圓錐曲線的弦方程及其應(yīng)用

浙江省寧波市北侖中學(xué) (315800) 吳文堯

圓錐曲線問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)高考和競(jìng)賽的熱點(diǎn)問(wèn)題，也是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)內(nèi)容之一,成為難點(diǎn)的其中一個(gè)重要原因是過(guò)不了“運(yùn)算關(guān)”，常常陷入繁雜的運(yùn)算而不能自拔,當(dāng)涉及圓錐曲線的弦時(shí)，通常的處理方法是把直線方程代入曲線方程，整理得到一個(gè)關(guān)于x或y的一元二次方程，從而把問(wèn)題化歸為一元二次方程有關(guān)問(wèn)題來(lái)解決，其過(guò)程之艱辛大家深有體會(huì).若在解題中能回避把直線方程代入曲線方程，則往往可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程,筆者發(fā)現(xiàn)若在解題中合理地使用圓錐曲線弦所在直線的方程，則能做到這一點(diǎn).

一、圓錐曲線的弦方程.

1.橢圓的弦所在直線的方程

2.雙曲線的弦所在直線的方程

3.拋物線的弦所在直線的方程

說(shuō)到課桌上睡覺(jué)，不是實(shí)在犯困，誰(shuí)能睡得著？睡著了被吵醒，誰(shuí)能有多少好心情？再說(shuō)，朦朧中醒來(lái)抱怨的一句話，也未必一定是對(duì)老師的大不敬，也許，她根本就沒(méi)弄清楚是誰(shuí)攪了她的美夢(mèng)呢？

二、圓錐曲線的弦方程的應(yīng)用舉例

圖1

分析：易見(jiàn)本題的本質(zhì)是一個(gè)圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題，當(dāng)直線l確定時(shí)，整個(gè)圖形就完全確定，所以按常規(guī)的解法，可以設(shè)直線l的斜率k為參變量，則點(diǎn)H的坐標(biāo)(x0,y0)隨k的變化而變化，要證明點(diǎn)H為定點(diǎn)，注意到點(diǎn)H在直線x=2y上，所以可“裝腔作勢(shì)”地把點(diǎn)H的縱坐標(biāo)y0用k表示之，表示以后會(huì)發(fā)現(xiàn)其值與k無(wú)關(guān)，要把點(diǎn)H的坐標(biāo)用k表示之,可以通過(guò)把直線l的方程代入橢圓的方程,再運(yùn)用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系建立(x0,y0)與k的關(guān)系式,這可是一件很難完成的任務(wù).若利用橢圓的弦方程,則可回避直線方程代入曲線方程.

設(shè)M(2cosθ,sinθ)，則直線NM的方程為

評(píng)注:注意到R,M,N均是橢圓上的點(diǎn),上述解法中選擇這三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為變量,剛開(kāi)始共有三個(gè)變量,由于直線MN過(guò)定點(diǎn)Q,直線RM斜率為定值,由此可減少兩個(gè)參變量,所以本質(zhì)上只有一個(gè)參變量,當(dāng)運(yùn)用條件減少到只含一個(gè)參變量時(shí),問(wèn)題也隨之解決了.

圖2

分析：由于雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱,要證明A和A0關(guān)于x軸對(duì)稱,只須證明這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,注意到當(dāng)直線AB的斜率確定時(shí),A,A0的橫坐標(biāo)也隨之確定,故可設(shè)法把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)用直線AB的斜率表示之.通常方法還是把直線BA方程代入雙曲線的方程解決之,但在具體操作中往往陷入繁雜運(yùn)算而不能自拔,而運(yùn)用雙曲線的弦方程,為我們開(kāi)啟了解決問(wèn)題的另一扇門(mén).

評(píng)注:本題解題思想方法與例1本質(zhì)上相同,即先選定三個(gè)參變量,然后通過(guò)運(yùn)用直線AB,A0B分別過(guò)定點(diǎn)F,M減少變量,從而使問(wèn)題得到解決.

圖3

例3 如圖3，已知拋物線y2=2px及定點(diǎn)A(a,b),B(-a,0),其中ab≠0,b2≠2pa，M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM,BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M2,M1.

證明：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)(只要M1,M2存在且M1≠M(fèi)2)直線M1M2恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

分析：要證明動(dòng)直線M1M2過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，只需寫(xiě)出這條動(dòng)直線的方程，使其方程中僅有一個(gè)參變量.易見(jiàn)動(dòng)直線M1M2隨點(diǎn)M的變化而變化,“照理”可選擇點(diǎn)M的坐標(biāo)作為動(dòng)直線的參變量，但要把直線M1M2的方程用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示之是件很不容易的事，再注意到M，M1，M2三點(diǎn)的地位等價(jià)，且其中一個(gè)點(diǎn)確定，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之確定，ΔMM1M2三邊所在直線方程的寫(xiě)法是一樣的，設(shè)M(2pt2,2pt)，

從以上三例不難發(fā)現(xiàn),運(yùn)用曲線的弦方程的解題套路基本相同,即先寫(xiě)出曲線弦的方程,然后利用曲線的弦過(guò)某一定點(diǎn)得到相關(guān)參數(shù)的方程,再運(yùn)用這個(gè)方程達(dá)到減少參數(shù)目的,從而使原問(wèn)題得到解決.