加強(qiáng)AdSEn魯棒性的實(shí)驗(yàn)設(shè)計

張 正

（溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣電子工程系，浙江 溫州 325035）

0 引 言

傳統(tǒng)的過程能力指數(shù)（CPK）方法[1]假設(shè)前提是數(shù)據(jù)樣本獨(dú)立，且分布相同，然而，這在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中較難保障，在日益多維化的數(shù)據(jù)沖擊下已顯得力不從心。鑒于CPK方法的局限性，其在高精度、高相關(guān)性的過程能力控制環(huán)境中并不完全適用。

調(diào)整樣本熵AdSEn（Adjusted Sample Entropy）源于樣本熵，由香農(nóng)信息熵發(fā)展而來，用于檢測數(shù)據(jù)的復(fù)雜度和混亂度，有應(yīng)用于過程能力監(jiān)測的前景[2-3]。AdSEn能通過可控數(shù)據(jù)段熵值與目標(biāo)數(shù)據(jù)段熵值相除的商作為量化指標(biāo)，且已被證實(shí)在理想的等權(quán)重多變量環(huán)境下，可得到較好的結(jié)果[4]，但考慮到多變量環(huán)境中每個變量的真實(shí)影響并非全都一樣[5]，其在應(yīng)用中完全取代CPK的優(yōu)勢尚未形成。本文針對AdSEn的算法原理，輔以魯棒性實(shí)驗(yàn)設(shè)計，尋找最適合AdSEn方法的魯棒性實(shí)驗(yàn)設(shè)計方案，提高AdSEn在過程能力控制上的實(shí)用性。

1 相關(guān)算法

1.1 樣本熵算法

樣本熵值測量原有數(shù)列與新數(shù)列中，超過閾值的事件發(fā)生概率的比值負(fù)對數(shù)記為：

作為CPK的應(yīng)用，可假設(shè)d [ui-uj]為樣本與目標(biāo)值之差的絕對值。若目標(biāo)為期望值，可單個數(shù)據(jù)為對比對象，也可取一段數(shù)據(jù)的平均值為對比對象；標(biāo)準(zhǔn)差為目標(biāo)，則需求一定量樣本的標(biāo)準(zhǔn)差與目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差的距離。從樣本熵算法中可發(fā)現(xiàn)，一條公式、一個指數(shù)無法同時反應(yīng)期望值與標(biāo)準(zhǔn)差的變化。

1.2 AdSEn算法

AdSEn算法對樣本熵的輸入進(jìn)行調(diào)整，旨在將標(biāo)準(zhǔn)差和期望值的變化都融入到一個變量中去[6]。設(shè)樣本熵的元輸入為xij，調(diào)整變換后的輸入為yij。記第i樣本組為xi，xij為xi中第j個樣本， 為xi的均值。通過變換可將元樣本x中的變量變化添加到y(tǒng)ij的均值變化上，且不改變元樣本分布。

1.3 田口方法

田口方法是一種基于響應(yīng)面的方法，將變化的誘因歸為可控因子和難控因子（即噪聲因子）兩類，旨在通過探究可控變量組合以削弱噪聲對實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響的研究，比想辦法改變或者消除難以控制的噪聲因子更簡單有效，且成本更低[7]。田口方法建立了一組交叉數(shù)列，并分析信號-噪聲比SNR（Signal-to-Noise Ratio），SNR比值越低，對應(yīng)的參數(shù)組合所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果越穩(wěn)定。然而，田口方法并不能真正反饋連續(xù)性參數(shù)實(shí)驗(yàn)情況下的最優(yōu)解，且這種高低組合的2k實(shí)驗(yàn)設(shè)計可能會導(dǎo)致模型匹配過程中的誤差，實(shí)驗(yàn)契合度值得商榷。在應(yīng)用過程中上述困難亟待解決。

由于田口方法的局限性，相關(guān)研究并未得到更多關(guān)注。然而，在參數(shù)健壯性設(shè)計RPD（Robust Parameter Design）領(lǐng)域的探索并沒有停止。通過定量實(shí)驗(yàn)方法探索諸如PerMIA方法、Derringer方法和雙響應(yīng)（Dual Res）方法等類似田口方法的手段與AdSEn結(jié)合，可降低不可控噪聲因子對實(shí)驗(yàn)響應(yīng)結(jié)果的影響，尋找提高AdSEn魯棒性的最佳實(shí)驗(yàn)設(shè)計方案。

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計

結(jié)合多變量環(huán)境，在田口方法的多變量應(yīng)用的基礎(chǔ)上，通過量化的對比研究，探索AdSEn與類似田口方法的PerMIA方法、Derringer方法和雙響應(yīng)方法的結(jié)合，對三種設(shè)計方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較。通過量化結(jié)果尋找AdSEn在過程能力控制上的最佳實(shí)驗(yàn)設(shè)計方案，論證與AdSEn結(jié)合的適用場景，從而使AdSEn能更加適應(yīng)高密度數(shù)據(jù)采集的工業(yè)環(huán)境。

2.1 實(shí)驗(yàn)背景

以美國某煉鋼廠一套煉鋼工藝為例，該工藝含有5個變量，包括最高加熱溫度、加熱時間、轉(zhuǎn)運(yùn)時間、軋鋼時間及不可控噪音變量，僅以煺火油溫為例加以說明。為確保數(shù)據(jù)的充分性和實(shí)驗(yàn)的可重復(fù)性，利用微軟Access軟件模擬生成生產(chǎn)環(huán)境隨機(jī)數(shù)據(jù)，以人工隨機(jī)算法數(shù)據(jù)模擬不可控噪音，以可控參數(shù)作為輸入變量，通過對高、低實(shí)驗(yàn)參數(shù)的設(shè)置，得到模擬的最終結(jié)果。其實(shí)驗(yàn)設(shè)計參數(shù)見表1。

表1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計參數(shù)

軋鋼工藝的田口交叉數(shù)列[8]見表2。在田口方法中，需要找到SNR值最小的對應(yīng)組合，即組合設(shè)計ABCD=(-, -, +, +)，使實(shí)驗(yàn)受到的噪音影響最小。

2.2 AdSEn與PerMIA方法的結(jié)合

PerMIA方法是一種與田口方法類似基于響應(yīng)面實(shí)驗(yàn)設(shè)計的方法，也采用交叉數(shù)列的設(shè)計，不同之處在于PerMIA是建立兩組分開的模型：一組實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ歪槍?shí)驗(yàn)響應(yīng)的期望值y的變化，另一組實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ歪槍?shí)驗(yàn)響應(yīng)的變化因子S（如方差、標(biāo)準(zhǔn)差等），旨在將影響因子歸類為噪音相關(guān)因子和調(diào)整相關(guān)因子。通過實(shí)驗(yàn)設(shè)計可找到兩種因子，選擇其中對變量影響最小和最接近標(biāo)準(zhǔn)期望值的參數(shù)配置，以獲得最優(yōu)實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置。實(shí)驗(yàn)采用類似2k實(shí)驗(yàn)設(shè)計，記錄高、低噪聲情況下的輸出。高噪聲組記為“+”，計3次實(shí)驗(yàn)：(+1, +2, +3)；低噪聲組記為“-”，計3次重復(fù)實(shí)驗(yàn)：(-1, -2, -3)，如圖1所示。

表2 田口交叉數(shù)列

圖1 PerMIA方法的交叉矩陣

線性模型由統(tǒng)計軟件Minitab生成，Minitab能輸出線性模型分析結(jié)果（見表3）。

表3 線性模型S的主要成分

R-Sq(adj)為調(diào)整后的R2，即其比值越接近1，意味著模型的SSerror越小。調(diào)整后的R2，即R-Sq(adj)為旨在 消除新增變量對交叉模型的影響。當(dāng)R-Sq(adj)越小，模型與響應(yīng)面的匹配越弱。因此，需要進(jìn)行一系列假設(shè)檢驗(yàn)以估算噪聲相關(guān)因子S，這里S即為標(biāo)準(zhǔn)差。

由于此例只有8個標(biāo)準(zhǔn)差或中點(diǎn)，無足夠的自由度來運(yùn)行全模型或交點(diǎn)測試，因而只能依次測試6個不同的交點(diǎn)和4個不同的均值測試。PerMIA方法測試顯示，AD和BC的交叉組合的R2值非常高，據(jù)此可判定在D=ABC模型中，AD和BC是有相關(guān)性的兩對變量。由于B, C的顯著性（P值結(jié)果）比A, D的顯著性更高，可選擇BC為模型中的交叉因子，得到模型：

用同樣的方法可得到均值Y的模型：

其結(jié)果見表4。

由（1）式可得，當(dāng)(B, C)被設(shè)計為(-1, 1)時，變化最小，將B, C的參數(shù)設(shè)置值代入（2）式時，期望目標(biāo)值為8， （2）式可變形為：Min(Y-8)2。由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，以Min(Y-8)2為目標(biāo)方程，求最優(yōu)解。通過線性運(yùn)算模型在Excel Solver中的結(jié)果，可得到結(jié)論：當(dāng)(A, D)=(0, -1)時，均值最接近Y=8。

表4 MINITAB關(guān)于y-均值的ANOVA輸出

2.3 AdSEn與Derringer方法的結(jié)合

Derringer方法與PerMIA類似，它將響應(yīng)面模型的結(jié)果轉(zhuǎn)換為若干條獨(dú)立的渴望度目標(biāo)方程（Individual Desirability目標(biāo)為di），各條獨(dú)立的渴望度方程都有自己的渴望度di，然后將各di整合為一條總渴望度目標(biāo)方程D，D的取值范圍為D∈[0, 1]，越高的總渴望值說明其結(jié)果更理想。

當(dāng)總渴望值最大值為理想值時：

當(dāng)總渴望值最小值為理想值時：

當(dāng)總渴望值（趨近）目標(biāo)值為理想值時：

運(yùn)用Minitab解例中的Derringer最優(yōu)方程，可得最優(yōu)解x*’=(0.1875, -1, 1, -0.8588)，綜合渴望度(1*0.667)1/2=0.817。由圖2可知，S最小值（波動的最小值）S*=0.561，因而最接近的D值為：D=(dy*ds*)1/2=0.848。

圖2 PerMIA方法的Derringer’s解決方案

2.4 AdSEn與雙響應(yīng)方法的結(jié)合

雙響應(yīng)方法能通過實(shí)驗(yàn)設(shè)計生成統(tǒng)計模型，在該模型中作出定義，如圖3所示。

圖3 雙響應(yīng)方法的實(shí)驗(yàn)設(shè)計

當(dāng)去除不顯著交叉因子之后，該模型可達(dá)到非常高的匹配度。通過P值可看出，影響因子B，交叉因子OA, OD, AB, AC對響應(yīng)y的影響較低；交叉因子OB具有相當(dāng)高的P值，對模型影響較為明顯。因此，選取B為主要影響因子，并刪除模型中的OA, OD, AB,AC交叉因子。同時，DB與CD交叉因子的影響也非常小。

通過對y-均值的回歸系數(shù)估值（見表5）可得出如下結(jié)論：

響應(yīng)面模型：

y-均值的ANOVA分析見表6。

通過上述模型可列出如下兩條目標(biāo)方程：

表5 y-均值的回歸系數(shù)估值

表6 y-均值的ANOVA分析

將上述兩條方程聯(lián)列為線性規(guī)劃求最小值模型，以變化波動最小化為目標(biāo)，以期望值=m的目標(biāo)函數(shù)為限制條件的公式：

通過二進(jìn)制搜索法，設(shè)噪聲O=0，期望值m=7至9（上下限），然后進(jìn)行搜索，其搜索結(jié)果如圖4所示。由圖4可看出，當(dāng)目標(biāo)噪聲變量O=0時，理想結(jié)果收斂，m=8.8875時，最接近于8，如圖4b所示。其對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)計為：(A, B, C, D)=(0.44475, -1, 1,-0.29385)。

用同樣的方法測試噪聲因子O=[-1, 1]，即非編碼變量130～170，當(dāng)m=8.875時，其期望響應(yīng)仍在目標(biāo)范圍值內(nèi)。因此，運(yùn)用雙響應(yīng)模型控制的變化因素非常穩(wěn)定，可將O確定在一個非常小的值上。然而，這種方法需要犧牲目標(biāo)值m的精確性。當(dāng)m=8.875時，偏離了目標(biāo)指標(biāo)8。若在設(shè)計區(qū)間內(nèi)，可接受這個結(jié)論；若不在設(shè)計區(qū)間內(nèi)，這種方法不可取。雙響應(yīng)方法的主要控制手段在于，利用m的值作為可調(diào)節(jié)的限制條件，以期獲得最小的O。其模擬結(jié)果如圖5所示。

2.5 結(jié)果比較

PerMIA方法、Derringer方法和雙響應(yīng)方法三種方法均采用編碼式變量的測試方法，檢驗(yàn)三種實(shí)驗(yàn)設(shè)計方案。Derringer方法與PerMIA方法類似，均分列均值和方差為不同方程；雙響應(yīng)方法則采用預(yù)測模型對噪聲變量求偏導(dǎo)，由于其采用16次實(shí)驗(yàn)，僅為另外二者交叉數(shù)列方式的48次實(shí)驗(yàn)次數(shù)的1/3。通過對以上三種方法結(jié)果進(jìn)行定量比較分析可看出，Derringer方法所得結(jié)果在目標(biāo)值下，對噪聲的抵抗力最強(qiáng)，其箱型圖的25個百分點(diǎn)至75個百分點(diǎn)的區(qū)間最窄；雙響應(yīng)方法可使結(jié)果更準(zhǔn)確地靠近設(shè)計目標(biāo)，但變量非常大；只有PerMIA方法的結(jié)果在8附近，且分布較窄，如圖6所示。

圖4 二進(jìn)制搜索法尋找最適合的組合

圖5 8.75, 8.875, 9的箱型圖

圖6 三種方法仿真結(jié)果的箱型圖

由仿真結(jié)果可看出，若以期望值為目標(biāo)，雙響應(yīng)方法不但效果較好，且最節(jié)約成本。但雙響應(yīng)方法的結(jié)果分布較散，方差巨大，穩(wěn)定性極弱，且AdSEn算法的基礎(chǔ)需要大量的數(shù)據(jù)，因而與AdSEn結(jié)合時，雙響應(yīng)方法并不能完全發(fā)揮其優(yōu)勢。反之，若以最小變量為目的確定實(shí)驗(yàn)參數(shù)配置時，Derringer方法為最優(yōu)選項(xiàng)。但Derringer方法對期望值的控制能力較弱，偏差較大。AdSEn算法中，其檢測期望值偏差的能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于檢測方差波動的能力，若與Derringer方法結(jié)合，相當(dāng)于把AdSEn的強(qiáng)項(xiàng)作為一個限制條件，并不能完全發(fā)揮AdSEn算法本身的作用。PerMIA方法雖然不如Derringer方法精確，且比雙響應(yīng)方法更昂貴，但PerMIA方法對期望值和方差的控制都較為準(zhǔn)確。通過最直觀的實(shí)驗(yàn)參數(shù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的關(guān)系的展示，PerMIA方法能通過調(diào)整參數(shù)快速作出響應(yīng)，并提供最優(yōu)解。

3 結(jié) 論

AdSEn算法本身擁有較高響應(yīng)精度，能根據(jù)閾值的設(shè)置，調(diào)節(jié)響應(yīng)敏銳度，與PerMIA方法非常相似，契合度極高。但AdSEn算法的量化水平不高，而PerMIA方法本身的檢測精度也有限，因而在矯正應(yīng)用的實(shí)踐過程中仍需探索提高目標(biāo)精度的方法。PerMIA方法與AdSEn的契合將是下一步研究方向，即在保障AdSEn方法高靈敏度的情況下，探索挖掘提高PerMIA與AdSEn結(jié)合的檢測精度。AdSEn方法需要大量的歷史數(shù)據(jù)作為支撐，在當(dāng)前生產(chǎn)工具高度自動化、智能化的趨勢下，二進(jìn)制搜索方法將變得越來越簡單。通過遞進(jìn)算法，當(dāng)將實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)設(shè)置為m的時候，計算機(jī)能快速計算出實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能的最小波動范圍。但當(dāng)運(yùn)用于生產(chǎn)實(shí)踐中，隨著數(shù)據(jù)的積累，PerMIA方法與AdSEn的契合可從實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)中進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘，運(yùn)用深度學(xué)習(xí)，最終提高控制精度，實(shí)現(xiàn)精確質(zhì)量控制的目標(biāo)，成為最契合大數(shù)據(jù)的、新一代的過程能力控制解決方案。