基于循環(huán)相關(guān)熵譜的時頻混疊信號載波頻率估計方法

邱天爽，陳興，馬濟通，李景春，李蓉

（1. 大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)部，遼寧 大連 116024；2. 國家無線電監(jiān)測中心，北京 100037）

1 引言

隨著通信技術(shù)的發(fā)展，復(fù)雜電磁環(huán)境中信號的時頻混疊現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，如鄰近衛(wèi)星之間的鄰星信號干擾、相鄰基站之間的同頻干擾，這類信號極大地影響了系統(tǒng)的性能，也導(dǎo)致基于單信號假設(shè)的信號處理方法不再適用，因此，需要研究相對應(yīng)的處理方法。對時頻混疊信號的載頻估計是時頻混疊信號處理中重要的一步，既可以作為盲分離算法初始值設(shè)置的先驗知識，又可以預(yù)估盲分離性能。

在以往的時頻混疊信號載頻估計研究中，往往假設(shè)信號中的加性噪聲服從高斯分布，但在實際應(yīng)用中，由于自然或人為產(chǎn)生的電磁噪聲的影響，通信系統(tǒng)中存在的噪聲往往不服從高斯分布，且?guī)в幸欢ǖ拿}沖性。如果仍采用高斯模型來對噪聲進行模擬，將會導(dǎo)致信號處理的性能退化甚至完全失效。1993年，Shao等[1]將Alpha穩(wěn)定分布的概念引入信號處理領(lǐng)域，他們發(fā)現(xiàn)，Alpha穩(wěn)定分布是一種更貼近真實的噪聲模型。以往的研究中針對Alpha穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下的時頻混疊信號分析文獻較少，其中，文獻[2]基于循環(huán)譜特征方法、文獻[3]基于信號相關(guān)特性方法、文獻[4]基于二階循環(huán)平穩(wěn)特征方法來對時頻混疊信號進行調(diào)制識別和載波頻率估計。但這些方法都是基于高斯噪聲的假設(shè)，在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下性能退化嚴(yán)重甚至失效。文獻[5-6]提出了基于分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)的方法，雖然可以在一定程度上抑制Alpha穩(wěn)定分布噪聲，但是這種方法需要知道噪聲的先驗知識，有一定的局限性。本文基于循環(huán)相關(guān)熵譜，估計Alpha穩(wěn)定分布噪聲下時頻混疊信號的載波頻率，不需要噪聲的先驗知識，又能和循環(huán)相關(guān)譜一樣，在循環(huán)頻率域?qū)︻l譜嚴(yán)重混疊的BPSK信號進行載波頻率估計，一系列的實驗驗證了算法的有效性。

2 信號噪聲模型

2.1 時頻混疊信號模型

多個線性混疊信號的數(shù)學(xué)模型表示為

其中， si(t)( i = 1 ,… ,k )為同一信道中不同載頻的BPSK信號， Ai為 si(t)的幅度， ni(t)為加性噪聲，并假設(shè)它們均服從對稱Alpha穩(wěn)定分布，且相互獨立并與信號 si(t)獨立。

2.2 Alpha穩(wěn)定分布噪聲

Alpha穩(wěn)定分布噪聲是刻畫現(xiàn)實環(huán)境噪聲的有效模型之一，也是唯一一類滿足廣義中心極限定理的分布。Alpha穩(wěn)定分布具有更厚的拖尾現(xiàn)象，因此，在時域上具有脈沖性。Alpha穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)沒有閉合的表達(dá)式，一般用特征函數(shù)來對其進行描述[7]

3 時頻混疊信號的載波頻率估計方法

針對 Alpha穩(wěn)定分布噪聲不存在二階及以上統(tǒng)計量的情況，文獻[5-6]提出了將分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量與循環(huán)平穩(wěn)理論相結(jié)合的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)統(tǒng)計量方法。基于這種方法對受到Alpha穩(wěn)定分布噪聲影響的信號進行處理具有較好的效果。但是這種方法也有一定的局限性，即需要預(yù)先知道穩(wěn)定分布噪聲的α值，并依此來進行參數(shù)設(shè)置。Luan等[10-11]的研究將相關(guān)熵與循環(huán)平穩(wěn)理論相結(jié)合，提出了一種基于核方法和相關(guān)熵的類循環(huán)相關(guān)的新概念，稱為循環(huán)相關(guān)熵?；谙嚓P(guān)熵的方法具有優(yōu)良的抑制脈沖噪聲的能力，且對信號和噪聲先驗知識的依賴性小，有效抑制Alpha穩(wěn)定分布噪聲，而循環(huán)平穩(wěn)理論又能在時頻混疊的信號中利用信號在不同循環(huán)頻率處的譜相關(guān)特性來估計其各自的載波頻率。在此基礎(chǔ)上，本文提出了一種基于循環(huán)相關(guān)熵譜的時頻混疊信號載波頻率估計方法，理論上證明了BPSK信號的循環(huán)相關(guān)熵譜幅度在頻率 0f= 切面上除循環(huán)頻率等于0處外有最大峰值，其位置就是BPSK信號的2倍載波頻率。

3.1 循環(huán)相關(guān)熵

時變相關(guān)熵的定義式為

其中， κσ(?)表示高斯核函數(shù)，其定義式為

其中，參數(shù)σ為高斯核函數(shù)的核長。

若時變相關(guān)熵是周期的，且周期為0T，即滿足

則可將 Vx(t ; τ)展開成傅里葉級數(shù)形式，得

將式(7)用時間平均運算操作符t?重新表示為

該傅里葉系數(shù) Vxξ(τ)為循環(huán)相關(guān)熵函數(shù)。

3.2 載波頻率估計方法

將式(3)進行泰勒級數(shù)展開，有

其中，O ( ( x (t)? x(t +τ))2)是隨機變量(x(t)?x(t+τ))的高階無窮小，泰勒級數(shù)展開項中包含了隨機變量(x(t)? x(t +τ))的所有偶數(shù)階矩，根據(jù)循環(huán)相關(guān)和循環(huán)譜的結(jié)論可知[12-13]，BPSK信號具有二階循環(huán)平穩(wěn)特征，故選取泰勒展開的前二項進行分析，有

其中， Rx(t;τ)表示隨機過程的時變自相關(guān)函數(shù)。

將式(11)代入式(8)可得

其中， Rξx(τ)是傳統(tǒng)的二階循環(huán)自相關(guān)函數(shù)。

將式(12)代入式(9)得

其中， Sξx(f)是Rξx(τ)的傅里葉變換，表示信號x(t)的循環(huán)相關(guān)譜。

一個BPSK信號可以表示為

其中，

其中， q(t)為能量有限的鍵控包絡(luò)，寬度為 Tb；{an}是傳輸?shù)亩M制序列（±1），是等概率獨立變量。BPSK信號 x(t)在頻率 f = 0處的循環(huán)相關(guān)譜幅度[12]為

當(dāng) ()qt為全占空比的矩形脈沖情況時，其傅里葉變換為

閾值定義為

其中，mean(?)為求均值操作，var(?)為求方差操作，t值的選取根據(jù)實驗來設(shè)置（ t = 2 0），G( 0)為歸一化的循環(huán)相關(guān)熵譜幅度，計算式為

其中，max(?)為求最大值操作。

1) 先通過 FFT初步估計時頻混疊信號 x(t)的載頻估值和帶寬估值B? 。

2) 利用接收數(shù)據(jù)x(t)，根據(jù)式(8)針對不同的時延τ和不同的循環(huán)頻率ξ，求循環(huán)相關(guān)熵函數(shù)，循環(huán)頻率的范圍設(shè)置為 2± B?。

3) 對 Vxξ(τ)做傅里葉變換得到循環(huán)相關(guān)熵譜密度函數(shù) Cξx(f)，即式(9)。

4) 按照式(16)求頻率 f = 0處的循環(huán)相關(guān)熵譜幅度，并歸一化得到 G( 0)。

5) 按照式(18)設(shè)置一個閾值，在頻率 f = 0處的循環(huán)相關(guān)熵譜幅度切面上檢測信號是否存在，若存在，估計其載頻。

4 仿真結(jié)果分析

為了驗證本文估計方法的有效性，進行了 50次Monte Carlo實驗，載波頻率估計的評判標(biāo)準(zhǔn)為估計準(zhǔn)確率，定義為

其中，Nc為估計正確的次數(shù)，即估計的載波頻率等于真實的載波頻率的次數(shù)，N為估計總次數(shù)。

信號功率差定義為

實驗1 為了直觀地證明循環(huán)相關(guān)熵譜能夠有效地抑制Alpha穩(wěn)定分布噪聲對信號的影響以及基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法對Alpha穩(wěn)定分布噪聲先驗知識的依賴，分別給出 Alpha穩(wěn)定分布噪聲下 2個BPSK信號混疊的循環(huán)譜、循環(huán)相關(guān)熵譜、噪聲先驗知識充足的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)譜以及噪聲先驗知識不足的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)相關(guān)譜在頻率f=0處的歸一化循環(huán)譜幅度圖。Alpha穩(wěn)定分布噪聲特征指數(shù)α=1.3，采樣頻率 fs= 4 0000Hz ，載波頻率分別設(shè)置為fc1= 4 000Hz ，fc2= 4 100Hz，波特率設(shè)置為Rb= 5 00Baud，實驗數(shù)據(jù)長度為10 000點。對于依賴于噪聲先驗知識的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜而言，在認(rèn)為Alpha穩(wěn)定分布噪聲的先驗知識不充足的情況下，設(shè)其參數(shù)為a = b =+ 0 .2 = 0 .85，而在認(rèn)為alpha穩(wěn)定分布噪聲的先驗知識充足的情況下，設(shè)其參數(shù)為a = b =? 0 .2 = 0 .45。對于循環(huán)相關(guān)熵譜而言，高斯核函數(shù)的核長為σ=0.5。由于Alpha穩(wěn)定分布沒有有限的方差，因此我們采用廣義信噪比（GSNR）[14]，設(shè)GSNR=5 dB。

當(dāng)BPSK信號受到Alpha穩(wěn)定分布噪聲影響時，從圖 1(a)可以看出，基于循環(huán)相關(guān)熵方法能有效地抑制Alpha穩(wěn)定分布噪聲，準(zhǔn)確估計載頻；由于 Alpha穩(wěn)定分布不存在二階統(tǒng)計量，因此從圖 1(b)可以看出，基于循環(huán)相關(guān)方法不能有效地估計載頻；而對于依賴噪聲的先驗知識的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜，在先驗知識充足和不充足的情況下，從圖1(c)和圖1 (d)可以看出，載頻估計的性能差異較大。

圖1 Alpha穩(wěn)定分布噪聲下時頻混疊雙BPSK信號歸一化循環(huán)譜幅度

實驗2 為了測試Alpha穩(wěn)定分布的特征指數(shù)α對時頻混疊信號載波頻率估計性能的影響，設(shè)置α取值為1～2，采樣頻率設(shè)置為 fs= 4 0000Hz ，BPSK信號 x (t)的載波頻率設(shè)置為 fc1= 4 000Hz，fc2= 4 100Hz，波特率設(shè)置為 Rb= 5 00Baud，高斯核函數(shù)的核長為σ=0.5，接收信號分量之間的功率差為0 dB，GSNR設(shè)置為5 dB，對于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法，為了消除參數(shù)的選取對算法性能的影響，設(shè)置了3組參數(shù)：a = b = 0 .3、 a = b =0.4、a = b = 0 .6。實驗數(shù)據(jù)長度為10 000點。實驗結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同α值下時頻混疊雙BPSK信號載頻估計的準(zhǔn)確率曲線

從圖2可以看出，當(dāng)特征指數(shù)α＞1.4時，本文方法和基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法都能準(zhǔn)確估計載頻；當(dāng)特征指數(shù)α＜1.4時，本文方法載頻估計準(zhǔn)確率為100%，而基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法載頻估計性能變差。由此可以看出，本文方法在噪聲先驗知識未知的情況下能有效地抑制Alpha穩(wěn)定分布噪聲，表明本文方法在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下頑健性較強。

實驗3 為了測試Alpha穩(wěn)定分布噪聲的廣義信噪比對時頻混疊信號載波頻率估計性能的影響，設(shè)置廣義信噪比為 ?4 ～10dB ，時頻混疊信號分量的功率差為0dB，Alpha穩(wěn)定分布參數(shù)α=1.3，對于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法，為了消除參數(shù)的選取對算法性能的影響，設(shè)置了 3組參數(shù)： a = b = 0 .3、a = b = 0 .4、a = b = 0 .45，其余參數(shù)同實驗2。實驗結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出，與分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法相比，當(dāng)廣義信噪比大于4 dB時，本文方法與基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法 a = b = 0 .45的性能相同，但是由于參數(shù)a、b的選取對基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量的方法有影響，當(dāng)a、b取0.3或0.4時性能反而變差；當(dāng)廣義信噪比小于4 dB時，本文方法載頻估計準(zhǔn)確率高于基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法，特別在廣義信噪比為0 dB時，本文方法仍有較高的估計準(zhǔn)確率。由此可以看出，本文方法在廣義信噪比較低的情況下載頻估計性能更佳。

圖3 不同廣義信噪比下時頻混疊雙BPSK信號載頻估計準(zhǔn)確率曲線

實驗 4 為了測試時頻混疊信號分量之間的功率差對時頻混疊信號載波頻率估計性能的影響，設(shè)置2個獨立的BPSK信號分量，接收信號分量之間的功率差設(shè)置為0～9dB，Alpha穩(wěn)定分布參數(shù)α= 1 .3，為了使分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法達(dá)到最佳性能，根據(jù)實驗 3的結(jié)果，設(shè)置參數(shù) a = b = 0 .45，其余參數(shù)同實驗2。實驗結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同信號功率差下時頻混疊雙BPSK信號載頻估計準(zhǔn)確率曲線

從圖4可以看出，當(dāng)時頻混疊信號分量的功率差小于1 dB時，本文方法和基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法性能相當(dāng)；當(dāng)時頻混疊信號分量的功率差大于1 dB時，本文方法載波頻率估計的準(zhǔn)確率要高于基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法。由此可以看出，本文方法在時頻混疊信號分量的功率差較大的情況下載頻估計性能更佳。當(dāng)時頻混疊信號分量的功率差別增大時，相當(dāng)于小功率分量信號廣義信噪比降低，由實驗3可知，當(dāng)廣義信噪比為0 dB時，本文方法載頻估計的準(zhǔn)確率為 92%；當(dāng)廣義信噪比低于 0 dB時，2種載頻估計方法的準(zhǔn)確率都下降很快，但本文方法性能仍優(yōu)于基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計量方法。同時也可以說明時頻混疊信號分量的功率差是影響時頻混疊信號載頻估計性能的關(guān)鍵因素之一。

實驗 5 為了測試時頻混疊信號分量之間不同載波頻率差對時頻混疊信號載波頻率估計性能的影響，設(shè)置2個獨立的BPSK信號分量，載波頻率差設(shè)置為20～100Hz，接收信號分量之間的功率差設(shè)置為0dB，Alpha穩(wěn)定分布參數(shù)1.4α=，GSNR設(shè)置為5 dB。實驗結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同載波頻率差下時頻混疊雙BPSK信號載頻估計準(zhǔn)確率曲線

由于本文是利用信號的循環(huán)頻率來估計信號的載波頻率，理論上，只要混疊信號的循環(huán)頻率不一樣就可以估計出它們的載頻，因此與載波頻率差沒有關(guān)系。

5 結(jié)束語

在Alpha穩(wěn)定分布噪聲情況下，針對噪聲先驗知識不充分所引起的問題，本文提出了一種基于循環(huán)相關(guān)熵的時頻混疊信號載波頻率估計方法，并通過理論推導(dǎo)證明了BPSK信號循環(huán)相關(guān)熵譜在循環(huán)頻率2倍載頻處具有譜相關(guān)的特性，然后利用此特性，在歸一化的循環(huán)相關(guān)熵譜幅度頻率 0f= 剖面上，估計載波頻率。理論推導(dǎo)和仿真實驗均表明該方法在Alpha穩(wěn)定分布噪聲和時頻混疊信號條件下能準(zhǔn)確估計出載波頻率，由此說明在Alpha穩(wěn)定分布噪聲下，該方法具有良好的穩(wěn)健性。在未來的研究中，將針對更多的數(shù)字調(diào)制信號（QPSK、8PSK等）進行載波頻率估計。