(qiáng)地面運(yùn)動加速度時程的時變功率譜，求出諸多不同頻率的單質(zhì)點(diǎn)振子在給定輸入運(yùn)動下的輸出反應(yīng)。單質(zhì)點(diǎn)體系受基底x(t)激勵下的運(yùn)動方程為

y″(t)+2ζωy′(t)+ω2y(t)=-x(t)

(1)

式中：y(t)、y′(t)、y″(t)分別為相對位移、相對速度和相對加速度反應(yīng)時程；ζ為阻尼比，在中小強(qiáng)度的地震時，一般取ζ=5%；ω為振子的圓頻率；x(t)為輸入加速度時程。

如果用與振子總能量有關(guān)的函數(shù)R(t,ω)來表示振子的隨機(jī)反應(yīng)，則可得

R2(t,ω)=y2(t,ω)+y′2(t,ω)/ω2

(2)

對式(2)取集合平均得

ER2(t,ω)=Ey2(t,ω)+Ey′2(t,ω)/ω2

(3)

因?yàn)?/p>

(4)

式中：y(t,ω)為t時刻ω頻率點(diǎn)的相對位移反應(yīng)時程；H(ω)為振子的位移傳遞函數(shù)；Sx(t,ω)為輸入加速度時程x(t)為t時刻ω頻率點(diǎn)的時變功率譜。

當(dāng)時變功率譜Sx(t,ω)比傳遞函數(shù)|H(ω)|2平滑時，則可近似得到

(5)

(6)

將式(5)和式(6)代入式(3)，并且Sx(t,ω)=Gx(t,ω)/2，得到時變功率譜的近似公式：

(7)

式中：Gx(t,ω)為輸入x(t)的時變功率譜；y(t,ω)、y′(t,ω)分別為t時刻ω頻率點(diǎn)的相對位移、速度反應(yīng)時程。

根據(jù)上述公式，首先計算各個頻率點(diǎn)的相對位移、相對速度反應(yīng)時程，再代入式(7)即可得到對應(yīng)頻率點(diǎn)的時變功率譜。但是需要注意的是，由于譜的隨機(jī)特性的影響，通過上述方法得到的時變功率譜圖形波動比較大，故需要對其進(jìn)行平滑處理。可選用Parzen窗函數(shù)[9]對時變功率譜值進(jìn)行平滑處理：

(8)

1.2 Kameda時變功率譜模型及參數(shù)確定

Kameda使用前述的多重濾波技術(shù)計算日本84個地震加速度時程的時變功率譜，通過統(tǒng)計分析研究提出其表達(dá)式：

t>ts

(9)

式中：Gx(t,2πf)為該模型的時變功率譜；f=ω/2π；αm(f)為時變功率譜模型峰值的平方根；ts(f)為f頻率點(diǎn)時變功率譜起始時間點(diǎn)，通常取Gx(t,2πf)=0.1Gmax(t,2πf)對應(yīng)的t值，其中Gmax(t,2πf)為實(shí)際地震動時變功率譜的峰值；tp(f)為時變功率譜起始時間點(diǎn)ts(f)到峰值的持時。對于各參數(shù)的具體含義，詳見圖1。

圖1 實(shí)際地震動功率譜與時變功率譜模型示意Fig. 1 Recorded and simulated evolutionary power spectra

M. SUGITO等[7]通過分析日本118條實(shí)際地震動記錄的時變功率譜，統(tǒng)計其衰減規(guī)律，式(9)中各參數(shù)隨頻率的參數(shù)化模型表達(dá)式為

lgαm(f)=a1+a2lgf+a3(lgf)2

(10)

lgtp(f)=b1+b2lgf+b3(lgf)2

(11)

(12)

式中：tm為所有離散點(diǎn)處ts(f)的均值，a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3為系數(shù)。

2 實(shí)例分析

2.1 爆炸記錄的選用

為分析Kameda時變功率譜模型的有效性，選取重慶市軌道交通一號線工程大坪—石油路區(qū)間地下爆破施工時測得的爆炸震動加速度時程曲線進(jìn)行分析，爆破采用二號巖石硝銨炸藥，密度0.85～1.05 g/m3，藥卷直徑φ32 mm，圖2為右線3號測點(diǎn)的爆炸地震動加速度時程曲線。

圖2 爆炸加速度時程Fig. 2 Time history of explosive acceleration

2.2 Kameda模型參數(shù)識別

使用Kameda時變功率譜模型，鐘菊芳等[10]提出取低頻截止頻率為f=0.125 Hz，同時考慮到大多數(shù)建筑物的頻率范圍為0.1～10 Hz，則頻率點(diǎn)的范圍取定為0.125～10.125 Hz，頻率間隔Δf=0.20 Hz；使用Parzen窗函數(shù)對時變功率譜進(jìn)行平滑時，取等效帶寬b=0.1π rad/s。使用該模型計算各頻率點(diǎn)的時變功率譜，并利用最小二乘法擬合該爆炸記錄對應(yīng)51個頻率點(diǎn)αm(f)、ts(f)、tp(f)參數(shù)值，其中前9個頻率點(diǎn)的時變功率譜擬合結(jié)果如圖3，從圖3中可以看出使用Kameda模型擬合結(jié)果能夠較好的反映計算值的主體特征，擬合效果良好。

圖3 時變功率譜隨時間變化圖(圖中的頻率點(diǎn)范圍為0.125～1.175 Hz)Fig. 3 Variation of evolutionary power spectra changing with time (the range of frequency points in the figure is 0.125～1.175 Hz)

2.3 模型參數(shù)隨頻率變化擬合

采用式(10)～式(12)對51個頻率點(diǎn)進(jìn)行時變功率譜模型參數(shù)擬合之后，得到各個頻率點(diǎn)下的參數(shù)取值，參數(shù)值的表達(dá)式中各個系數(shù)值如表1，將參數(shù)隨頻率的變化統(tǒng)計并擬合，各參數(shù)擬合執(zhí)行水平情況見表2，擬合結(jié)果如圖4，從圖4中可以看出αm隨頻率的增加先增大后減小，ts隨頻率的增加先增大后減小，tp隨頻率的增加而增大。

表1 式(10)～式(12)中各系數(shù)的取值Table 1 Value of each coefficient of the formula (10) ～ (12)

表2 各參數(shù)擬合執(zhí)行水平Table 2 The performance level of the fitting of each parameter

圖4 αm、ts、tp隨頻率的變化規(guī)律Fig. 4 The variation rule of αm、ts、tp changing with the frequency

2.4 時變功率譜比較

為比較模型化后的時變功率譜與原始爆炸地震動的時變功率譜的近似程度，圖5分析給出了由多重濾波技術(shù)得到的真實(shí)爆炸記錄的近似時變功率譜〔圖5(a)〕，根據(jù)時變功率譜模型參數(shù)計算值得到的擬合時變功率譜〔圖5(b)〕，以及根據(jù)時變功率譜模型參數(shù)擬合值得到的時變功率譜〔圖5(c)〕，從圖5中可以看出模型化后的時變功率譜與實(shí)際的時變功率譜有較高的一致性，由模型參數(shù)計算值得到的時變功率譜與實(shí)際的時變功率譜有更高的一致性，模型參數(shù)擬合值的時變功率譜是平滑后的計算值的時變功率譜，主體特征保留，與實(shí)際時變功率譜也有較高的一致性。

圖5 實(shí)際與模型時變功率譜比較Fig. 5 Comparison of the recorded and simulated evolutionary power spectra

2.5 爆炸地震動合成

按照M. SHINOZUKA等[3]提出的非平穩(wěn)時程模擬方法，基于時變功率譜模型可按下式進(jìn)行爆炸地震動合成：

(13)

式中：x(t)為合成的加速度時程；G(t,2πfk)為t時刻2πfk頻率點(diǎn)的時變功率譜值；Δf為頻率間隔；φk為(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)相位角。

由時變功率譜合成時程曲線時，考慮兩種情況：①根據(jù)模型參數(shù)計算值得到的時變功率譜〔圖5(b)〕合成的爆炸時程曲線〔圖6(a)〕；②根據(jù)模型參數(shù)擬合值得到的時變功率譜(圖5(c))合成的爆炸時程曲線〔圖6(b)〕，擬合的加速度時程曲線如圖6。

圖6 合成的加速度時程曲線Fig. 6 Time history curve of the artificial acceleration

圖7分別給出了兩種情況下的擬合時程與記錄時程的反應(yīng)譜比較：①圖6(a)與記錄的加速度時程反應(yīng)譜比較；②圖6(b)與記錄的加速度時程反應(yīng)譜比較，從圖7中可以看出擬合與記錄的加速度反應(yīng)譜曲線有較高的一致性，情況2的加速度時程反應(yīng)譜盡管與實(shí)際的出入較大，但大體符合實(shí)際的特征，有較好的一致性。

圖7 記錄與合成加速度反應(yīng)譜比較Fig. 7 Comparison of response spectra for the recorded and the artificial acceleration

為比較擬合爆炸地震動與原始爆炸地震動的時域非平穩(wěn)性，圖8給出了原始爆炸時程、情況1的擬合爆炸時程圖6(a)、情況2的擬合爆炸時程圖6(b)的強(qiáng)度包線，可以看出原始爆炸地震動與擬合爆炸地震動強(qiáng)度非平穩(wěn)特性也非常接近。

圖8 記錄與合成加速度強(qiáng)度包線比較Fig. 8 Comparison of the intensity envelope of the recorded and the artificial acceleration

根據(jù)G. R. SARAGONI等[11]的研究成果，穿零率對反映地震動的頻率非平穩(wěn)性具有非常重要的指導(dǎo)意義，為此，比較擬合爆炸地震動與原始爆炸地震動頻率非平穩(wěn)性，圖9分別給出了兩種情況下的累積穿零次數(shù)比較：①圖6(a)與原記錄時程的累積穿零次數(shù)比較；②圖6(b)與原記錄時程的累積穿零次數(shù)比較。

圖9 記錄與合成加速度累積穿零次數(shù)比較Fig. 9 Comparison of cumulative times of zero-crossing of the recorded and the artificial acceleration

從圖9中看出擬合時程與記錄時程都表現(xiàn)出頻率非平穩(wěn)性，情況2的誤差相對大一些，但仍能大體反映出原始記錄的特征。

通過比較記錄與合成加速度時程(圖2，圖6)，以及記錄與合成加速度反應(yīng)譜(圖7)、強(qiáng)度包線(圖8)、累積穿零次數(shù)(圖9)，可以發(fā)現(xiàn)通過此方法合成的爆炸加速度時程與記錄時程可以保持較高的一致性，并且可以實(shí)現(xiàn)時域和頻域均非平穩(wěn)的爆炸地震動加速度時程的合成，由此說明該方法是可行的。通過模型參數(shù)擬合值得到的時變功率譜是平滑后的參數(shù)計算值得到的時變功率譜，但其保留了主體特征，故由二次擬合的時變功率譜合成的加速度時程與記錄時程仍有較高的一致性，方法可行。

3 結(jié) 語

選用Kameda時變功率譜模型，對模型參數(shù)進(jìn)行計算、擬合，最終根據(jù)時變功率譜合成爆炸地震動加速度時程。通過比較擬合爆炸地震動與實(shí)際爆炸地震動的加速度時程曲線、標(biāo)準(zhǔn)加速度反應(yīng)譜、強(qiáng)度包線、累積穿零次數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)擬合爆炸地震動與實(shí)際爆炸地震動大體上較為吻合，表明基于Kameda時變功率譜模型能夠?qū)崿F(xiàn)時頻非平穩(wěn)爆炸地震動的擬合。