基于頻響曲線稀疏表示的變壓器繞組變形模式識別方法*

劉云鵬，程槐號，胡煥，張重遠

(華北電力大學 河北省輸變電設(shè)備安全防御重點實驗室，河北 保定 071003)

0 引 言

電力變壓器是供電系統(tǒng)中必不可少的設(shè)備之一，其健康的運行狀態(tài)是供電系統(tǒng)具有安全可靠性的重要前提[1]。而變壓器在運輸中受到的碰撞、在運行中遭受的短路電流沖擊及絕緣老化受損等各種情況都可能造成繞組不同程度的變形[2]。雖然早期的繞組變形缺陷一般不會導致重大事故，但是繞組的變形程度會隨著設(shè)備的持續(xù)運行而逐漸加深，嚴重時可能就會造成變壓器主絕緣擊穿等后果。因此，提高電力變壓器繞組狀態(tài)監(jiān)測水平對電網(wǎng)的安全運行有著重要的意義。

由于頻率響應(yīng)法(Frequency Response Analysis, FRA)[3]具有重復性好、靈敏度高等優(yōu)點，因此現(xiàn)場常用FRA來診斷變壓器繞組是否變形。但是該方法目前主要是應(yīng)用于離線情況，存在檢測不及時的不足。因此，國內(nèi)外學者進行了許多關(guān)于利用FRA帶電檢測變壓器繞組狀態(tài)的研究，并提出了不少可行方案[4-7]。由于變壓器頻響曲線具有在線獲取潛力，所以如果可以從變壓器頻響曲線中提取出可靠的特征值來實現(xiàn)變壓器繞組變形故障分類，就能為變壓器繞組的在線監(jiān)測提供一種新思路。

信號稀疏表示是過去近20年來信號處理界一個非常引人關(guān)注的研究領(lǐng)域。其具有表達方式簡潔、重構(gòu)信號能力強等優(yōu)點，目前已經(jīng)普遍應(yīng)用于圖像去噪[8]、人臉識別[9]、信號識別[10-11]和非平穩(wěn)信號分析[12]等諸多領(lǐng)域。但是將該理論應(yīng)用于變壓器頻響曲線擬合及繞組變形模式識別中的研究目前尚未見報道。文中首次將稀疏表示理論應(yīng)用于繞組頻響曲線擬合及繞組變形模式識別中，提出了一種基于頻響曲線稀疏表示的變壓器繞組變形模式識別方法。該方法將頻響曲線在Gabor原子的過完備原子庫上進行稀疏擬合，然后從大量的匹配Gabor原子中提取出有效的特征向量，進而利用支持向量機實現(xiàn)基于稀疏分解結(jié)果的變壓器繞組變形模式識別。最后還與采用頻響曲線相關(guān)系數(shù)作為特征向量的模式識別試驗結(jié)果進行了對比，驗證了所提出方法的優(yōu)越性。

1 稀疏表示及其匹配追蹤算法

1.1 基本原理

稀疏表示的思想被引入到信號處理領(lǐng)域是近20年的事情，Coifman和Hauser[13]、Mallat和Zhang[14]等做出了重要的工作。1993年，Mallat和Zhang首次提出了應(yīng)用匹配追蹤(Matching Pursuit，MP)算法對信號進行稀疏分解的思想。匹配追蹤算法是典型的貪婪算法，這種方法追求每次迭代的誤差信號能量下降最大。其基本原理為：

假設(shè)待分解的信號為S，其長度為N；假定H為Hilbert空間，在這個空間H中，由一組已做歸一化處理的向量{gq,q=1,2,…,Q} 構(gòu)成一個集合H，并有Q>>N，則稱集合D為過完備原子庫，元素gq為其原子?；贛P算法的信號稀疏分解過程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 Gabor原子字典的構(gòu)建及離散化

Mallat和Zhang提出匹配追蹤算法時構(gòu)造了一個包含了Gabor基、δ函數(shù)和復正弦基的過完備原子字典，稱為Gabor字典。Gabor原子是一種廣泛應(yīng)用的原子，其數(shù)學表達式為：

(6)

式中g(shù)(t)=e-πt2為高斯窗函數(shù)；γ=(s,u,ξ)是原子參數(shù)；其中，s為尺度因子；u為位移因子；ξ為頻率因子。

γ=(aj,pajΔu,ka-jΔξ)

(7)

式中a=2；Δu=1/2；Δξ=π；0

圖1給出了這種離散Gabor字典原子對空間的采樣。由圖1可以看出，隨著倍頻程值j的增加，位移參數(shù)u的掃描間隔變得越來越稀疏，而頻率參數(shù)ξ的掃描間隔變得越來越密集。

圖1 離散Gabor字典的空間采樣

1.3 離散自適應(yīng)Gabor子字典的匹配追蹤算法

匹配追蹤算法的本質(zhì)是一種在局部尋找次最優(yōu)解的貪婪算法。在迭代的每步，該算法致力于在給定原子字典中尋找與殘留信號相對匹配的原子，保證算法的收斂。但是給定原子字典數(shù)目巨大，計算時間在這種條件下過長，這也是阻礙信號稀疏表示理論在實際中應(yīng)用的一個關(guān)鍵因素。如果能夠在一個相對較小的子字典中尋找與殘差信號最匹配的原子，那么算法的計算復雜度將會顯著減小。本文根據(jù)殘差信號的特點構(gòu)造了這種分解子字典。

(8)

基于離散自適應(yīng)Gabor子字典的匹配追蹤算法的具體步驟如下:

(9)

式中IFFT(·)為傅里葉逆變換；Conj(·)為取共軛；FFT(RmS,N)可以直接利用第二步保存的結(jié)果。

(2)令Rm+1S=RmS-gγm，并判斷終止條件，滿足則停止；若不滿足終止條件，則令m=m+1，轉(zhuǎn)到第二步，計算下一個原子。

1.4 MP算法閾值終止條件

匹配追蹤算法有硬閾值法和軟閾值法兩種不同的終止條件。硬閾值法是指給定算法的迭代次數(shù)為K，只用K個Gabor原子的組合來表示原信號。這種方法的缺點就是K值不好確定，K值過大或過小都不能較好地表示原信號。軟閾值法是指當殘差信號的能量低于某一個閾值時終止算法。這種方法的缺點是，當信號信噪比較低時，殘差信號能量可能會始終高于所設(shè)閾值，算法無法終止。

文獻[16]給出了一種基于殘差比的閾值終止條件，較好地減弱了噪聲對閾值判定的影響。設(shè)RkS和Rk+1S分別為第k次和第k+1次的殘差信號，則殘差比q(RkS)為：

(10)

2 變壓器繞組變形仿真及擬合曲線

2.1 變壓器繞組變形仿真模型

文中以一個具有36餅，每餅10匝的變壓器繞組為建模對象，通過結(jié)合多導體傳輸線模型和分布參數(shù)電路對該繞組進行了建模仿真。所用復合模型通過多導體傳輸線模型考慮了每餅中的匝間效應(yīng)以提高模型的精度，再由所得傳輸線模型建立分布參數(shù)電路，如圖2所示。

變壓器繞組仿真電路的R、L、C等分布參數(shù)通過有限元軟件COMSOL Multiphysics在靜電場、磁場等多個物理場中進行求解[17-18]，由此獲取的參數(shù)較傳統(tǒng)解析公式法更為精確。所研究的繞組變形類型包括繞組軸向上凸、繞組軸向下凹、繞組徑向外凸、繞組徑向內(nèi)凹和繞組混合變形，正常及部分變形繞組仿真模型如圖3所示。

圖2 變壓器繞組等效電路

圖3 變壓器繞組仿真模型

通過將正常繞組的實測與仿真頻響曲線進行對比，驗證了模型的有效性。曲線對比圖如圖4所示。

圖4 實測頻響曲線與仿真頻響曲線對比圖

2.2 基于信號稀疏表示的變壓器繞組頻響曲線擬合

利用信號稀疏表示理論擬合的繞組頻響曲線如圖5所示。由圖5可以看出，擬合曲線具有很高的擬合精度，而且基于稀疏表示理論的擬合方法對于多峰值的頻響曲線也可以實現(xiàn)全頻段擬合，克服了傳統(tǒng)擬合方法對于多峰值頻響曲線需要分頻段擬合的缺點。

圖5 擬合頻響曲線

3 基于頻響曲線稀疏表示的模式識別實現(xiàn)方法

3.1 支持向量機的分類原理

由于支持向量機(SVM)特別適用于小樣本數(shù)據(jù)的模式識別[19-20]，而電力變壓器繞組變形故障恰恰屬于樣本數(shù)量較少的類型，所以采用支持向量機模型對繞組變形故障類型進行識別。

支持向量機的主要思想是建立一個分類超平面作為決策曲面，使得兩種不同類型數(shù)據(jù)之間的隔離邊緣被最大化，從而區(qū)分不同類型的數(shù)據(jù)。對于樣本數(shù)據(jù)線性可分的情況，SVM的最優(yōu)分類超平面在原空間求取；對于樣本數(shù)據(jù)線性不可分的情況，需要采用核函數(shù)Φ(·)映射的方法把樣本轉(zhuǎn)化到高維度空間中，轉(zhuǎn)化后的樣本是線性可分的，然后在這個高維度空間求取SVM的最優(yōu)分類超平面。

最早的SVM算法只適用于二值分類問題，后來為了將SVM算法應(yīng)用于多類問題，研究學者構(gòu)造了SVM多類分類器。目前，最常用的SVM多類分類器構(gòu)造方法有兩種：一種是直接法，將多個分類面的待求參數(shù)整合到同一個目標函數(shù)中，通過求解該目標函數(shù)的最優(yōu)化問題“一次性”實現(xiàn)多類分類。但是這種方法計算復雜，較難實現(xiàn)，一般只適合應(yīng)用于小型問題；另一種是間接法，是通過組合多個二分類器來實現(xiàn)多分類器的構(gòu)造，間接法主要又可分為以下兩種：

(1)一對多法：對于含有k個類別的訓練樣本，依次按照把某一類別的樣本看做一類，剩余訓練樣本看做另一類的分類方法進行訓練，這樣就需要構(gòu)造k個SVM。對未知樣本進行分類時，取具有最大分類函數(shù)值的那一類為所求樣本的類別;

(2)一對一法：從含有k個類別的訓練樣本中任意選取其中兩類樣本構(gòu)造一個SVM，那么k個類別的訓練樣本就要構(gòu)造k(k-1)/2個SVM。利用該方法進行分類時，取得票最多的那一類為所求樣本的類別。

可以實現(xiàn)SVM的工具箱有很多，文中采用的是臺灣大學林智仁教授等設(shè)計的LIBSVM工具箱。這是一個操作簡單、功能完善和能夠快速實現(xiàn)SVM模式識別的軟件包。使用LIBSVM可以輕松實現(xiàn)基于一對一算法的SVM多類模式識別。

3.2 基于稀疏分解信號的特征向量提取

要想實現(xiàn)基于頻響曲線稀疏表示的變壓器繞組變形故障模式識別，就必須要提出一個從大量的匹配Gabor原子中提取出特征向量的方法。提取特征向量的方法如下：

假設(shè)用于擬合某條頻響曲線的匹配Gabor原子有N個。對每個Gabor原子按照式(11)進行短頻傅里葉變換。

(11)

式中x(ω)是某個頻域信號；W*(ω-ω0)是頻域窗函數(shù)的共軛，隨著ω0的改變，就可以得到頻域信號x(ω)的時頻分布。

需要說明的是，通過短頻傅里葉變換得到的時域信息并無實際物理意義，作短頻傅里葉變換的目的是得到Gabor原子的時頻分布。之所以想要得到Gabor原子的時頻分布，則是因為Gabor原子有很好的時頻聚集特性，其時頻分布具有較好的時頻分辨率，能夠靈敏地反映兩條不同擬合頻響曲線之間的細微變化。

圖6(a)所示為兩個形狀相同，但位置有細微差別的Gabor原子；圖6(b)及圖6(c)為兩個Gabor原子分別經(jīng)過短頻傅里葉變換后得到的時頻分布圖；圖6(d)為兩個Gabor原子時頻分布的差值圖。由圖6可以看出，Gabor原子的時頻分布差值圖可以靈敏地反映出Gabor原子本身細微的變化。當變壓器繞組發(fā)生變形故障時，其頻響曲線的部分頻段曲線也會發(fā)生相應(yīng)變化，此時必然會導致擬合該頻段曲線的Gabor原子發(fā)生改變，而這改變程度可以由Gabor原子的時頻分布差值圖得到。

圖6 Gabor原子的時頻分布

在分別得到N個匹配Gabor原子的時頻分布后，再疊加N個原子的時頻分布值就可以得到所擬合曲線的等效時頻分布圖，進而就可以獲得正常繞組頻響曲線與變形繞組頻響曲線的時頻分布差值圖，如圖7(a)所示。

由于繞組變形故障對頻響曲線的影響僅會涉及到部分頻段，所以為了提高特征值的靈敏度，按照國標DL/T 911-2016[21]中0～100 kHz為低頻段，100 kHz～600 kHz為中頻段，600 kHz～1 MHz為高頻段的標準，將時頻分布差值圖分為三個區(qū)域，如圖7(b)所示；然后分別求取各區(qū)域中數(shù)據(jù)點Z軸數(shù)值平方和的平方根作為反映低頻段、中頻段和高頻段變形程度的指標TL、TM和TH。取繞組變形故障模式識別的特征向量為T=[TL,TM,TH]。

圖7 頻響曲線時頻分布差值圖

3.3 基于稀疏分解的繞組變形模式識別方法步驟

提出的基于頻響曲線稀疏表示的變壓器繞組變形模式識別方法的具體步驟如下：

(1)在得到正常繞組頻響曲線及各類變形繞組頻響曲線的前提下，將所有頻響曲線在過完備Gabor原子庫上進行稀疏表示，得到各曲線的所有最優(yōu)匹配Gabor原子；

(2)對所有匹配的Gabor原子進行短頻傅里葉變換，得到其時頻分布值，然后分別疊加各曲線對應(yīng)的最優(yōu)匹配原子的時頻分布值，得到各曲線的等效時頻分布值；

(3)計算正常繞組頻響曲線與各類變形繞組頻響曲線之間的時頻分布差值，按上小節(jié)所述方法提取特征向量T=[TL,TM,TH]，得到訓練樣本的特征向量集；

(4)將樣本特征向量集輸入多分類SVM模型中，建立特征指紋庫；

(5)對待識別的繞組頻響曲線進行同樣處理，得到其特征向量T，并輸入SVM模型中進行模式識別，最后得出診斷結(jié)果。

4 試驗結(jié)果與分析

為了驗證提出的變壓器繞組變形模式識別方法的準確性，分別對正常繞組及不同變形情況繞組進行建模仿真，獲取了繞組不同狀態(tài)下的頻響曲線，結(jié)合仿真曲線和交叉驗證(Cross Validation，CV)方法進行了驗證試驗。

設(shè)置了繞組軸向上凸、繞組軸向下凹、繞組徑向外凸、繞組徑向內(nèi)凹和繞組混合變形這5種故障類型，每種類型計算10組不同變形程度的數(shù)據(jù)，所以一共有50組樣本。根據(jù)交叉驗證法原理，每種故障類型選取其中的5組數(shù)據(jù)作為訓練樣本，剩下的5組作為檢驗樣本。變壓器繞組變形仿真曲線的特征向量樣本值如圖8～圖10所示。

圖8 繞組軸向上凸和下凹變形故障曲線樣本值

圖9 繞組徑向外凸和內(nèi)凹變形故障曲線樣本值

圖10 繞組混合變形故障曲線樣本值

為了驗證所提出的繞組變形模式識別方法的優(yōu)越性，增加了以頻響曲線低頻段、中頻段和高頻段的相關(guān)系數(shù)為特征向量值的樣本作為對比項。利用LIBSVM工具箱對訓練樣本進行歸一化縮放、參數(shù)尋優(yōu)和分類訓練等處理，從而建立了基于稀疏擬合數(shù)據(jù)樣本和基于相關(guān)系數(shù)樣本的多分類SVM故障診斷模型。最后，分別將基于稀疏擬合數(shù)據(jù)的檢驗樣本和基于相關(guān)系數(shù)的檢驗樣本輸入SVM故障診斷模型中進行了識別，結(jié)果如表1所示。

表1 多分類SVM模型分類結(jié)果

從表1可以看出，提出的繞組變形模式識別方法的準確率達到了92%，要明顯高于以各頻段相關(guān)系數(shù)為特征向量的模式識別方法。這說明基于時頻分布差值的特征值比相關(guān)系數(shù)更能反映不同繞組變形故障下頻響曲線的變化規(guī)律。至于其它變形故障的識別，只需要有新的訓練樣本輸入到SVM模型中，通過訓練形成新的分類器即可對其進行模式識別。

5 結(jié)束語

為了提高電力變壓器繞組狀態(tài)監(jiān)測水平，提出了一種基于頻率響應(yīng)曲線稀疏表示的繞組變形模式識別方法。該方法將信號稀疏表示理論應(yīng)用于繞組變形模式識別中，為繞組變形模式識別方法提供了一種新思路。

通過結(jié)合多導體傳輸線數(shù)學模型和分布參數(shù)電路模型對變壓器繞組進行按餅建模仿真，得到了繞組在正常及不同變形故障情況下的頻率響應(yīng)曲線作為模式識別樣本。針對電力變壓器繞組變形故障樣本屬于小數(shù)據(jù)樣本的特點，應(yīng)用多分類SVM模型對經(jīng)所提出方法處理后的樣本進行了模式識別。試驗結(jié)果表明，所提出的繞組變形模式識別方法的準確率高達92%。這驗證了所提出方法的有效性，但是該方法在工程應(yīng)用中的準確性還需大量的現(xiàn)場實驗來驗證。