幾種高中數(shù)學(xué)軌跡方程的常用解法分析

張成兵

摘 要：軌跡方程的學(xué)習(xí)在高中整個數(shù)學(xué)體系當(dāng)中都有著十分重要的作用，同時也是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。軌跡方程難度比較大，也是學(xué)生得分較難的類型題。將對軌跡方程當(dāng)中比較常見的幾種方法進(jìn)行分析，并且輔以相應(yīng)的例子來進(jìn)行論證，旨在讓更多人了解軌跡方程的方法與技巧。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；軌跡方程；常見方法

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱以及高考的考查范圍內(nèi)，對于平面上動點(diǎn)的軌跡方程求解內(nèi)容都是十分重要的。軌跡也就是點(diǎn)的集合，方程則是實(shí)數(shù)對所構(gòu)成的集合[1]?；谀撤N條件來對某個動點(diǎn)的軌跡方程進(jìn)行求解，本質(zhì)上是找到不同變量之間的潛在關(guān)系，而這種關(guān)系的明確和求得則需要以已知點(diǎn)的特點(diǎn)為基礎(chǔ)，即需要充分利用已知的條件。在解決實(shí)際問題的過程中，因?yàn)閯狱c(diǎn)所呈現(xiàn)出的規(guī)律不同，因此也需要采用不同的方法[2]。

一、采用直接法求解軌跡方程

在實(shí)際求解過程中，如果題目當(dāng)中的動點(diǎn)自身是幾何量等量關(guān)系，這些條件表達(dá)起來十分簡單明了，這樣的情況下可以直接將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其變?yōu)橛蒟、Y等字母所形成的等式，這樣就可以得到動點(diǎn)的軌跡方程。

三、采用相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程

在一些求解運(yùn)動軌跡方程的問題當(dāng)中，動點(diǎn)所滿足的條件不一定都可以使用等式的形式列出，但是動點(diǎn)必然會隨著另一個點(diǎn)的移動而發(fā)生相應(yīng)的變化，我們將其稱之為相關(guān)點(diǎn)，如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件可以被分析或者十分明顯，那么在這種情況下就能夠得到與運(yùn)動點(diǎn)相關(guān)的動點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得動點(diǎn)的軌跡方程。采用這種方式得到軌跡方程的方法就被稱之為相關(guān)點(diǎn)法。

四、采用參數(shù)法求解軌跡方程

在一些動點(diǎn)軌跡方程求解的過程中，容易遇見一些動點(diǎn)所滿足的幾何條件不容易被得出的情況，甚至也無法找到一些相關(guān)點(diǎn)。但是卻能夠發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)的運(yùn)動會受到其他相關(guān)變量的影響，比如時間、斜率、角度和比值等相關(guān)因素的制約。隨著動點(diǎn)坐標(biāo)的變化，另外的某個變量也會隨著動點(diǎn)的變化而發(fā)生變化，我們就可以將這個變量當(dāng)做是參數(shù)，再結(jié)合參數(shù)的實(shí)際情況構(gòu)建參數(shù)方程，這就是在軌跡方程當(dāng)中比較常見的一種解決方法，為參數(shù)法。其應(yīng)用范圍比較廣泛，如果可以選擇比較合適的參數(shù)，這種方法就會變成一種比較簡便的方法。

參數(shù)法具體應(yīng)用在軌跡方程求解的過程中，應(yīng)當(dāng)按照以下步驟開展，具體為：

（1）建立專門的坐標(biāo)系，然后再將設(shè)動點(diǎn)p，其坐標(biāo)為（x，y）；

（2）結(jié)合與軌跡運(yùn)動相關(guān)的已知條件，選擇更為合適的參數(shù)；

（3）以動點(diǎn)p為基礎(chǔ)，構(gòu)建參數(shù)關(guān)系式，也就是我們說的參數(shù)方程；

（4）需要對參數(shù)進(jìn)行消減，繼而得到普通的方程；

（5）在整個參數(shù)方法應(yīng)用的過程中，最為重要的環(huán)節(jié)就是應(yīng)用參數(shù)方程。在實(shí)際運(yùn)用時，如果某個動點(diǎn)是繞著直線某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時的參數(shù)可以選擇斜率k。

總之，軌跡方程的求解在高中數(shù)學(xué)大綱以及高考考點(diǎn)當(dāng)中都占據(jù)著十分重要的位置，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，必須得到足夠的重視。在本文當(dāng)中，筆者主要對當(dāng)前高中軌跡方程求解過程中幾種最為常見的方法進(jìn)行分析探討，并以實(shí)例作為例證，使方法理解起來更通俗易懂。但是在實(shí)際應(yīng)用的過程中要根據(jù)題目的具體情況選擇合適的求解方法，避免出現(xiàn)照抄照搬現(xiàn)象。

參考文獻(xiàn)：

[1]代紅英.高中數(shù)學(xué)軌跡方程解法[J].中國校外教育，2016（27）：116，155.

[2]趙林.例談點(diǎn)的軌跡方程的求法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（27）：41-42.

[3]楊建茹.高中數(shù)學(xué)探求軌跡方程的常用技法[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2014，11（15）：256.

編輯 郭小琴