啟發(fā)高中數(shù)學(xué)學(xué)困生學(xué)會思考的幾點體會*

(410007)

給小學(xué)生做問卷調(diào)查，評選最喜歡的科目時，數(shù)學(xué)總是榜上有名.但給高中生做問卷調(diào)查，喜歡數(shù)學(xué)的人的比例就非常低，甚至把數(shù)學(xué)列為最討厭的，當(dāng)然這些學(xué)生中大多數(shù)是學(xué)困生.我對高中數(shù)學(xué)學(xué)困生做了很多次調(diào)查，了解他們的情況，其實他們一開始也曾嘗過一番努力.做練習(xí)的時候，不會做的題目就做兩遍，成績不見起色，就做第三遍，少數(shù)學(xué)困生，還做第四遍.可是重復(fù)做，卻遲遲無法進(jìn)步，他們就會覺得非常沮喪，最后導(dǎo)致對數(shù)學(xué)厭倦.

如何提高學(xué)困生的數(shù)學(xué)成績，已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教師的一大難題.當(dāng)然已經(jīng)有很多教師在這方面做了很多努力，獲得一些好的經(jīng)驗.其實學(xué)困生主要是他們的思維和正常學(xué)生的思維不同步，比正常學(xué)生的思維慢一些，抽象概括能力差一些.教師要想提高學(xué)困生的成績，首先要逐步改善學(xué)困生的思維方式，鼓勵他們逐步學(xué)會思考.為了實現(xiàn)這樣的教學(xué)目標(biāo)，就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，更多地關(guān)心學(xué)困生的思維過程，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的問題，啟發(fā)學(xué)困生獨立思考并鼓勵他們與其他同學(xué)進(jìn)行有價值的討論，讓學(xué)困生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學(xué)的思想，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗，形成良好的思維品質(zhì).另一方面，教師也必須要努力去了解他們的困難，尤其是思維方面的困難，有時候要“降低教師自己的思維”去適應(yīng)學(xué)困生的思維；有時候一個非常好的方法不用，硬要去尋找一個繁瑣的方法，這個過程對教師來說是痛苦的，但是看到學(xué)困生成績提高時，教師也是非?？鞓返?

一、設(shè)計倒退的生活情境啟發(fā)思考

例1 一條鐵路線上原有n個車站，為了適應(yīng)客運的需要，在這條鐵路線上又增加了m個車站，客運票增加了62種，求n，m.

反思：通過倒退1950年代的社會情境，使購票環(huán)境變得非常簡單，引導(dǎo)他離開現(xiàn)代復(fù)雜的購票環(huán)境，使得他愿意在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)高興地思考，從而使學(xué)困生順利求解.數(shù)學(xué)的教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)給學(xué)生創(chuàng)造合理的機會，把課內(nèi)與課外、知識與生活、理論與實踐有機統(tǒng)一起來，給學(xué)生的“悟”留有充分的時間和空間；使他們的思維結(jié)果在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)產(chǎn)生.

二、利用轉(zhuǎn)化計算啟發(fā)思考

例2 20個不加區(qū)分的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，求不同的放法種數(shù).

例2是文[1]中第104頁上的一個作業(yè)題，只有答案：120種(沒有過程).怎么講解呢？有的教師查找了一些奧賽輔導(dǎo)資料，其中部分奧賽書只有相關(guān)定理(沒有定理的證明)，文[2]中有定理的證明，但是用“重復(fù)組合”知識與方法證明.這些知識與方法對學(xué)困生更難以接受，我設(shè)計出一個學(xué)困生也能接受的情境與方法如下.

反思：這個方法我以前沒有想過，因為用奧賽書的結(jié)論可以簡單解決問題了；這個方法是學(xué)困生逼我想的(我還要感謝他們).當(dāng)x=0這種具體情況出現(xiàn)時，(y,z)的方法種數(shù)也就變“簡單”了，學(xué)困生的胸中也出現(xiàn)了一個看得見的直觀方法.所以我們真的應(yīng)該關(guān)注學(xué)困生，研究學(xué)困生，以學(xué)生為本，在觀察、研究、反思的道路上會收獲屬于自己的教育智慧.

三、設(shè)計直觀的情境啟發(fā)思考

圖1

例3 (2017·高考全國卷丙)如圖1，四面體ABCD中，ΔABC是正三角形，AD=CD.

(1)證明：AC⊥BD；

(2)已知ΔACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．

例3的(1)小題取AC的中點O，連接DO，BO，易證.

對于(2)小題，因為在立體幾何中很多直觀圖形不像平面幾何圖形直觀，依次引導(dǎo)學(xué)困生畫出ΔADC，ΔAEC，ΔBOD，并證明這三個三角形都是等腰直角三角形，每次畫好平面圖形后都會直觀想到：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；題目難度自然降低.這個題目的難點是在直觀圖中，學(xué)生看不出ΔADC，ΔAEC是等腰直角三角形，更不知道哪個等于90°，所以很多學(xué)困生產(chǎn)生誤解.

反思：很多時候在立體幾何中直觀圖形不直觀.這種情況給很多學(xué)生帶來了麻煩，有時候給一些學(xué)生帶來了誤導(dǎo)，所以我們教師要千方百計站在學(xué)困生的角度去想問題，絕不能一句“這個題簡單”.說這幾個字容易，但是可能對學(xué)困生的自信心是嚴(yán)重的打擊.有時候?qū)τ谡嬲唵蔚念}，學(xué)困生不會做時，我們也可以假裝絞盡腦汁在想，使學(xué)困生覺得老師做題也是要通過艱苦的努力才能解決的.教師冥思苦想的表情可能對學(xué)困生的自信心有意外的提高.

四、合理利用已知數(shù)據(jù)啟發(fā)思考

例4 自然數(shù)按下表的規(guī)律排列，則上起第2007行，左起第2008列的數(shù)為( )

A．20072B．20082

C．2006×2007

D．2007×2008

標(biāo)準(zhǔn)答案：選D.經(jīng)觀察可得這個自然數(shù)表的排列特點：

①第一列的每個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第n行的第1個數(shù)為n2；②第一行第n個數(shù)為(n-1)2+1；③第n行從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞減1；④第n列從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞增1.故上起第2007行，左起第2008列的數(shù)，應(yīng)是第2008列的第2007個數(shù)，即為[(2008-1)2+1]+2006=2007×2008.

以上標(biāo)準(zhǔn)答案對學(xué)困生來講是較難的，注意到要求解的數(shù)是上起第2007行，左起第2008列，我引導(dǎo)一個學(xué)困生先觀察第1行第2列的數(shù)，再觀察第2行第3列的數(shù)，再觀察第3行第4列的數(shù)，再觀察第4行第5列的數(shù)，他很快通過類比選對了答案，他的那種成功的快樂感立即洋溢在臉上，因為他比尖子學(xué)生還先做對題目.

反思：小題小做已經(jīng)成為解決選擇題的一種好方法，這種方法的基礎(chǔ)也是有“根據(jù)”的類比思維，以事實、數(shù)據(jù)和已經(jīng)得到證實的知識作為依據(jù)進(jìn)行推理和思維.對學(xué)困生更應(yīng)該鼓勵他們?nèi)嵺`，去尋找題目的某些特點，然后啟發(fā)他們歸納和概括，讓他們在解題的過程中找到成功的喜悅，從而使他們逐步樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

五、設(shè)計閱讀的環(huán)節(jié)啟發(fā)思考

例5 如圖2，已知V是ΔABC外一點，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC．求證AC⊥AB．

對于例5，學(xué)困生一般從整體上感受，這個結(jié)論是顯然的，就是不知道從哪里開始寫？怎樣寫？實在要他寫，他就繞著圈子亂寫；主要表現(xiàn)是邏輯混亂、雜亂無章，教師追問他，他就說：老師我寫的哪一句話不成立嗎？當(dāng)然他寫的每一句話從圖形的本質(zhì)來看都是對的，他把一些正確的事實用混亂邏輯連在一起；他用前后顛倒的順序把一些結(jié)果連在一起.對于這種情況，我先不評價他，要他先把課本中的定理閱讀幾遍：

圖2

定理[3]兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

一直等他對以上定理很熟練時，再問他怎樣理解這個定理，要應(yīng)用這個定理，必須有什么線線垂直作基礎(chǔ)？此時他想到要先找兩個平面的交線VA，再通過點B作BD⊥VA交VA于D，然后證明BD⊥平面VAC.最后順利證明該題.

反思：閱讀是看書，但不是一般意義上的瀏覽，看書領(lǐng)會其內(nèi)容才是閱讀，領(lǐng)會定理內(nèi)容意味著把看到的東西納入已有的知識和經(jīng)驗中去，使其連成一體.這個題中的輔助線，不能通過教師直接灌輸使學(xué)困生掌握，而是要引導(dǎo)他們多次閱讀課本，讓他們在閱讀的過程中，理解→想象→分析→推理→判斷→創(chuàng)意→自我理論化→解決問題.

六、對常規(guī)問題猜想啟發(fā)思考

例6 (2015·高考全國卷Ⅱ)已知函f(x)=lnx+a(1-x)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍．

分析：大多數(shù)情況下，猜想教學(xué)是在開放性問題或探究性問題中進(jìn)行的，在常規(guī)問題中很少進(jìn)行猜想教學(xué).近幾年的全國卷高考數(shù)學(xué)試題在引導(dǎo)鼓勵學(xué)生進(jìn)行猜想方面做了很多很好的努力，這是全國卷匠心獨運的地方.例6的(2)小題是常規(guī)問題，用常規(guī)思維求解，難度增加，因為其中需要求解方程lna+a-1=0，不等式lna+a-1>0，和不等式lna+a-1<0，求解這三個方程和不等式是難點，怎樣突破這個難點？這就需要猜想探路.超越方程一般沒有解析解，而只有數(shù)值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解來.對于這個超越方程鼓勵學(xué)生從數(shù)學(xué)審美的角度去想問題，自然猜想a=1時lna+a-1=0.這個猜想對于平時訓(xùn)練有素的學(xué)生不難，對于平時沒有訓(xùn)練的學(xué)生可能無法繼續(xù)求解.

反思：著名數(shù)學(xué)家G.波利亞強調(diào)數(shù)學(xué)教師不僅要教學(xué)生證明，而且要教學(xué)生猜想.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該把"引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想"作為一種教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生在各種情境下持之以恒地觀察現(xiàn)象，研究問題，形成猜想，促使學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)的全過程，主動地獲取知識.教師應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，抓住不同的時機，創(chuàng)設(shè)猜想的情景，讓學(xué)生去大膽猜想.在猜想教學(xué)過程中，不同層次的學(xué)生都會有不同的收獲，學(xué)困生也可以在特殊情況的求解過程中獲得成就感，增強自信心，尖子生可以繼續(xù)拓展、延伸與推廣.

先猜想，后證明，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思路，也是最見數(shù)學(xué)功力的，對于例6、7要求學(xué)生有“猜想”的自覺性.對一個真正的問題我們可以說結(jié)果是算出來的，是證出來的，因為算和證是終結(jié)性表達(dá)，是必須履行的手續(xù).但履行手續(xù)前是需要實質(zhì)性工作的，這個實質(zhì)性工作就是猜想.

七、建構(gòu)幾何模型啟發(fā)思考

圖3

反思：本題利用平面幾何知識，構(gòu)造幾何模型來解決向量問題，淡化繁雜的代數(shù)計算，淡化非數(shù)學(xué)本質(zhì)的純粹說明，使“向量”變得容易些.笛卡爾說，沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用幾何這種方式來表達(dá)事物是非常有益的.人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時需要不斷的經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比等思維過程.從心理學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)教學(xué)需要一些直觀性的設(shè)計，作為學(xué)生理解抽象數(shù)學(xué)結(jié)論的現(xiàn)實基礎(chǔ)，作為學(xué)生主動建構(gòu)、發(fā)現(xiàn)新知識的認(rèn)知基礎(chǔ)，作為學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

八、設(shè)計活動啟發(fā)思考

這個題是選擇題中的壓軸題，文[4]的解答方法是，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再求圓的方程，然后利用圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)中的輔助角公式，最后求出λ+μ的最大值.這個方法較復(fù)雜，其書寫的文字比解答題的第17題還多很多(此處從略).而且沒有學(xué)習(xí)過參數(shù)方程的高一和高二好學(xué)生看不懂，學(xué)困生更看不懂.有沒有簡單的方法呢，有沒有學(xué)困生也能理解的方法呢？我設(shè)計了一個有關(guān)的活動，使學(xué)困生也能簡單解答此題.

圖4

圖5

更為可喜的是部分學(xué)生(包括一些學(xué)困生)繼續(xù)思考得到了如下一些結(jié)論，不同層次的學(xué)生獲得了不同程度的提高.

反思：本次活動主要材料紙中的一些等距離平行線，給每個操作者有利的刺激，給學(xué)困生也提供了強有力的情境.這些平行線不斷的激發(fā)他們的感覺和思維，使他們有意或無意的聯(lián)系題目，真的讓他們聯(lián)想不斷，尤其是這次活動中的計算量不大，只要直覺思考，就可以整體把握問題的本質(zhì)特征；使得平時計算能力不好的學(xué)困生也可以揚長避短，獲得成功的喜悅.這次活動使每一個學(xué)生都能深入學(xué)習(xí)過程中，深入知識的形成過程、轉(zhuǎn)化過程中.在活動中理解了知識所蘊含的思想和智慧；隨著活動的深入，他們敢于質(zhì)疑，表現(xiàn)出不唯書、不唯師，不滿足于現(xiàn)成的答案和說明.在這次活動中，他們感覺到自己的智慧和力量，體驗到創(chuàng)新學(xué)習(xí)的快樂.在活動中他們也獲得了積極的情感體驗.作為教師要努力尋找這樣的既經(jīng)濟又高效的活動，要千方百計去開發(fā)一些直觀易懂的有利于學(xué)困生的活動.

總之，筆者感覺高中數(shù)學(xué)對某些學(xué)生來說有一定難度，但是筆者愿意引導(dǎo)學(xué)困生在克服困難中努力前進(jìn)，在克服困難中增長才干，培養(yǎng)堅強的意志力，在克服困難中提高思考能力.當(dāng)然這是一個富有魅力又充滿挑戰(zhàn)的課題，很希望各位同仁批評指正.